精品解析：黑龙江大庆市靓湖学校2025-2026学年八年级下学期第一阶段数学练习卷

大庆市靓湖学校八年级第一阶段练习卷数学 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（共10小题） 1. 如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义．解题运用“代入求值”思想，将方程的根代入方程转化为关于c的一元一次方程求解．解题关键是准确代入根并正确运算，易错点为代入或后续计算时出错． 根据方程根的定义，把代入方程，得到，然后通过移项、计算，求出c的值． 【详解】解：由题意，将代入方程，得： 解得． 故选：A． 2. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项之积．依据比例的性质，将各选项变形即可得到正确结论． 【详解】解：A．由可得，，不合题意； B．由可得，，符合题意； C．由可得，，不合题意； D．由可得，，不合题意； 故选：B． 3. 若是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值． 先将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，再代入对应值计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∴； 故选：C． 4. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质，根据相关概念，对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，所以A项错误，不符合题意． B、矩形的对角线相等且平分，不一定互相垂直，所以B项错误，不符合题意． C、菱形的四个角不一定相等，所以C项错误，不符合题意． D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确，符合题意． 故选：D． 5. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 11或 13 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法，求出方程的根，然后根据三角形的三边关系判断是否可以构成三角形，最后计算周长即可. 【详解】∵x2﹣6x+8=0，即（x﹣2）（x﹣4）=0， ∴x﹣2=0或x﹣4=0， 解得：x=2或x=4， 若x=2，则三角形的三边2+3＜6，构不成三角形，舍去； 当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13， 故选D． 【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法以及三角形三边关系． 6. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、， 根据题意得， ∵， ∴， 又∵， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键． 7. 春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（ ） A. B. 1 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设主干长出x支支干，则每根支干又会分出支小分支，再根据主干、支干、小分支的数量总和为21列方程即可． 【详解】解：设主干长出x支支干，则小分支一共有支， 由题意得． 8. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，中位线的性质，由相关定理确定线段间的数量关系是解题的关键． 由菱形性质，结合勾股定理求得，根据中位线定理求． 【详解】解：由菱形知， ∴，，， ∴， ∵点M为的中点，O为的中点， ∴； 故选：A． 9. 如图，正方形的顶点O在坐标原点，其中点C的坐标为，则点B 的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 作于点D，作于点E，作于点F，证明得，同理可证，从而，进而可求出点B 的坐标为． 【详解】解：如图，作于点D，作于点E，作于点F， ∴， ∴． ∵点C的坐标为， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 同理可证，， ∴， ∴点B的横坐标为，点B的纵坐标为， ∴点B 的坐标为． 故选B． 10. 已知关于x的一元二次方程：，有下列结论： ①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程不可能有两个异号的实根； ③当时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的求根公式对每个选项进行一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴Δ＝4+4a， ∴①当时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确， ②当时，两根之积，方程的两根异号，故②错误， ③方程的根为x＝， ∵， ∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确， ④当时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程的求根公式，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键． 二、填空题（共8小题） 11. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，不添加任何辅助线，要使四边形是正方形，则需要添加一个条件是___________．（填一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形添加一个条件判定为正方形．熟练掌握正方形的判定定理，是解题的关键．  根据正方形的判定中对边、角、对角线的要求，试着找出答案； 本题可根据有一个角为直角的菱形是正方形即可得解，注意：答案不唯一． 【详解】添加，理由： ∵四边形是菱形，， ∴菱形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器． 【答案】6 【解析】 【分析】设每轮传播中平均一台服务器会感染x台服务器，由经过两轮感染后共有245台服务器感染了病毒，建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每轮中平均每台服务器感染服务器的台数为x，根据题意可得： ， 解得，（舍）， ∴每轮感染中平均每台服务器感染6台服务器． 13. 若α、β是方程的两个实数根，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的解和根与系数的关系，根据方程的解的定义和根与系数的关系可得：，，然后整体代入求解即可，掌握一元二次方程的解的定义和根与系数得关系是解决此题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． . 14. 如图，是正方形的对角线，，，，分别是，，，的中点．若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过设正方形边长为，利用正方形性质、中点坐标公式确定各点坐标，再根据两点间距离公式结合求解的值． 【详解】设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： ，，，， 是正方形的对角线，，，，分别是，，，的中点， ， ， 是的中点，，， ，， ，即， 解得：， ． 15. 设，则k的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】依据等比性质可得，，分两种情况讨论，即可得到的值． 【详解】解：当时， ， 由等比性质可得，， 即； 当时，， ； 综上所述，的值为或． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质． 16. 如图，，，延长交于，且，则的长____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题关键．过D作的平行线交于G，利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过D作的平行线交于G， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，矩形中，，，点从开始沿折线以的速度运动，点从开始沿边以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当________时，四边形也为矩形． 【答案】 【解析】 【分析】求出∠A=∠D=90°,CD∥AB ,AP=4t,DQ=12-2t,由矩形的性质得出∠A=∠D=90°,CD∥AB ,得出AP=DQ时,四边形APQD是矩形,得出方程4t=12-2t ,解方程即可. 【详解】根据题意得: ∠A=∠D=90°,CD∥AB 则DQ=12-2t, ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠D=90°,CD∥AB, ∴当AP=DQ时,四边形APQD是矩形, 即4t=12-2t, 解得:t=2, ∴当t=2s时,四边形APQD是矩形; 故答案为2s. 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、解方程等知识;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键. 18. 如图，在正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④；⑤．其中正确结论的序号是___________． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过作，交的延长线于，利用③中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；⑤在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积；④连接，求出的面积，然后减去的面积即可． 【详解】解：①，， ， 又，， ， 故①正确； ③， ， 又，， ， ， 故③正确； ④如图，连接，在中， ， ， 又， ， ， ， ， 故④错误； ②过作，交的延长线于， ，， ， 又③中，， ， 又 ， 故②不正确； ⑤， 在中，， ， 故⑤正确. 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识． 三、解答题（共10小题） 19. 用适当的方法解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）设，则，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：因式分解得，， ∴或 ，； 【小问2详解】 解：移项得，， 因式分解得，， ∴或， ，； 【小问3详解】 解：设，则， 因式分解得，， ∴或， ∴或， 解得，． 20. 如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查平行线分线段成比例，利用得到，求出，，根据得到，由此求出． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴，， ∵， ， ∴． 21. 已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【解析】 【分析】利用韦达定理，先根据两根之和求出另一个根，再根据两根之积求出的值． 【详解】解：设方程的另一个根为， 在方程中，，， 两根之和， ∴． ∴． 22. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根，得到根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可； （2）由根与系数的关系得到，，再得出，运用两根关系可以得到的方程，求解即可． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有两个实数根和， ， ， ； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵， ∴， ， ， ， ，， 由（1）知道， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 23. 定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； （3）已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】（1） 在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． （2） （3）m的值为1或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． （1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0； （2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； （3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组，解得， ∴该方程为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 24. 如图，在四边形中，对角线、交于点O，，，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定定理以及菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边对等角，熟练掌握菱形的判定定理和性质是解题的关键． （1）根据平分得到，证明，得到，证明四边形是平行四边形，再根据即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，根据勾股定理，在中，求得，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， 在中，是的中点， ， ， ， 在中，， ， ． 25. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在两边都足够长的直角墙一角，围成一个矩形菜地作为实践基地，如图所示，为了方便出入，在边开一个宽为的门（建在处，另用其它材料）． （1）若设，则的长为_________ ；（用含x的代数式表示） （2）当矩形菜地的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的矩形菜地？ 【答案】（1） （2）当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，根据清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在边开一个宽为的门，得的长为，即可作答． （2）理解题意，根据围成一个面积为的矩形菜地，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在边开一个宽为的门，设， ∴， 则的长为； 【小问2详解】 解：由（1）得，则， ∵围成一个面积为的矩形菜地， ∴， 整理得， 解得． 当时，； 当时，； 答：当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地． 26. 已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； 【答案】（1） 证明：， ； ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，得：， ∵是以为斜边的直角三角形， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ． 27. 综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目准备】 数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况． 知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式． 工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 【答案】（1）该款迷你无人机的月平均增长率为； （2）每架迷你无人机的售价应降低20元． 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据2025年11月的销售量2026年1月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设每架迷你无人机降价y元，根据利润每架的利润销售量建立方程，解方程可得y的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【小问1详解】 解：设该款迷你无人机的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每架迷你无人机降价y元，则每天能销售架， 由题意得， 整理得， 解得，． 需要尽量减少库存， ． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 28. 我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，请补充完整． 原题：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． （1）思路梳理∵，∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．∵，∴，点共线． 易证______其判断理由是______，可得． （2）类比引申如图2，四边形中，，，点E、F分别在边上，．若、都不是直角，则当与满足什么等量关系____时，仍有，并说明理由． （3）联想拓展如图3，在中，，，点均在边上，且．则满足_____，若，则的最小值是_____． 【答案】（1）， （2） （3）；的最小值为 【解析】 【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．当时，，由，然后根据非负数的性质和不等式的性质求解即可． 【小问1详解】 解：， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图1， ， ，点、、共线， 则，，， ， 即， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：时，；理由如下： ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示： ，， ，， ， ， ， ，点、、共线， 在和中， ， ， ， ， ， 【小问3详解】 解：猜想：．理由如下： 把绕点逆时针旋转到的位置，连接，如图3所示： 则，， ．，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ． 当时，， ， ， ， 当时，的最小值， 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市靓湖学校八年级第一阶段练习卷数学 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（共10小题） 1. 如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 2. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 9 4. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 5. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 11或 13 D. 13 6. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（ ） A. B. 1 C. 1 D. 8. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 9. 如图，正方形的顶点O在坐标原点，其中点C的坐标为，则点B 的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 已知关于x的一元二次方程：，有下列结论： ①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程不可能有两个异号的实根； ③当时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共8小题） 11. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，不添加任何辅助线，要使四边形是正方形，则需要添加一个条件是___________．（填一个即可） 12. 在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器． 13. 若α、β是方程的两个实数根，则的值为______ 14. 如图，是正方形的对角线，，，，分别是，，，的中点．若，则的长为_____． 15. 设，则k的值为___________． 16. 如图，，，延长交于，且，则的长____． 17. 如图，矩形中，，，点从开始沿折线以的速度运动，点从开始沿边以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当________时，四边形也为矩形． 18. 如图，在正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④；⑤．其中正确结论的序号是___________． 三、解答题（共10小题） 19. 用适当的方法解方程： （1） （2） （3） 20. 如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 21. 已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 22. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求m的值． 23. 定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； （3）已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 24. 如图，在四边形中，对角线、交于点O，，，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在两边都足够长的直角墙一角，围成一个矩形菜地作为实践基地，如图所示，为了方便出入，在边开一个宽为的门（建在处，另用其它材料）． （1）若设，则的长为_________ ；（用含x的代数式表示） （2）当矩形菜地的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的矩形菜地？ 26. 已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； 27. 综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目准备】 数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况． 知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式． 工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 28. 我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，请补充完整． 原题：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． （1）思路梳理∵，∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．∵，∴，点共线． 易证______其判断理由是______，可得． （2）类比引申如图2，四边形中，，，点E、F分别在边上，．若、都不是直角，则当与满足什么等量关系____时，仍有，并说明理由． （3）联想拓展如图3，在中，，，点均在边上，且．则满足_____，若，则的最小值是_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $