期中培优：平面向量7种高频考法专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中培优：平面向量7种高频考法专项训练 期中培优：平面向量7种高频考法专项训练 考点目录 平面向量的线性运算 平面向量的数量积 平面向量的基本定理 平面向量的坐标运算 平面向量的实际应用 向量新定义问题 平面向量与四心问题 考点一 平面向量的线性运算 例1．（25-26高一下·江苏南京·月考）已知平面向量，，则存在，使得“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，可得； 当，时，满足，但不存在，使得； 所以存在，使得”是“”的充分不必要条件． 例2．（25-26高三下·江苏连云港·月考）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据相似易得，再根据平面向量的线性运算可得，求出，进而求解即可. 【详解】连接，由题意可知，，所以，则， 所以，所以， 则，故， 又，所以，则. 例3．（25-26高一下·四川达州·月考）在正方形中，是边上靠近点的三等分点，连接交于点，若，则的值为________． 【答案】 【分析】由题意知，三点共线，则，用和表示出，根据三点共线，可得到值，整理化简即可得到和值，从而可得答案. 【详解】由题意知，三点共线，是边上靠近点的三等分点， 则， 又三点共线则，即， 则， 所以，，故. 例4．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为________． 【答案】3 【分析】由平面向量减法运算得出，再由三点共线得，列出方程组求解即可． 【详解】由已知得，， 若，，三点共线，则，即， 所以，解得， 故答案为：3． 变式1．（25-26高一下·天津河北·月考）设，是两个不共线的向量.若向量与的方向相反，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】因为向量与的方向相反， 所以，其中， 因，是两个不共线的向量， 则，， 联立可得：，则. 变式2．（25-26高一下·山东淄博·月考）已知为所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的几何性质结合向量的线性运算即可得解. 【详解】如图所示，作出符合题意的图形， 所以. 变式3．（25-26高一下·四川成都·月考）化简＝______ 【答案】10 【详解】. 变式4．（25-26高一下·黑龙江绥化·月考）若向量，不共线，且向量，同向共线，则______ 【答案】 【分析】根据向量同向共线求解即可. 【详解】因为向量，同向共线， 所以，，即，. 所以，整理得，即， 解得或. 又，即，所以. 考点二 平面向量的数量积 例1．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）已知平面向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．4 B．12 C． D． 【答案】C 【详解】已知，，夹角， 则， 所以， 所以. 例2．（2026·广西河池·二模）已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的运算法则及定义，两边平方后化简即可得解, 【详解】因为，所以， 即， 又因为向量均为单位向量，且向量夹角为， 所以，即. 例3．（25-26高一下·安徽阜阳·月考·多选）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】借助模长与数量积的关系计算可得A、D；借助夹角公式计算可得B，即可得C. 【详解】对A、D：由，得，整理得， 由，得，整理得， 则，所以，，故A，D正确； 对B、C：，所以，所以，反向共线， 又，所以，，故B正确，C错误． 例4．（25-26高一下·陕西西安·月考）平面向量与的夹角为，，，则__________. 【答案】 【详解】平面向量与的夹角为，，， ，，， . 例5．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知平面向量满足，且，则向量的夹角大小为__________. 【答案】 【分析】利用平面向量数量积与向量的运算律以及向量夹角公式计算即可. 【详解】设向量的夹角，因为， 所以， 即解得：， 因为，所以. 例6．（25-26高一下·湖南·月考）已知向量，满足，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 即，则， 所以，则， 又，则. （2）由，得， 则， 即，解得. 例7．（25-26高一下·山东菏泽·月考）已知向量，满足，，且，的夹角为． (1)求； (2)求在上的投影向量；（用表示） (3)若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量模及向量数量积的运算律，计算求解； （2）利用投影向量的计算公式计算求解； （3）结合已知条件构造不等式，解不等式求实数的取值范围 【详解】（1）已知，，且，的夹角为， ， ． （2）根据投影向量的定义，在上的投影向量为， ，， 投影向量为． （3）已知向量与向量的夹角为钝角， ，且与不反向共线； 则， 即，解得； 若两向量反向共线，则存在实数，使得，， 即，将代入，得到， 由，解得， 与不反向共线， ， 综上可得，实数的取值范围是． 变式1．（2026·广东深圳·二模）已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（    ） A．4 B．16 C．1 D．3 【答案】A 【详解】由题设，则， 由，则. 变式2．（25-26高一下·陕西延安·月考）已知向量满足，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为， 所以，所以， 所以，而，所以， 即与的夹角为. 变式3．（25-26高一下·江苏淮安·月考·多选）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（    ） A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 【答案】ACD 【详解】因为， 所以，所以，所以B错误； 所以， 因为，所以，所以A正确； 因为，所以C正确； 因为， 且，所以，所以D正确. 变式4．（25-26高一下·山东临沂·月考）已知向量满足，且与的夹角为，则___________． 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，结合，即可求解. 【详解】由向量满足，且与的夹角为， 可得， 则，所以. 变式5．（25-26高一下·上海徐汇·月考）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则__________. 【答案】 【详解】因为在方向上的投影向量是，且，所以 变式6．（25-26高一下·湖北黄冈·月考）已知是互相垂直的单位向量，，， (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合向量垂直性质，根据数量积的运算律列方程求解即可； （2）先利用数量积的运算律求解，利用数量积模的运算求解和，然后代入向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）由，得，则，即，所以，解得； （2）因为与的夹角为， 所以， ， ， 所以， 平方化简得，解得. 由夹角为 可知 ，即 ， 所以. 变式7．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知向量、满足，，且． (1)若，求实数的值； (2)求； (3)求与的夹角． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用向量的数量积的运算律，得到，再利用垂直的向量表示，即可求解； （2）利用向量的模长计算公式，即可求解； （3）先计算出，再利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为，又，， 所以，又，则， 得到，解得. （2）因为，所以. （3）因为，又，， 所以，又，所以. 考点三 平面向量的基本定理 例1．（25-26高一下·甘肃兰州·月考）如图，中，点是线段的中点，是线段的靠近A的三等分点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将用、表示，然后利用平面向量的减法可得出关于、的表达式. 【详解】因为为线段的中点，则， 因为点是线段上靠近的三等分点， 则， 因此，. 例2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意得， ， 又， 则由平面向量基本定理可知，，得， 则. 例3．（2026·青海西宁·一模）如图，在中，，是与的交点，且，则在上的投影向量的模取得最小值时，（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】以为基底，用不同方式表示出向量，结合平面向量基本定理和投影定义求解可得. 【详解】设，则 ， 同理设，则. 由平面向量基本定理得，解得，所以， 向量在上的投影向量的模为 ， 而，当且仅当时取等号， 所以在上的投影向量的模取得最小值时，. 变式1．（2026·浙江宁波·二模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由共线，存在使 ， 由 共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：， ，因此：，故选项 A 错误； 对于B，， 若，则： ​，显然系数不相等，选项B错误； 对于C，由于，且在 上，故设， 则， 结合 ，得：，解得，选项C错误； 对于D，由， 所以，故选项 D 正确. 变式2．（25-26高一下·重庆·月考）在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是的中点，， 因为，所以，又， 由题意得，故B正确. 变式3．（25-26高一下·山东临沂·月考）如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由及点共线，得， 而，因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 考点四 平面向量的坐标运算 例1．（25-26高一下·陕西宝鸡·月考）已知向量，若满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为， 所以，， 因为且， 所以且，解得. 例2．（25-26高一下·云南楚雄·月考）已知向量，若，则（    ） A．-3 B．0 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由，得，解得. 例3．（25-26高一下·湖南长沙·月考·多选）已知向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为钝角，则 【答案】AC 【分析】利用向量的坐标运算计算即可. 【详解】对于A选项，当时，，故A选项正确； 对于B选项，当时，,解得，故B选项不正确； 对于C选项，若，则，所以，所以C选项正确； 对于D选项，依题意，，且，， 故，故D选项错误. 例4．（25-26高一下·湖南邵阳·月考）已知平面向量，，则在方向上的投影向量坐标为______． 【答案】 【详解】，， ，， 在方向上的投影向量坐标为：． 例5．（25-26高一下·江苏淮安·月考）已知，，，. (1)若，求的值； (2)若与的夹角为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量坐标运算即可求解； （2）由数量积的坐标运算以及定义，列方程即可化简求解. 【详解】（1）若，则，，所以， 所以． （2），       ． 即，平方得：， ∴或，                              ． 由于，所以不符合要求，故舍去； ∴． 例6．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，且，求与的夹角. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解； （2）根据题意，结合向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解； （3）由，求得，得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：由向量， 因为，可得，解得. （2）解：由向量，可得， 因为，可得， 即，解得或. （3）解：由，可得，解得， 因为，可得，所以， 则， 又因为，所以，即向量与的夹角为. 变式1．（25-26高一下·陕西延安·月考）已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为与的夹角为钝角，所以，即，解得. 当与共线时，，此时和反向，不满足题意. 故的取值范围为. 变式2．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知平面向量，．设，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积求夹角即可. 【详解】， 所以． 而， 所以，因此夹角． 变式3．（25-26高一下·浙江·期中·多选）设向量，则下列说法正确的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量是 D．若，则 【答案】AD 【详解】对于A，由向量与的夹角为钝角，得，解得，A正确； 对于B，，当且仅当取到等号，B错误； 对于C，与共线的单位向量有两个，为，C错误； 对于D，由，得，解得，D正确. 变式4．（25-26高一下·天津·月考）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据条件，得且向量不共线，即可求解. 【详解】因为，，则， 又与的夹角为锐角，则，所以，解得， 当时，有，得到，此时，， 同向共线，，故不合题意， 所以实数的取值范围是. 变式5．（25-26高一下·山东临沂·月考）已知向量． (1)若，的夹角为钝角，求的取值范围； (2)若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）； (3)若与的夹角为，求的值． 【答案】(1)且 (2) (3)或 【分析】（1）由坐标表示向量的数量积小于零且不共线即可； （2）先由坐标表示向量垂直的条件求出，再由投影向量的计算公式求解即可； （3）由坐标表示向量的数量积公式，化简计算即可. 【详解】（1）由题知，且，不共线． 则，即， 当时，，即． 综上，且； （2），，，则， 则在上的投影向量为，即为； （3） ，， ， 整理得：，解得：或. 变式6．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知平面向量，且. (1)若向量，求的夹角的大小； (2)当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求出的值，进而可以直接用坐标表示，再计算即可 （2）用关于的函数表示，求出该函数的值域即可 【详解】（1）由，可得，解得， ， . 设的夹角为，则， 又，故的夹角为. （2）， 令， 则时有时有， 的取值范围为. 考点五 平面向量的实际应用 例1．（25-26高一下·江苏南通·月考）在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平衡可得，，根据向量的坐标运算可得结果. 【详解】因为三个力的作用下恰好处于平衡状态，所以， 设，根据向量的坐标运算，， 所以，所以. 因为，所以在上的投影向量的坐标为. 例2．（25-26高一下·重庆·月考）单摆是一种经典的物理模型，由一根轻质细线和一个小球组成．如图，悬点位于点，细线长米，小球视为质点，小球从点处释放，围绕点做圆周运动，小球运动到最低点处时，球受到的重力为，受到细线拉力的大小为，其中小球速度米秒，小球质量千克，重力加速度米/秒，则（    ） A． B． C．25 D．50 【答案】B 【详解】由于小球运动到最低点处时，重力向下，拉力向上，且，， 则方向向上，大小为， 故. 例3．（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么__________ N.（）    【答案】100 【分析】建立平面直角坐标系，求出向量坐标，根据向量的和向量为零向量，即可求得答案. 【详解】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，设，， 所以，，， 由题意可得， 所以，即， 解得，. 故答案为：100 例4．（25-26高一下·福建厦门·月考）若平面上的三个力作用于同一点，且处于平衡状态．已知，且与的夹角为，则与的夹角为__________． 【答案】 【分析】以和的公共起点为原点，以的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系．设，由题意可得，由，可得，再由数量积公式及夹角公式即可求解. 【详解】如图以和的公共起点为原点，以的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系． 设， 因为且与的夹角为， 可得， 所以． 因为三个力作用于同一点，且处于平衡状态， 所以， 即，则， 所以． 设与的夹角为， 则． 因为，所以， 所以与的夹角为． 故答案为：. 变式1．（25-26高一下·安徽滁州·月考）已知力作用于同一质点，使之由点移动到点，则力的合力对质点所做的功为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】用坐标表示合力，再结合向量数量积坐标运算求解即可. 【详解】依题意，， 所以合力对质点所做的功为. 变式2．（25-26高三下·湖南长沙·月考）一条河的宽度为d，一船从A 处出发到河的正对岸B 处，船速的大小为||，水速的大小为 ||，则船行到 B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，设船速为，水速为，船的实际行驶速度为合速度; 因为船要到达河的正对岸，所以船速、水速与合速度构成直角三角形，其中船速为斜边，水速和合速度为两直角边，如图： 已知船速的大小为||，水速的大小为||，合速度的大小为||，则有 变式3．（25-26高三下·上海·月考）如图，现有一块质量均匀的矩形扁平木板立于墙边（木板上边缘紧贴墙面，下边缘紧贴地面），与墙面夹角，墙面与地面垂直，若地面和墙面平整且光滑，根据物理学规律，木板底端会沿垂直于墙面的方向向外滑动，在木板刚开始滑动时，沿墙面滑动的速度的大小和沿地面滑动的速度的大小的比值为___________． 【答案】 【详解】将速度沿木板所在直线和垂直该直线的方向分解， 则速度沿木板所在的直线方向上的分速度为， 将速度沿木板所在直线和垂直该直线的方向分解， 则速度沿木板所在的直线方向上的分速度为， 所以，同样得到. 变式4．（25-26高一下·山西临汾·月考）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小__________. 【答案】 【分析】根据平行向量的几何性质，结合向量数量积的运算性质，即可求解. 【详解】如图，，， ，所以，则， 设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有，即， 所以， 所以此时小货船航行速度大小为. 考点六 向量新定义问题 例1．（25-26高一下·陕西西安·月考）平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量的大小可以由模来刻画，其方向可以由以x轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画． 设，则．另外，将向量绕点A按逆时针方向旋转角后得到向量．如果将的坐标写成（其中），那么． 根据以上材料，回答下面问题： (1)若，，，求向量的坐标； (2)如图，点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接，求的中点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再结合题设定义求解即可； （2）设，有，再结合题设定义求出，得两点坐标，即可求中点坐标. 【详解】（1）由题意，，则， 所以. （2）设，由于， 则， 因为， 所以， ， 则， 所以DE的中点坐标为. 例2．（25-26高一下·湖南长沙·月考）如图，设是平面内相交成( 角的两条数轴， 分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量 则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为 (1)若在该坐标系下， 计算 的大小； (2)若在该坐标系下，已知 且满足 求 的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将用表示，根据向量模的运算求解即可； （2）求出，然后利用换元法转化为关于的函数，利用二次函数求最值即可. 【详解】（1）由题可知， 则，则， ， 所以. （2）由题意得 ，， 因此 ， 令，由，得， 因此，又， 代入得这是开口向上的二次函数，对称轴为，在区间上单调递增， 因此当时取最大值. 例3．（25-26高一下·山东·期中）已知向量集（且），记向量，若存在向量，使得，则称是的“平衡向量”. (1)已知向量，，，若是向量集的平衡向量，求实数的取值范围； (2)若向量集，，且，则中是否存在平衡向量？若存在，求出所有的平衡向量，若不存在，请说明理由； (3)已知向量，，均为向量集的平衡向量，其中，，设在平面直角坐标系中有一点列，其中，且，，，求. 【答案】(1) (2)存在； (3) 【分析】（1）根据平衡向量的定义，列不等式，求的取值范围即可得； （2）利用三角函数的周期性可得，对两边同时平方，解方程即可得出答案； （3）由定义，结合模长公式可得，由此求出，由条件列式，变形为，求出，即可求出． 【详解】（1）因为，，， 故，， 由于是向量集的平衡向量，所以 即，即，解得. 即实数的取值范围为. （2）因为，由于均为周期函数， 且周期为，而， ， 故， 若中存在平衡向量，则存在，使得 故， 即， 故，故， 解得，，， 当时，；当时，；当时，， 即， 故存在平衡向量，平衡向量为. （3）向量，，均为向量集的平衡向量，故， 即，， 即，同理，， 三式相加并化简，得：， 即，，所以， 设，由，，， 得，所以，设， 因为，，， 则依题意得：， 即， 得， ，……， ， 以上个式子相加化简得：， 又， 所以， ，所以， . 变式1．（25-26高一下·辽宁沈阳·月考）用和做基向量，其中，，，对于与、共面的任意一个向量，根据平面向量基本定理，存在唯一的一对实数，使得，我们定义有序实数对为向量在基底下的坐标．已知在基底下向量的坐标是，向量的坐标是． (1)求，（其中）在基底下的坐标并写出求解过程． (2)求的坐标运算式并写出求解过程． (3)在基底下，向量的坐标是，求． 【答案】(1)，，求解过程见解析； (2)，求解过程见解析； (3) 【详解】（1）因为在基底下向量的坐标是，向量的坐标是， 所以，， 所以， 所以在基底下的坐标为， 同理， 所以在基底下的坐标为. （2）因为，，， 所以， 所以 . （3）因为向量的坐标是， 所以， 由（2）知，，，， 所以 . 变式2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）对于一组向量，记，令向量，如果存在向量，，使得，那么称是的“k向量”. (1)设，，若是的“向量”，求实数x的取值范围； (2)若，，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由； (3)已知均是的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，，满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值. 【答案】(1) (2)存在，且“向量”为，，理由见解析； (3)4048 【分析】（1）根据题意得到，通过向量的坐标运算及模运算得到不等式，求出答案；（2），若中存在“向量”，只需使，结合题意分析可得，当或6时，符合要求，得到结论；（3）由题意整理可得，设，由得，设，由对称得到方程组，求出，其中，即可得结果. 【详解】（1）由题意可得：，即， 因为，则，，， 可得， 则，解得或， 所以实数x的取值范围. （2）存在“向量”，且“向量”为、，理由如下： 由题意可得， 若中存在“向量”，则， 因为， 所以， 即，即，又，所以或6. 当或6时，符合要求，故存在“向量”，且“向量”为、. （3）由题意，得，即， 所以，即，亦即， 同理，， 三式相加并化简，得， 即，，所以. 设，由得， 设，因为与关于点对称，与（且）关于点对称， 则依题意得：， 将①代入②得，， 从而， …… ， 以上k个式子相加化简得， ， 又由②知， ， 即， 所以， 其中， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故. 变式3．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由题设且、的夹角为，应用向量数量积的定义和运算律求向量模长； （2）由题设，，且，应用向量数量积的运算律求的数量积和模长，再由夹角公式求夹角余弦值，即可得； （3）设、（，），且，，，进而有、，可得，在中应用正余弦定理及三角恒等变换化简并求出的最大值. 【详解】（1）由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以. （2）由，，得，， 且， 所以，， 则， ， 因为与的夹角为，所以，解得. 又，，所以； （3）依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则 ， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则. 考点七 平面向量与四心问题 例1．（25-26高二上·上海·期中）已知 ，点 是平面 外一点，点 是点 在平面 上的射影，直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角相等，则 是 的（    ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【答案】D 【分析】点 是点 在平面 上的射影，知平面，所以，由直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角相等，证得，从而证得，由此可知 是 的外心. 【详解】由题可知，平面，所以. 所以. 连接，则分别是直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角， 所以. 在中，，是公共边， 所以. 所以. 所以 是 的外心. 故选：D. 例2．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用重心向量公式判断①；利用数量积运算律及定义求解判断②；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断③；设的中点为，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断④. 【详解】对于①：由得为重心，故①错误； 对于②：由得， 又，所以，所以为等腰三角形，故②正确； 对于③：由得，同理得， 所以为的垂心，故③错误； 对于④：取的中点为，所以，由正弦定理得，令， 则，所以，点的轨迹经过的重心，故④正确. 故选：B. 例3．（25-26高一下·吉林四平·月考）已知为的外心，为所在平面内一点，且，则点为的__________心.（填“重”“垂”“内”或“外”） 【答案】垂 【分析】先将转化为，通过计算，证得，同理证得、，从而判定为的垂心. 【详解】因为， 所以， 因为为的外心，所以， 所以，同理， 则点为的垂心. 例4．（25-26高一下·陕西咸阳·月考）若O为的外心，且，则______． 【答案】0 【分析】根据已知条件判断三角形的形状，进而计算向量的数量积. 【详解】由得即， ∴点是的中点， 故是直角三角形，且， ∴, 故答案为：0. 变式1．（25-26高一下·广东广州·月考）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 变式2．（25-26高一下·福建福州·月考）已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】设，分析得到是的角平分线，从而，所以点的轨迹经过的内心. 【详解】因为， 所以． 设， 因为，所以点在线段上且， 由角平分线的性质得是的角平分线， 而，所以点的轨迹经过的内心. 故选：A． 变式3．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的____（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． 【答案】重心 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质判断即可. 【详解】由，得， 设边的中点为，则，于是， 即，因此点在射线上（除点外）， 所以点的轨迹必过的重心. 故答案为：重心 变式4．（25-26高一下·上海长宁·月考）已知的顶点坐标、，设是的重心，则顶点的坐标为_________. 【答案】 【分析】利用三角形的重心坐标公式可求得点的坐标. 【详解】解：设点， 是的重心， 所以，，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：平面向量7种高频考法专项训练 期中培优：平面向量7种高频考法专项训练 考点目录 平面向量的线性运算 平面向量的数量积 平面向量的基本定理 平面向量的坐标运算 平面向量的实际应用 向量新定义问题 平面向量与四心问题 考点一 平面向量的线性运算 例1．（25-26高一下·江苏南京·月考）已知平面向量，，则存在，使得“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．（25-26高三下·江苏连云港·月考）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·四川达州·月考）在正方形中，是边上靠近点的三等分点，连接交于点，若，则的值为________． 例4．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为________． 变式1．（25-26高一下·天津河北·月考）设，是两个不共线的向量.若向量与的方向相反，则（   ） A． B． C．4 D．8 变式2．（25-26高一下·山东淄博·月考）已知为所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·四川成都·月考）化简＝______ 变式4．（25-26高一下·黑龙江绥化·月考）若向量，不共线，且向量，同向共线，则______ 考点二 平面向量的数量积 例1．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）已知平面向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．4 B．12 C． D． 例2．（2026·广西河池·二模）已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则（   ） A． B．1 C． D． 例3．（25-26高一下·安徽阜阳·月考·多选）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一下·陕西西安·月考）平面向量与的夹角为，，，则__________. 例5．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知平面向量满足，且，则向量的夹角大小为__________. 例6．（25-26高一下·湖南·月考）已知向量，满足，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，求实数k的值． 例7．（25-26高一下·山东菏泽·月考）已知向量，满足，，且，的夹角为． (1)求； (2)求在上的投影向量；（用表示） (3)若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 变式1．（2026·广东深圳·二模）已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（    ） A．4 B．16 C．1 D．3 变式2．（25-26高一下·陕西延安·月考）已知向量满足，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·江苏淮安·月考·多选）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（    ） A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 变式4．（25-26高一下·山东临沂·月考）已知向量满足，且与的夹角为，则___________． 变式5．（25-26高一下·上海徐汇·月考）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则__________. 变式6．（25-26高一下·湖北黄冈·月考）已知是互相垂直的单位向量，，， (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值． 变式7．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知向量、满足，，且． (1)若，求实数的值； (2)求； (3)求与的夹角． 考点三 平面向量的基本定理 例1．（25-26高一下·甘肃兰州·月考）如图，中，点是线段的中点，是线段的靠近A的三等分点，则（ ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（   ） A． B． C．2 D． 例3．（2026·青海西宁·一模）如图，在中，，是与的交点，且，则在上的投影向量的模取得最小值时，（   ） A． B．1 C．2 D． 变式1．（2026·浙江宁波·二模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·重庆·月考）在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·山东临沂·月考）如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 考点四 平面向量的坐标运算 例1．（25-26高一下·陕西宝鸡·月考）已知向量，若满足且，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·云南楚雄·月考）已知向量，若，则（    ） A．-3 B．0 C．3 D．4 例3．（25-26高一下·湖南长沙·月考·多选）已知向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为钝角，则 例4．（25-26高一下·湖南邵阳·月考）已知平面向量，，则在方向上的投影向量坐标为______． 例5．（25-26高一下·江苏淮安·月考）已知，，，. (1)若，求的值； (2)若与的夹角为，求实数的值． 例6．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，且，求与的夹角. 变式1．（25-26高一下·陕西延安·月考）已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知平面向量，．设，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·浙江·期中·多选）设向量，则下列说法正确的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量是 D．若，则 变式4．（25-26高一下·天津·月考）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 变式5．（25-26高一下·山东临沂·月考）已知向量． (1)若，的夹角为钝角，求的取值范围； (2)若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）； (3)若与的夹角为，求的值． 变式6．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知平面向量，且. (1)若向量，求的夹角的大小； (2)当时，求的取值范围. 考点五 平面向量的实际应用 例1．（25-26高一下·江苏南通·月考）在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·重庆·月考）单摆是一种经典的物理模型，由一根轻质细线和一个小球组成．如图，悬点位于点，细线长米，小球视为质点，小球从点处释放，围绕点做圆周运动，小球运动到最低点处时，球受到的重力为，受到细线拉力的大小为，其中小球速度米秒，小球质量千克，重力加速度米/秒，则（    ） A． B． C．25 D．50 例3．（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么__________ N.（）    例4．（25-26高一下·福建厦门·月考）若平面上的三个力作用于同一点，且处于平衡状态．已知，且与的夹角为，则与的夹角为__________． 变式1．（25-26高一下·安徽滁州·月考）已知力作用于同一质点，使之由点移动到点，则力的合力对质点所做的功为（    ） A．2 B． C．4 D． 变式2．（25-26高三下·湖南长沙·月考）一条河的宽度为d，一船从A 处出发到河的正对岸B 处，船速的大小为||，水速的大小为 ||，则船行到 B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三下·上海·月考）如图，现有一块质量均匀的矩形扁平木板立于墙边（木板上边缘紧贴墙面，下边缘紧贴地面），与墙面夹角，墙面与地面垂直，若地面和墙面平整且光滑，根据物理学规律，木板底端会沿垂直于墙面的方向向外滑动，在木板刚开始滑动时，沿墙面滑动的速度的大小和沿地面滑动的速度的大小的比值为___________． 变式4．（25-26高一下·山西临汾·月考）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小__________. 考点六 向量新定义问题 例1．（25-26高一下·陕西西安·月考）平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量的大小可以由模来刻画，其方向可以由以x轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画． 设，则．另外，将向量绕点A按逆时针方向旋转角后得到向量．如果将的坐标写成（其中），那么． 根据以上材料，回答下面问题： (1)若，，，求向量的坐标； (2)如图，点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接，求的中点坐标． 例2．（25-26高一下·湖南长沙·月考）如图，设是平面内相交成( 角的两条数轴， 分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量 则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为 (1)若在该坐标系下， 计算 的大小； (2)若在该坐标系下，已知 且满足 求 的最大值． 例3．（25-26高一下·山东·期中）已知向量集（且），记向量，若存在向量，使得，则称是的“平衡向量”. (1)已知向量，，，若是向量集的平衡向量，求实数的取值范围； (2)若向量集，，且，则中是否存在平衡向量？若存在，求出所有的平衡向量，若不存在，请说明理由； (3)已知向量，，均为向量集的平衡向量，其中，，设在平面直角坐标系中有一点列，其中，且，，，求. 变式1．（25-26高一下·辽宁沈阳·月考）用和做基向量，其中，，，对于与、共面的任意一个向量，根据平面向量基本定理，存在唯一的一对实数，使得，我们定义有序实数对为向量在基底下的坐标．已知在基底下向量的坐标是，向量的坐标是． (1)求，（其中）在基底下的坐标并写出求解过程． (2)求的坐标运算式并写出求解过程． (3)在基底下，向量的坐标是，求． 变式2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）对于一组向量，记，令向量，如果存在向量，，使得，那么称是的“k向量”. (1)设，，若是的“向量”，求实数x的取值范围； (2)若，，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由； (3)已知均是的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，，满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值. 变式3．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 考点七 平面向量与四心问题 例1．（25-26高二上·上海·期中）已知 ，点 是平面 外一点，点 是点 在平面 上的射影，直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角相等，则 是 的（    ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 例2．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（25-26高一下·吉林四平·月考）已知为的外心，为所在平面内一点，且，则点为的__________心.（填“重”“垂”“内”或“外”） 例4．（25-26高一下·陕西咸阳·月考）若O为的外心，且，则______． 变式1．（25-26高一下·广东广州·月考）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 变式2．（25-26高一下·福建福州·月考）已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 变式3．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的____（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． 变式4．（25-26高一下·上海长宁·月考）已知的顶点坐标、，设是的重心，则顶点的坐标为_________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $