湖南邵阳市第三中学等校2026届高三下学期4月素质评价数学试题

HUN202604 高三数学(Y)答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案D 命题透析本题考查复数的概念和基本运算， 解析：21-2i,则：的虚部为-2 2.答案A 命题透析本题考查集合的交运算 解析集合B中满足lnx>0的元素为2,3，所以A∩B={2,3}. 3.答案C 命题透析本题考查三角恒等变换， 解析2sinx=sinx=nx2sinx-=anx sin 2x-cos x cos x(2sin x-1) 4.答案A 命题透析本题考查排列组合相关知识， 解析分两种情况：若选男生甲和女生乙，则有C=10种选法；若不选男生甲和女生乙，则有C=5种选法.共 有10+5=15种选法 5.答案B 命题透析本题考查等差数列和等比数列的相关知识 解析由题意得(a+2)2=a(a+5),解得a=4,所以a4=6. 6.答案D 命题透析本题考查正四面体的结构特征， 解析当O1=1,即正四面体A-BCD的外接球半径为1时，AB=25,利用余改定理，得m∠AOB= 04+0B2-AB1+1-8 3 1 20A x OB 2 3 7.答案B 命题透析本题考查指数函数、对数函数的实际应用. 解析由题意知△t(n)=(50ea.1“+10)-[50e-a.1a+)+10]=50e1(1-e01),代人e-01≈0.90，得 一1一 △t(n)≈50e-0.1n×0.10=5e-o.ln,令△t(n)<0.5,即5e-0.ln<0.5→e-o.1n<0.1,两边取自然对数，得-0.1n< ln0.1=-ln10≈-2.30，解得n>23,因为n∈N°，故达到停止训练条件的迭代次数至少为24. 8.答案C 命题透析本题考查双曲线相关知识， 解析双曲线的焦点三角形的面积S=一 又四为9=dn.所以a令LR5P 62 tan- 2 所以品-手所职1装显接-浆 lypl >c-a,所以3(c2-a)>4e2-4c, 整理得c2-4ac+3a2<0,所以e2-4e+3<0,解得1<e<3. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.答案ABD 命题透析本题考查抽象函数的相关性质. 解析对于A,由奇函数的性质得f(0)=0,将x=0代入f(x+1)=f(x)+2,得f(1)=f(0)+2=2,故A正确； 对于B,ff(-x)=f(-f(x)=-ff(x)),所以ff(x)为奇函数，故B正确； 对于C,反例：f(x)=2x符合条件，但f(x)显然是增函数，故C错误； 对于Dffx+1))=ff(x)+2)=ffx)+1)+2=ff(x))+4,故D正确， 10.答案AC 命题透析本题考查椭圆与抛物线的相关知识， 解析对于A,由题意易知子=c,p=2c,所以准线方程为x=-号=-c,故A正确； 对于B,设A(x1),B(2),联立若+ +云=1和=4c,化简得2+4a2cx-a262=0,保留唯一正根名- -4a2c+(4a2c)2+4a2b 2= =-2a'c+a /bi+4a 二 -2a2c+a(a2-c2)2+4ac 262 62 a2-c2 2a'cta ya2aote=-2acta(a to a-2et1te)-a-e AF(1-e a2-c2 a2-c2 1-e2 1+e Q=,9+a=2,M1=2-M1:l立，放B错误： 1+e 1+e 对于c=22√，h1-新=加√识所以面积8 2 =4√日，故c正确： 4ac+e 对于D,h<1R1,即4a√，日<2s=2a,则2√日<6，化简得+5e-4>0,当ee(0.1)时， 该不等式不是恒成立的，故D错误， 2 11.答案ACD 命题透析本题考查棱锥的结构特征，空间线面位置关系及相关计算. 解析设a=p,b=啦，d=P元，则P元=b+d-a,P=子a,Pi=b,P成=d,因为C,Q,M,N四点共面，所以 P元=xP+yp7+zP成，且x+y+z=1,即b+d-a=专a+b+d,比较a,b,d的系数，得号=-1，M=1, 1,又+y*1,所以=-3，y==女放+大=4 入+2 对于A,当AB∥平面CMN时，有AB∥QM,因为P咬=号，所以P=号P咕，即A=弓，从而可得u=1,所以 4=3A,故A正确； 对于B,当A=u时，A=u=7,所以MN=BD,故B错误； 对于C,由题意得0<≤1，所以片=4-≤3，所以A≥分，所以w≥号，-a=分n-c=皮，w 手，故C正确； 对于D,因为p=n-=名=4，放n00=4以+4=4(A+w）,由大+=4，得4(X+a） 入心 （a+心)（分+）=2+止+货≥4，当且仅当入=u=宁时取等号，所以四酸锥P-MC0的体积的最小值为 4,故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案x-π2y-2π=0 命题透析本题考查导数的几何意义. 解析由题知，了(=m兰)=日f(m)京八)的图象在点(m)处的切线方 程y+日中x-),即红-y-2m0 13.答案子 命题透析本题考查方差的相关知识， 解折记西西离离出的方差为，3，水，%的方笼为，因为名%=0，言无=5，所以 5含-列=5立方-=9-(9) =5,由方差的性质知=46，所以号=子 14.答案 221 命题透析本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理的综合应用 一3 解析 由合+是=3，两边同乘以,C可得asA+aaB=3,结合余弦定理可得 +号立，心+止-（心+-），理得=（d+6),所以mC==写心古≥ 2 2 2ab=方·b 子所以aG≤，如C≤再由么+=3及正弦定理可得盘+出是=3，即 田acos C+6cosC1 +品台=3所以+dB己c2牙 7 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查数列的综合应用. 解析(1)由已知得aa+1=a.+2√a+1=(√a+1)2, 显然an>0,所以√an+1=√0n+1,…（3分) 所以数列{√an}是首项为a=1,公差为1的等差数列，…(4分) 所以an=n,即an=n2.…（6分） (2)由题意知f(x)=1 二+2x 3x2 na"-1 a1·√a2a2·√a3a3·a4un'√an+l 所以r0)=合+3+6++万 一+ n2(n+1) 1,1,1 1 =2+2x3+3x4+…+n(n+1) 11 nn+l 1、1 n+1 =-n +1 (13分) 16.命题透析本题考查空间位置关系的推理与证明，空间向量的应用. 解析(1)如图，连接BE.在矩形ABCD中，有AD⊥DE,所以AP⊥PE, 又因为AP⊥BP,BP∩PE=P,所以AP⊥平面BPE,…（2分) 所以AP⊥BE. 由题意知DE=CE=1,所以AE=BE=√2， 则AE2+BE2=4=AB2,故AE1BE.…(4分) 又因为AP∩AE=A,所以BE⊥平面APE,… …(5分) 因为BEC平面ABCD,所以平面APE⊥平面ABCD. …(6分) (2)以D为坐标原点，以DA,D的方向分别为x,y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。…（7分) 一4 由已知可得A1,00,812,0),c0,20),P(分号） 所以ò（之3》脉（宁多号》成（分是，} …(9分)） 设平面APB的法向量为n=(x,y,z), rn…2=0,「-x+y+2z=0, 则 即 取n=(万，0,1).…(12分) n·B=0,【-x-3y+2z=0, 所以Icos(P吃，nI=P武·nl=2 lP元.lnl3, 故直线PC与平面APB所成角的正弦值为 3 ，…（15分)） 17.命题透析本题考查解析几何的综合问题， h k 解析(1)直线PQ的斜率k,==5五 、 …(2分） x2-x1x2-x1 联立学+号=1与y=会化简得-4松 3=0,…(3分) 由4=16-1g>0,得0<4<5 由根与系数的关系得号+=4，(x5)2=, 3g… (5分) 由于两>0，所以名=26， 所以k=-k=-巨 = x1X2 2, 所以直线PQ的斜率为定值-5 …（7分） (2)S=1oi·1od1·sin∠P00=之1oi1o01·V-cos PO0 =之√onp·100”-(1o刷1·1o01·s∠P00y=之√1op·1002-(o.00 2属+（舍+）-(+了=√销+-24 5 1 (好-x好) 2=2 2x1x2 (11分) 因为（兮-》-（所+》2-4(）产=161-号) ,k2 所以s=“ 1 3 =√3-2 23x1x2 (13分) 4k 3 由(1)知0<k<5,则0<S<3,所以S的取值范围为(0，√3).…(15分) 18.命题透析本题考查随机变量的数学期望以及排列组合的运算性质 解析(1)从集合{1,2,3,4}中随机选取2个不同的元素，有C?=6种情况， 分别为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}.…(2分) Y的所有可能取值为1,2,3， Py==名=PY=2)=2=分PY=3)= 6 (4分) (0=分+号+名- …(5分） (2)从集合{1,2，…，n中随机选取m个不同的元素，有C种方法，要满足X=k,则需取出元素k,其余(m- 1)个元素是从小于飞的(-1D个元素中选出的，所以P(X==兰（k=m,m+1,,. Cm E(X)= …(7分) k·(k-1)I 因为kC=m-i)1k-m订=m‘ h! m!(k-m)1=m·Cg, 所以(0=亡三mG=是Ac(C+C+Ga+…+C) =(C+C1+c++C) Cc)D …(12分） m+1 (3)从集合{1,2，…，n}中随机选取m个不同的元素，对每一种满足X=k的取法，如取到k,k1,…,knm-1,其中 k>k>k2>…>km-1,我们都可以构造另一种取法，取到n+1-飞，n+1-k,n+1-k2,…,n+1-飞m-1,在这 种取法中，Y=n+1-k, 所以P(X=k)=P(Y=n+1-k). 因为E(X)= P(X-). 一6— 所以E(Y)= (a+1-)PY=n+1-=n+1-∑k~P氏X=)=n+1-B(X.…(15分) k=m k=m 所以E(Z)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=2E(X)-(n+1) -2m(n+D-(n+1)=m-I)(n+1) (17分) m+1 m+1 19.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质，不等式的证明. 解析(1))=e-分ax(x+2),则对任意的aeR0)=e-2)=, 所以fx)的图象恒过点(0，e)和(-2，日】 (2分) 求导得f'(x)=ex+1-ax-a, 所以f'(0)=e-a,f(-2)=上+a,由题意知f(0)=f'(-2),即e-a=人+a, 解得a=2(e-） (4分) (2)(i)由f”(x)=0,得a=+,令t=x+1,则ase' 因为f(x)有两个极值点x1,x2, 所以f(x)有两个变号零点，即直线y=a与g()=￡的图象有两个不同的交点.…(6分) 由8()=，可知8)在(-0,0)，(0,1)上单润港政，在1，+)上单调道带，作出B0的大致图象 如下： (8分) 结合g(t)的图象，可知a>g(1)=e,即a的取值范围是(e,+o). (9分) (i)i记4=元，+1,42=+1，由(1)可知，g=兰=a,且0<4，<1< t t2 要证明(x1+1)(x2-x)<√(e-a)(e-a-4),即证明t1(t2-t)<√(e-a)(e-a-4), 只需证t2-t1<√(e-a)(e-a-4).… (11分) —7 构造函数a(o)=号-4-(e-2),>0,则'(0=-1)Cg-山， 2 因为e'>t+1,所以h(t)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以h(t)≥h(1）=0,所以g≥6+1+(e-2）.… (13分) t t 设方程6++(e-2)=a的两根为53,4，（色，<）， 则由++(e-2)=a得f+(e-a-22+1=0, 所以t4-3=√(e-a-2)2-4=√(e-a)(e-a-4).…(15分) 而41，是=a的两个根， ”t 由兰≥1++(e-2),数形结合可得与-4<4-6=Ve-@)(e-a-4,放原命题得证、…(17分) t 一8一HUN202604 Y 高三数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用撩皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.已知iz=2+i,则复数x的虚部为 A.1 B.-2i C.2 D.-2 2.已知集合A={xnx>0|,B={-1,0,1,2,3引，则A∩B= A.{2,3 B.11,2,3 C.11,2 D.-3 3.化简，2in-血兰。 sin 2x -cosx A.sinx Bs血受 C.tanx D.tam克 4.从4名男生和3名女生中选4人组成学习小组，要求男生甲和女生乙要么都选，要么都不 选，则不同的选法共有 A.15种 B.18种 C.24种 D.30种 5.已知等差数列{a,的前3项分别为a-1,a,a+1,这3项分别加上1,2,4后构成等比数列 「b}的前3项，则a4= A.7 B.6 C.5 D.4 6.已知正四面体A-BCD的中心为0，则cos∠AOB= A. B.-7 C.0 D.- 数学(Y)第1页（共4页） 7,某科技企业采用大模型训练一款智能协作机器人，该机器人完成单次精密装配任务所需时 间t(单位：秒)与训练迭代次数n(neN)的关系式为t(n)=50ea“+10.定义“边际时间 缩短量”为△t(n)=t(n)-t(n+1),当△(n)<0.5时，继续训练节省的工时收益将低于算 力成本，应停止训练.已知ea1=0.90,ln10=2.30,则达到停止训练条件的迭代次数n至 少为 A.22 B.24 C.26 D.28 知双曲线C:若-=1(@>0，b>0)的左、右焦点分别为R,F,P为C上异于实轴端店 的动点，若m∠P.m∠RFP=手，则C的离心率e的取值范固为 2 A.(1,2) B.(2,3) C.(1,3) D.(1,4) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知f八x)是定义域为R的奇函数，且f(x+1)=f八x)+2,则 A.f(1)=2 B.ff(x))为奇函数 C.f(x)为减函数 D.ff(x+1))=ffx))+4 知椭圆C若+三1(a>b>0)的离心率为e,左，右焦点分别为P(-c,0)(c> F2(c,0).抛物线C2:y=2x(p>0)以F2为焦点，两曲线交于A,B两点（点A在第一象 限)，则 A.C2的准线方程为x=-c B.IAF I=a(1-e)2 1+e C.四边形AP,B那，的面积为4ae√1+e e1-e】 D.对任意的ee(0,1),都有IABI<IF,F2l 11.已知四棱锥P-ABCD的体积为24，底面ABCD是平行四边形，Q是PA上靠近点P的一个 三等分点，经过直线CQ的平面与侧棱PB,PD分别交于点M,N(均不与P重合)，设PM= AP店，P示=4P可，则下列说法正确的是 A当AB∥平面CMN时，4=3A R当A=u时，MW=BD C四面体P-QCM的体积的最小值为号 D.四棱锥P-MCNQ的体积的最小值为4 数学(Y)第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2.函数f代)=的图象在点(mm)处的切线方程为 13.已知两组样本数据x1,2,南，x4,和，1，为y4为满足y=2x-9(i=1,2,3,4,5),若 名=10名=45，则与西西的方差为 14.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知9c0sA+eosB acos C beos C ￥、1 3,则1 'tan 4'tan B的最 小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知数列{a}满足a1=1,且a+1=an+2√a。+1. (1)求{a,}的通项公式： (2)设函数f代x)=无 +x2 =,求f'(1) a1·√a2a'√a3a.·a。+i 16.(15分) 如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,E为CD的中点.现将△ADE沿AE折起到△APE的 位置，使得AP⊥BP. (1)求证：平面APE⊥平面ABCD: (2)求直线PC与平面APB所成角的正弦值， 数学(Y)第3页（共4页） 17.(15分) 已知椭圆+号-1与曲线了-兰(k>0)在第一象限内有两个不同的交点P(名，万)和 Q(x1,3),且1<3 (1)证明：直线PQ的斜率为定值： (2)记O为坐标原点，△OPQ的面积为S,求S的取值范围. 18.(17分)】 设整数m,n满足≥m≥2，从集合|1,2，…，n中随机选取m个不同的元素，记这m个元 素中最大的为X,最小的为Y (1)当n=4,m=2时，求E(Y): (2)证明：E(x)=m(n+1 m+1 (3)设Z=X-Y,用m,n表示E(Z). 19.(17分) 已知函数f)=e1-之a2-,对任意的aeR)的图象恒过点A,B (1)若f八x)的图象在点A,B处的切线互相平行，求a (2)若八x)有两个极值点1,2，且<， (i)求a的取值范围： (i)证明：(1+1)(2-x)<√(e-a)(e-a-4). 数学(Y)第4页（共4页）】