立体几何初步：几何法求点到平面的距离问题讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦立体几何中几何法求点到平面的距离这一核心知识点，从定义出发构建“作垂定距，解三角形求长”的核心原理，通过“一作二证三求”三步解题思路将空间距离转化为平面问题，结合辅助线技巧与注意事项形成完整学习支架。 该资料精选多地区期末真题作为例题与训练题，通过规范证明步骤培养学生空间观念（数学眼光）和推理能力（数学思维），课中助力教师系统授课，课后学生可通过变式与实战演练巩固方法，有效查漏补缺。

立体几何初步：几何法求点到平面的距离问题讲义 立体几何初步：几何法求点到平面的距离问题讲义 知识点解析 一、核心原理 紧扣点到平面的距离定义（点到平面的垂线段长度），通过作平面的垂线构造垂线段，将空间距离转化为平面直角三角形的边长求解，核心是作垂定距，解三角形求长。 二、解题思路（一作二证三求，核心三步） 1. 作垂线段：过目标点作已知平面的垂线，找到垂足，连接点与垂足的线段即为所求距离； 技巧：优先借助几何体中已有垂直关系（如面面垂直、线面垂直）作垂线，或过点作面内两条相交直线的垂线，再证线面垂直。 1. 证垂直：证明所作线段与已知平面线面垂直（紧扣线面垂直判定定理），确认该线段为点到平面的垂线段（唯一距离）。 1. 求长度：将垂线段放入可解的直角三角形（利用几何体棱长、已知角度、面面/线面垂直性质补全边长条件），通过勾股定理、解直角三角形、等面积法计算垂线段长度，即为点到平面的距离。 三、核心技巧与注意事项 1. 辅助线依托垂直性：有面面垂直时，在一个面内作交线的垂线，该线必垂直另一平面（面面垂直性质），快速得垂线段； 1. 等面积法巧代求：若直接作垂线困难，可将点到面的距离转化为棱锥的高，利用等体积法间接求解（几何法补充技巧）； 1. 证垂直是关键：切勿直接将斜线段当作垂线段，必须严格证明线面垂直，否则距离求解错误； 1. 抓特殊点简化计算：优先利用中点、垂足、端点等特殊点作垂线，让三角形边长更易推导。 例题分析 例1．（24-25高一下·北京房山·期末）如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面BCE； (3)求点B到平面ACE的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由平面得，结合利用线面垂直的判定定理可证； （2）取为的中点，连接，先证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理可证； （3）利用等体积法计算出三棱锥的体积，再求出的面积，即可求得点B到平面ACE的距离. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面； （2）取为的中点，连接，因为F是的中点，故，且， 又，且，所以，且， 又，所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，而平面，平面，平面BCE；    （3）由题意，，，所以， 因为E是的中点，平面， 所以，所以， 又， 设点B到平面ACE的距离为，则，解得， 所以点B到平面ACE的距离为. 例2．（24-25高一下·吉林·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用等体积法即可求解. 【详解】（1）底面，平面，， 又，，平面， 平面； （2）底面，平面，， ，， 设点到平面的距离为，则， 由（1）可知，平面，平面，， ， ，， ，， 点到平面的距离为． 例3．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在四棱锥中，平面，，分别为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用条件证明四边形是正方形，继而可由与证得平面； （2）先利用条件求出的长，推得，从而得到的面积，再根据等体积即可求得点到平面的距离. 【详解】（1）    如图，连接，因点为的中点，且， 则可得，易知四边形是正方形，则， 因平面，平面，故， 又平面，故平面. （2）在中，， 在中，， 又，因，则， 则的面积为，又的面积为， 设点到平面的距离为，则由可得， 则，即点到平面的距离为. 例4．（24-25高一下·北京·期末）如图，长方体的底面ABCD是正方形，，点在棱上，平面BDM. (1)求证：为的中点； (2)求直线与平面BDM所成角的正弦值； (3)求点到平面BDM的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理平面得出即可得证； （2）设直线与平面所成角为，则，其中为点到平面的距离，利用等体积法求出，进而得到答案； （3）根据线面垂直的判定定理，证明面，进而得到答案. 【详解】（1） 连接， 因为底面是正方形，所以是的中点， 因为点在棱上，平面， 平面，且平面平面， 所以， 所以为的中点. （2）设直线与平面所成角为，则， 其中为点到平面的距离， 因为，，，，， 所以， ， 所以为等边三角形，为直角三角形， 所以，， 又因为, 即，即， 所以， 所以直线与平面BDM所成角的正弦值为 （3） 连接，，, 因为为等边三角形， 所以，， 又因为，， 所以为等腰三角形， 所以，， 又因为，面， 所以面， 又因为面， 所以， 又因为，，， 所以，即， 又因为，面， 所以面， 求点到平面BDM的距离为. 变式训练 变式1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． (1)求证； (2)求三棱锥的体积． (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）只需证明平面，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）只需分别求出三棱锥的高、底面积，再结合棱锥的体积公式求解即可； （3）由等体积法求解即可. 【详解】（1）折叠前，，折叠后，， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故． （2）由（1）问可知，平面，所以三棱锥的高， 又因为折叠前为，点，分别为，的中点， 所以， 所以； （3）设点到平面的距离为，则有， 又有，故解得． 变式2．（24-25高一下·河北承德·期末）如图，在正四棱台中，． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接交于点，连接，证明，然后得证线面平行； （2）由等体积法计算：. 【详解】（1）连接交于点，连接， 是正四棱台的对角面与下底面和上底面的交线，则， 又，所以，即， 所以是平行四边形，所以，， 又平面，平面，所以平面； （2）由（1）平面，所以， 正四棱台中，， 作于，则是正四棱台的高，正四棱台中，，，则， ， 所以， 又，是中点，所以， 由（1）知，而， 所以， 设点到平面的距离为，则，， 所以点到平面的距离为. 变式3．（24-25高一下·天津·期末）如图，在正三棱柱中，已知，且为的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，构造三角形中位线，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）根据平行关系确定为异面直线与所成角（或其补角），利用余弦定理求解即可； （3）取的中点，连接，利用线面垂直的判定证明平面，再利用为的中点，即可求解. 【详解】（1）证明：连接，设，连接， 在正三棱柱中，四边形为矩形， 则为的中点，又为的中点，所以， 平面，平面，所以平面 （2）由（1）得， 为异面直线与所成角（或其补角） ，，， ， 异面直线与所成角的余弦值为. （3） 取的中点，连接，为等边三角形， ，又正三棱柱，平面， 平面，， 又，平面，平面， 平面，， 点到平面的距离为． 变式4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧棱底面，且． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由四边形为菱形得到对角线垂直，由线面垂直得到，从而证明线面垂直； （2）设到平面的距离为h，利用等体积法列出方程，求解即可. 【详解】（1）因为底面是菱形，所以， 因为底面，底面，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面． （2）设点到平面的距离为h， 由题可知PA为三棱锥的高，， 所以三棱锥的体积为， 又因为，且， 所以，解得， 所以点到平面的距离为． 实战演练 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知可得，再由线面平行的判定可证结论； （2）根据已知可得是等腰直角三角形，应用线面垂直的判定和性质证，并求出相关线段长，应用等体积法有，可求到平面的距离. 【详解】（1）由O是与的交点，又为正方形，则O为的中点， 又D是的中点，在中，可得， 又平面，平面， 故平面. （2）三棱柱中，，，且， 易知是等腰直角三角形，点D是棱的中点， 所以，， 四边形为正方形，，则， 又，而，且，则， 由，平面，则平面， 平面，所以，而， 又，平面， 则平面，平面，故， 所以，由， 则，又， 若到平面的距离为，则，可得. 2．（24-25高一下·重庆长寿·期末）如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直性质以及线面垂直判定定理证明即可； （2）易知点到平面的距离等于点到平面的距离，即为. 【详解】（1）证明：因平面，平面，则， 又，故， 又三棱柱是直三棱柱，所以， 又易知与相交，且平面， 所以平面. （2）因为矩形，所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 由已知条件平面，即点到平面的距离等于. 在中，, 故 2 学科网（北京）股份有限公司 $立体几何初步：几何法求点到平面的距离问题讲义 立体几何初步：几何法求点到平面的距离问题讲义 知识点解析 一、核心原理 紧扣点到平面的距离定义（点到平面的垂线段长度），通过作平面的垂线构造垂线段，将空间距离转化为平面直角三角形的边长求解，核心是作垂定距，解三角形求长。 二、解题思路（一作二证三求，核心三步） 1. 作垂线段：过目标点作已知平面的垂线，找到垂足，连接点与垂足的线段即为所求距离； 技巧：优先借助几何体中已有垂直关系（如面面垂直、线面垂直）作垂线，或过点作面内两条相交直线的垂线，再证线面垂直。 1. 证垂直：证明所作线段与已知平面线面垂直（紧扣线面垂直判定定理），确认该线段为点到平面的垂线段（唯一距离）。 1. 求长度：将垂线段放入可解的直角三角形（利用几何体棱长、已知角度、面面/线面垂直性质补全边长条件），通过勾股定理、解直角三角形、等面积法计算垂线段长度，即为点到平面的距离。 三、核心技巧与注意事项 1. 辅助线依托垂直性：有面面垂直时，在一个面内作交线的垂线，该线必垂直另一平面（面面垂直性质），快速得垂线段； 1. 等面积法巧代求：若直接作垂线困难，可将点到面的距离转化为棱锥的高，利用等体积法间接求解（几何法补充技巧）； 1. 证垂直是关键：切勿直接将斜线段当作垂线段，必须严格证明线面垂直，否则距离求解错误； 1. 抓特殊点简化计算：优先利用中点、垂足、端点等特殊点作垂线，让三角形边长更易推导。 例题分析 例1．（24-25高一下·北京房山·期末）如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面BCE； (3)求点B到平面ACE的距离. 例2．（24-25高一下·吉林·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 例3．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在四棱锥中，平面，，分别为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 例4．（24-25高一下·北京·期末）如图，长方体的底面ABCD是正方形，，点在棱上，平面BDM. (1)求证：为的中点； (2)求直线与平面BDM所成角的正弦值； (3)求点到平面BDM的距离. 变式训练 变式1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． (1)求证； (2)求三棱锥的体积． (3)求点到平面的距离． 变式2．（24-25高一下·河北承德·期末）如图，在正四棱台中，． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 变式3．（24-25高一下·天津·期末）如图，在正三棱柱中，已知，且为的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 变式4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧棱底面，且． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 实战演练 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 2．（24-25高一下·重庆长寿·期末）如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离. 2 学科网（北京）股份有限公司 $