精品解析：广东茂名市2026年高三下学期第二次综合测试数学试卷

2026年茂名市高三年级第二次综合测试 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 某学校从周一至周五中选择 天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（ ） A. 只有1个零点 B. 有2个零点 C. ， D. ， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 在上的投影向量的模为1 C. D. 与所成的角为45° 10. 已知是定义在上的函数，且，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 的图象关于直线 对称 D. 是的周期 11. 已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. B. 当时，最大 C. 当时， D. 数列的最小项为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的焦距为______． 13. 若函数在区间上有且仅有3个零点，则 的最小值为______． 14. 已知1～10这10个正整数的随机排列为，，…，．记，，2，…，9，事件为“，，…，满足”，则事件的概率为______，事件的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了了解高一学生的体质状况，某校开展了一次体质测试，从中随机抽取40名女学生的立定跳远成绩（单位：厘米）进行分析，得到如下频率分布表． 成绩区间 [160，170） [170，180） [180，190） [190，200） [200，210） [210，220] 频率 0.10 0.15 0.20 0.25 0.20 0.10 （1）计算这40名女学生立定跳远成绩的众数、平均数的近似值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）规定成绩在区间[210，220]，[200，210），[190，200）分别为A，B，C等级．用分层抽样的方法从成绩在这三个等级的学生中抽取11人，再从11人中随机抽取3人进行示范．记示范学生中成绩A等级的人数为X，求X的分布列与． 16. 已知等比数列满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在小于0的极小值，求a的取值范围． 18. 如图，在矩形 中，，， 为 的中点，把 沿翻折至， 为线段上的动点． （1）当 为的中点时，证明：平面； （2）在翻折过程中，若在平面内的投影 落在 边上，且三棱锥的各个顶点均在球 的球面上． （ⅰ）求球 的半径； （ⅱ）求平面与平面的夹角的最小值． 19. 已知，M是抛物线与的公共点，O为坐标原点，． （1）求p的值； （2）（ 在最左侧）是上不同于M的三点，直线与相切，切点分别为，点 为的重心． （ⅰ）证明： 在 轴上，且； （ⅱ）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年茂名市高三年级第二次综合测试 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由共轭复数的定义及复数的乘法法则可得. 【详解】因为，所以，． 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，可得，故解集为． 3. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以 ， 又，，则所求切线方程为. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据二倍角公式可得，， 化简可得，， 代入，可得. 5. 某学校从周一至周五中选择天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】直接用间接法计算可得结果. 【详解】因为从天中选天，共有种．而周一和周二同时被选的选法，共有种． 因此，满足条件的方案为种． 6. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角函数基本关系得到，进而利用和差公式计算，再由正弦定理计算边长即可． 【详解】，， ，由正弦定理和大边对大角，则， 又, ，， ， 则， 又， 故． 7. 已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆标准方程得出的坐标，进而得到直线 的方程，结合题干写出圆的方程，利用正三角形的性质求出点的坐标，将的坐标代入直线 的方程，得到 与的关系式，进而求解离心率. 【详解】如图所示，椭圆中，右顶点，上顶点， 直线 的截距式方程为：， 以短轴为直径的圆的圆心在原点，半径为，方程为， 为正三角形，，结合在第一象限，可得点坐标为， 将的坐标代入直线方程可得， 化简得：， 因为椭圆离心率，且， 所以，解得. 8. 已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（ ） A. 只有1个零点 B. 有2个零点 C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意构造函数，可得，进而根据函数性质可以判断选项A,B,C；整理原不等式可得，进而转化为证明，构造函数，求导分析函数单调性和最值即可. 【详解】由题意，可得，令， 则，故为常函数，设，m为常数，则， 即，则， ， 那么没有零点且，故A，B，C错误； 由对任意，均有，即对任意，均有， 那么． 不等式两边同乘正数，等价于证明， 令，，令得 ： 时，，递减；时，，递增； 故最小值为，即恒成立，原不等式成立，D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 在上的投影向量的模为1 C. D. 与所成的角为45° 【答案】AB 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据数量积运算公式，异面直线夹角公式，投影向量的相关公式进行求解 【详解】A选项，以 为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，故， 故，A正确； B选项，，， 在上的投影向量的模为，B正确； C选项，，， ，， ， 故，C错误； D选项，设与所成的角大小为，由图知为锐角， 则， 故与所成的角大小不是45°，D错误. 10. 已知是定义在上的函数，且，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 的图象关于直线 对称 D. 是的周期 【答案】ACD 【解析】 【详解】在中,令，可得，所以，故A正确； 由，可得的图象关于直线 对称，故C正确； 在中，令 ，可得，又由选项A知，故， 若是定义在上的奇函数，则与矛盾，故不是奇函数，故B错误； 由，可得的图象关于点对称，又因为的图象关于直线 对称， 故，故D正确． 11. 已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. B. 当时，最大 C. 当时， D. 数列的最小项为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意可判断，，，据此结合等差数列的性质判断各项即可． 【详解】因为，即． 因为，所以的公差小于零， 则，，则，故，A错误； 因为当时，，且当时，，则当时，最大，B正确； 因为，，， 所以，，C正确； 因为当时，，且当时，， 所以当时，，此时． 又因当时，最小，且时，单调递减， 所以数列的最大值为，故数列的最小项为，所以D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的焦距为______． 【答案】4 【解析】 【详解】双曲线，，， ，， 焦距为. 13. 若函数在区间上有且仅有3个零点，则 的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以， 由函数在区间上有且仅有3个零点， 所以， 所以 的最小值为. 14. 已知1～10这10个正整数的随机排列为，，…，．记，，2，…，9，事件为“，，…，满足”，则事件的概率为______，事件的概率为______． 【答案】 ①. ②. ##0.7 【解析】 【分析】由事件的定义对10，9，8三个数所在的集合进行分类讨论，确定8，9，10都在前段，因而可得事件等价于8，9，10都在前k个位置，再利用古典概型概率公式结合排列数公式计算即得. 【详解】记，，则等价于。 ①若10在后段，则，，于是，不满足； ②若10在前段，但8或9在后段，则，，于是，不满足； ③若8，9，10都在前段，则，于是，满足． 因此，事件等价于8，9，10都在前k个位置． 计算：将8，9，10放在前3个位置，共3！种选择，余下的7个位置随机排列，共7！种选择，因此． 注意到对，2，…，8，均有为的子事件，因此． 计算：将8，9，10放在前9个位置，等价于第10位是1到7中的某个数，共7×9！种选择， 因此． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了了解高一学生的体质状况，某校开展了一次体质测试，从中随机抽取40名女学生的立定跳远成绩（单位：厘米）进行分析，得到如下频率分布表． 成绩区间 [160，170） [170，180） [180，190） [190，200） [200，210） [210，220] 频率 0.10 0.15 0.20 0.25 0.20 0.10 （1）计算这40名女学生立定跳远成绩的众数、平均数的近似值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）规定成绩在区间[210，220]，[200，210），[190，200）分别为A，B，C等级．用分层抽样的方法从成绩在这三个等级的学生中抽取11人，再从11人中随机抽取3人进行示范．记示范学生中成绩A等级的人数为X，求X的分布列与． 【答案】（1）195厘米，191厘米 （2）X的分布列为 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）根据众数、平均数的定义求解； （2）由分层抽样确定各等级人数，得X的所有可能取值为0，1，2，计算出概率后得分布列. 【小问1详解】 这六个区间中，频率最大为0.25，该区间为[190，200），则这40名学生立定跳远成绩的众数的近似值为195厘米， 平均数， 所以这40名学生立定跳远成绩的平均数的近似值为191厘米． 【小问2详解】 由分层抽样，可知C等级对应5人，B等级对应4人，A等级对应2人． 从11人中选3人，共种． X的所有可能取值为0，1，2， 则，，． 则X的分布列为 0 1 2 P ． 16. 已知等比数列满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和． 【答案】（1）； （2）243 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质可得首项和公比，从而得到通项公式； （2）由（1）知，从而得到的通项公式，从而得到中，且从第2项起，等差数列，得到的通项公式，得到的前10项和. 【小问1详解】 设等比数列的公比为q，依题意可得，，，故， 又，解得（负值舍去），故， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，所以， ， 当时，， 当时，． 所以， 由与公共项按从小到大的顺序组成，可设，m为正整数． 若，则，公共项为0； 若 ，则由，可得，n必须为偶数，令，， 则公共项为． 故且从第2项起，是以3为首项、6为公差的等差数列， 即， 所以数列的前10项和为． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在小于0的极小值，求a的取值范围． 【答案】（1）当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）求导函数，分讨论，由确定增区间，确定减区间； （2）结合（1）得 的极小值，再由极小值小于0得参数范围. 【小问1详解】 的定义域为，且 ①当时，则，所以在区间上单调递增； ②当时，，令，可得， 时，，时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 【小问2详解】 由（1）可知若，在区间上单调递增，没有极值点，故， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则在处取到极小值， 则，即． 令，由，故单调递增，且， 因此，即a的取值范围为． 18. 如图，在矩形 中，，， 为 的中点，把 沿翻折至， 为线段上的动点． （1）当 为的中点时，证明：平面； （2）在翻折过程中，若在平面内的投影 落在 边上，且三棱锥的各个顶点均在球 的球面上． （ⅰ）求球 的半径； （ⅱ）求平面与平面的夹角的最小值． 【答案】（1）证明：如图， 取 的中点 ，连接，， 由题意知，四边形是平行四边形，所以． ∵平面，∴平面． ∵ ， 分别为 ，的中点，∴． 又∵平面，平面， ∴平面，又，所以平面平面， ∵平面，∴平面． （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用外接球的概念，结合空间两点间的距离公式可求三棱锥外接球的半径；利用空间向量可求平面与平面的夹角的余弦，再结合余弦函数的性质，可得夹角的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）过作于，连接 ， ∵在平面内的投影 在 边上，∴平面， 又平面，即， 又，故平面，即． ∵，，， ∴，． 又，所以，则， 以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，， 设三棱锥外接球的球心为点，外接球半径为 ， 因为点， ， ， 均在球 的球面上，所以， 解得， 则三棱锥外接球的半径为． （ⅱ）解：由（ⅰ），可得，， 设平面的一个法向量为， 则即， 可取． 因为，C为线段上的动点， 可设，则， 即，， 设平面的一个法向量为， 则即， 可取， 设平面与平面的夹角为，则， 当时，，为最大值； 当时，， 故时，取到最大值，即平面与平面的夹角的最小值为． 19. 已知，M是抛物线与的公共点，O为坐标原点，． （1）求p的值； （2）（在最左侧）是上不同于M的三点，直线与相切，切点分别为，点 为的重心． （ⅰ）证明： 在 轴上，且； （ⅱ）若，求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：由（1）知 ， ， 设，，， 因为， 所以直线 方程为， 联立直线 与的方程，消去x得，，① 因为直线 与相切，所以由 ，可得， 同理，所以，为关于x的方程的两根， 故，，即，，② 设 的重心，则，所以G点在y轴上， 而， 因为点P在最左侧，由②知：，且，否则， 则，，从而，矛盾； 设， ，则在区间上单调递减， 故，则． （ⅱ）8 【解析】 【分析】（1）设，根据题意，联立方程组，求得，结合，即可求得 的值； （2）（ⅰ）设，求得直线 方程，与的方程组，求得，同理可得，进而得到，，求得，结合函数的性质，即可得证； （ⅱ）由（ⅰ）得到和，求得和，化简，列出方程，求得，结合，得到，得出，设点 到直线 的距离为 ，结合重心的性质，求得点 到直线 的距离，即可求解. 【小问1详解】 设，其中，， 因为M是抛物线：与：的公共点， 可得，解得，则， 又因为，所以， 则，可得， 因为 ，可得； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由，即的面积是 的面积的4倍， 由①②知，，同理， 则， ， 所以 ， 所以，得，解得， 而直线AB斜率为， 直线DE斜率为 ， 因此，所以，于是，即AB为的中位线， 设点 到直线 的距离为 ，则由 为 的重心及中位线的性质， 可知点 到直线 的距离为，且点 到直线 的距离为, 因此与 的面积之比为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $