精品解析：广东省茂名市高州市2025届高三高考适应性考试数学试卷

高州市2025年高考适应性考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解绝对值不等式，再用交集定义即可求得. 【详解】由可得，则， 因，则. 故选：A. 2. 随机变量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性可求解. 【详解】因为，所以随机变量的正态曲线关于对称， 故，则. 故选：C. 3. 已知圆，直线，若圆上有且仅有一点到直线的距离为1，则（ ） A. 2 B. C. ±2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式即可求解. 【详解】由题意有：圆心到直线的距离为2， 所以， 故选：D. 4. 已知向量，，且在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求得，，利用投影向量的意义可得，求解即可. 【详解】因为向量，， 所以，， 所以在方向上的投影向量为， 所以，解得. 故选：C. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用切化弦可求得，利用诱导化式与二倍角的余弦公式可求的值. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以. 故选：C. 6. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先讨论当时，不等式转化为，确定函数在时的单调性得最值即可得此时的取值范围，再根据此范围确定当时，函数的单调性，从而得最值得的取值范围，综合可得结论. 【详解】当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. 7. 已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，求出圆锥的高以及圆锥的体积，通过对求导判断其单调性，可求得体积最大值及此时，即可求出答案. 【详解】如图，设圆锥的底面半径为，母线为，则圆锥的高为， 则圆锥的体积为，记， 则， 由可得，由，可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得最大值，即圆锥的体积最大， 此时，母线与底面所成的角即，其余弦值为. 故选：A. 8. 已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得是以为首项，2为公比的等比数列，从而可得，利用错位相减法可求得，可求解. 【详解】因为，所以，又，所以， 所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， 所以 所以， 所以， 所以，又，， 所以使得成立的最小整数为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 为关于的方程的另一个根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数乘法、除法运算法则及模长公式，可确定AC选项，再利用复数范围内的求根公式可知复数是方程的根，则也是方程的根可确定D选项，再利用韦达定理确定B选项. 【详解】对A，，，故A正确； 对C，，故C错误； 对D，又为关于的方程，所以也是方程的根，故D正确； 对B，，故B正确； 故选：ABD 10. 已知随机事件，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，相互独立，则 B. 若，相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式，条件概率公式可解AB选项，在的条件下，利用可求C选项，再利用全概率公式及对立事件概率公式可确定D选项. 【详解】对于AB选项，因为，相互独立， 则，，故A正确，B错误； 对于C选项，若，，，故C正确； 对于D选项，则， 所以，故D正确； 故选：ACD. 11. 抛物线的光学性质是指平行于抛物线对称轴的光线通过反射后经过抛物线的焦点.且光线反射遵循反射基本定理，反射点处的切线与入射光线反射光线所成夹角的角平分线垂直.如图，已知抛物线，一束光线从点出发平行于轴射入抛物线，经过两次反射后平行射出，轴，设反射点分别为，，为坐标原点，过，分别作，的角平分线交于点，已知的最小值为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 存在直线，使得，，，四点共圆 D. 面积的最小值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，设直线，联立直线与抛物线方程，根据焦点弦长公式得，从而得到A正确；B选项，，从而解得，故B正确；C选项，先得到，若点，，，四点共圆，则，利用向量数量积公式得到因为，故C错误，D选项，作出辅助线，得到轴，，得到，求出最小值. 【详解】A选项，由题意得直线过焦点，设直线， 联立直线与抛物线方程可得 设， 则， 所以， 则，当且仅当时，等号成立， 故，，故A正确； B选项，由A知，， 则， 解得，故B正确； C选项，，， 所以， 如果点，，，四点共圆，则， ，， 因为，故C错误， D选项，过点分别作⊥于点，⊥于点，⊥于点， 因为，的角平分线交于点，所以，， 故， 设为的中点，连接，则轴， 因为，所以， 由A知，，由B知，， ， 显然，当时，取得最小值，最小值1，D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是________.（写出一个满足条件的函数即可） 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据题意只要函数是上单调递增的奇函数即可符合题意. 【详解】根据题意只要函数是上单调递增的奇函数即可符合题意，所以，即可以是， 故答案为：(答案不唯一). 13. 已知，为椭圆的左、右焦点，点，在上，若等边三角形的重心为，则的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设焦点在轴上，由题意可得两点关于轴对称，由重心坐标公式可得，进而可求得的坐标，进而可得，，可求离心率. 【详解】不妨设焦点在轴上，故，的坐标分别为，， 因为三角形是等边三角形，所以两点关于轴对称，所以， 因为三角形的重心为，所以，所以， 又，所以， 所以，所以，， 所以，所以. 故答案为：. 14. 两个不透明的袋子中均装有1个红球，2个白球，2个黑球（除颜色外，质地大小均相同），从两个袋子中同时取出1个球（取出的球不放回袋中），若两球颜色相同，则记1分，否则记0分，则取球5次后，总得分大于2的概率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】先固定一个袋子中的取球顺序为红白白黑黑，再分得3分，4分，5分时第二外袋子的每种排列数可求概率. 【详解】不妨先固定其中一个袋子中的取球顺序为红白白黑黑， 则另一个袋子的取球可能总数为， 得分为3分的情况为：红白黑黑白，其中第2，3位可交换顺序， 第4，5位可以交换顺序，所以总数为， 黑白白黑红，其中第4，5位可以交换顺序，白白黑黑红，其中第2，3位可交换顺序且黑白可以交换顺序，所以总数为， 得分为4分的情况不存在，得分为5分的情况为：红白白黑黑，1种情况， 所以总得分大于2的概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，且边上的高为，求的周长． 【答案】（1）或 （2）6 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合诱导公式及两角和的正弦公式即可求解； （2）分类讨论，利用等面积法及余弦定理即可求解． 【小问1详解】 ， 又， 所以 又，所以，解得或， 所以或． 【小问2详解】 若，， 由余弦定理得，， 所以，所以的周长为； 若，为直角三角形，斜边上的高为， 由斜边中线长为斜边一半，则斜边上的中线为1，则该三角形不存在， 故的周长为6． 16. 已知函数，. （1）若，求图象在点处的切线方程； （2）若函数在上的最小值是，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分，结合区间讨论函数的单调性，进而即可. 【小问1详解】 当时，， 则，则，又， 所以函数在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由，， 则， 当时，，则函数在上单调递增， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 当时，由，得，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，函数在上单调递减， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 若，即时，函数在上单调递增， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 若，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，解得. 综上所述，． 17. 如图，在多面体中，是边长为2等边三角形，平面，，，，，设为的中点． （1）证明：平面； （2）设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到向量坐标，利用空间向量的数量积为0，证明线线垂直，从而得到线面垂直. （2）设出动点坐标得到线的方向向量，设平面法向量，由法向量垂直平面内任意两个相交向量求出一个法向量坐标，然后由线的方向向量和面的法向量表示出线面角的正弦值.对于表达式进行整理化简，构造函数通过二次函数对称轴求函数的最大值. 小问1详解】 如图，在平面ABC内过点作直线， ∵平面，平面，∴，， ∴以为坐标原点，分别为坐标轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ∵为的中点，∴， ∴，，， ∴，即， 又∵平面，平面，， ∴平面. 【小问2详解】 设，即 则， ，， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 即， 设直线与平面所成角为， 则， 令， 当时，取最小值，即， 即当时，取得最大值，， 18. 已知双曲线的实轴长为，离心率为. （1）求双曲线的标准方程： （2）过点的直线与的左、右两支分别交于，两点，点，直线与直线交于点. （i）证明：直线的斜率为定值； （ii）记，分别为，的面积，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和实轴长可得方程； （2）（i）设出直线的方程与双曲线联立，写出韦达定理，求出的斜率，化简可得答案； （ii）根据斜率相等把面积比转化为线段比，结合韦达定理可求范围. 【小问1详解】 设焦距为，因为实轴长为，离心率为，所以， 所以，故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）证明：当直线斜率为0时，， 的方程为； 令可得，此时的斜率为. 当直线斜率不为0时，设， 联立，可得， 因为直线与双曲线的左右两支交于两点， 所以，， 设，则， 且，解得. 的方程为，令可得， 所以的斜率为， 化简可得， 由可得， 所以； 综上可得，直线的斜率为定值. （ii）当直线斜率为0时，， 两个三角形相似，. 当直线斜率不为0时，此时， 所以， 因为，所以， 因为，所以，即或（舍）， 所以； 综上可得. 19. 若对于任意整数，，均有，则称数列为数列. （1）设各项均为正整数且公差不为0的等差数列为数列，，求； （2）证明：当时，数列为数列； （3）证明：若数列的各项均为正数，当时（其中，为常数），数列不是数列. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用和等差数列通项公式列出不等式，化简得出公差范围，结合各项为正整数且确定值，进而求出通项. （2）将变形为，根据时幂函数性质证明不等式成立. （3）先由时的条件得出范围，再根据时的范围得到，取对数后结合对数性质推出矛盾，判断不是数列. 【小问1详解】 设公差为，由，根据等差数列通项公式，有，化简得. 因为各项为正整数且，所以，， 则. 【小问2详解】 要证，即证. 因为，幂函数在上是上凸函数，所以，所以是数列. 【小问3详解】 当时，，得. 当时，，又，即，所以. 两边取对数对恒成立. 因为， 所以当时，，矛盾，所以不是数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高州市2025年高考适应性考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,，则（ ） A. B. C. D. 2. 随机变量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 3. 已知圆，直线，若圆上有且仅有一点到直线的距离为1，则（ ） A. 2 B. C. ±2 D. 4. 已知向量，，且在方向上投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（ ） A B. C. 为纯虚数 D. 为关于的方程的另一个根 10. 已知随机事件，满足，，则下列说法正确是（ ） A. 若，相互独立，则 B. 若，相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 抛物线的光学性质是指平行于抛物线对称轴的光线通过反射后经过抛物线的焦点.且光线反射遵循反射基本定理，反射点处的切线与入射光线反射光线所成夹角的角平分线垂直.如图，已知抛物线，一束光线从点出发平行于轴射入抛物线，经过两次反射后平行射出，轴，设反射点分别为，，为坐标原点，过，分别作，的角平分线交于点，已知的最小值为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 存在直线，使得，，，四点共圆 D. 面积的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是________.（写出一个满足条件的函数即可） 13. 已知，为椭圆的左、右焦点，点，在上，若等边三角形的重心为，则的离心率为________. 14. 两个不透明的袋子中均装有1个红球，2个白球，2个黑球（除颜色外，质地大小均相同），从两个袋子中同时取出1个球（取出的球不放回袋中），若两球颜色相同，则记1分，否则记0分，则取球5次后，总得分大于2的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，且边上的高为，求的周长． 16. 已知函数，. （1）若，求图象在点处的切线方程； （2）若函数在上的最小值是，求的值. 17. 如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，平面，，，，，设为的中点． （1）证明：平面； （2）设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值． 18. 已知双曲线的实轴长为，离心率为. （1）求双曲线的标准方程： （2）过点的直线与的左、右两支分别交于，两点，点，直线与直线交于点. （i）证明：直线的斜率为定值； （ii）记，分别为，的面积，求的取值范围. 19. 若对于任意整数，，均有，则称数列为数列. （1）设各项均为正整数且公差不为0等差数列为数列，，求； （2）证明：当时，数列为数列； （3）证明：若数列的各项均为正数，当时（其中，为常数），数列不是数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$