6.2.4组合数 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.4 组合数 第六章 计数原理 作者编号：32100 1 新课引入 上节课已知“从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加一项活动”，通过列举数数知，有 3 种组合方式： 甲、乙； 甲、丙； 乙、丙. 若“从 50 名同学中选择 2 名同学参加一项活动，求有多少种组合方式”？上述方法是否便捷？ 作者编号：32100 一、组合数的概念 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 表示. 举例说明： 从 3 个不同元素中取出 2 个元素的组合数表示为 从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合数表示为 组合数是一个正整数 作者编号：32100 概念讲解 思考：组合和组合数有什么区别？ “组合”是指“从 n 个不同元素中取 m (m≤n)个元素作为一组”， 它不是一个数，而是具体的一件事； “组合数”是指“从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有 不同组合的个数”，它是一个数. 作者编号：32100 新知探究 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加一项活动： 组合： 甲乙 甲丙 乙丙 有 3 种 有 6 种 甲乙 甲丙 乙丙 排列： 乙甲 丙甲 丙乙 排列数也可以看作由以下两个步骤得到： 第①步，从3个不同元素中取出2个元素作为一组，共有 种不同的取法； C3 2 第②步，将取出的2个元素作全排列，共有 种不同的排法. A2 2 根据分步乘法计数原理，有 作者编号：32100 新知探究 应用同样的方法，求“从 a、b、c、d 元素中取出3个元素的排列数 .” A4 3 第①步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有 种不同的取法； C4 3 第②步，将取出的3个元素做全排列，共有 种不同的取法 A3 3 化简后得： 根据分步乘法计数原理，有 A4 3 C4 3 A3 3 ＝ A4 3 C4 3 A3 3 ＝ 如何将结论从特殊推广到一般的情况呢？ 作者编号：32100 新知探究 求“从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数”， 可以看作由以下两个步骤得到： 第②步：将取出的 m 个元素作全排列，有 种不同的排列； 最后，根据分步乘法计数原理有 . 即 第①步：从n个元素中取出m个元素作为一组，有 种不同的组合； Am m An m Am m ＝ · Cn m An m Am m ＝ 作者编号：32100 根据组合数公式，得 二、组合数公式 Cn m An m Am m ＝ n(n－1)(n－2)···(n－m＋1) m ! ＝ C5＝ ＝10， 2 2×1 5×4 C8＝ ＝56 3 8×7×6 3×2×1 因为 所以，上面的组合数公式还可以写成 阶乘式 连乘式 另外，我们规定 Cn ＝1 0 作者编号：32100 典例剖析 例1 计算：(1) ； (2) ； (3) ； (4) . C10 3 C10 7 C10 10 C10 0 解析：根据组合数计算公式可得： (1) C10 3 ＝ ＝120； 3×2×1 10×9×8 C10 7 ＝ ＝120； 7×6×5×4×3×2×1 10×9×8×7×6×5×4 (2) C10 10 ＝ ＝1； 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 (3) C10 0 (4) ＝1 观察这两组结果，有什么发现？ ►课本P24 拓展内容 在例题中，我们发现 与 ， 与 都是相同的数. C10 3 C10 7 C10 10 C10 0 与 ， 与 ， 与 C12 5 C12 7 C15 4 C15 11 C18 3 C18 15 它们的上标之和等于下标 组合数的性质1： 取出m个元素 剩下的n-m个元素 计算时，可以通过组合数的性质 简化运算. 作者编号：32100 变式训练 练习1 计算： － (3) ； C7 3 C6 2 C9 7 (2) ； － (4) 3C8 3 2C5 2 C6 2 (1) ； 解析： ＝ ＝15； 2×1 6×5 C6 2 (1) C9 7 (2) ＝ C9 2 ＝ ＝36； 2×1 9×8 － (3) C7 3 C6 2 ＝ ＝20； 3×2×1 7×6×5 － ＝35－15 2×1 6×5 － (4) 3C8 3 2C5 2 ＝3× 3×2×1 8×7×6 － ＝148 2× ＝168－20 2×1 5×4 ►课本P25 变式训练 练习2 计算： C200 198 (1) ； (2) ＋ C99 2 C99 3 解析： ＝ ＝19900； 2×1 200×199 C200 198 (1) C200 2 ＝ (2) ＋ C99 2 C99 3 ＝ ＋ 2×1 99×98 ＝161700 3×2×1 99×98×97 变式训练 练习3 若 ，则 x ＝ ＝ C25 2x C25 x＋4 解析： ＝ C25 2x C25 x＋4 由 ，可得2x＝x＋4或2x＋x＋4＝25 解得 x＝4或x＝7， 经检验 x＝4或x＝7 均满足条件。 典例剖析 例2 在100件产品中，有 98 件合格品，2 件次品。从这100件产品中任意抽出 3 件. (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？ 先从2件次品中抽出1件，再从98件正品中抽出2件. 有1件次品和有2件次品两种情况 这是一个排列问题还是组合问题？ 如何抽取？ (2) 3件中至少有1件是次品包括哪些情况？ (3) ►课本P25 典例剖析 例2 在100件产品中，有 98 件合格品，2 件次品。从这100件产品中任意抽出 3 件. (1)有多少种不同的抽法？ (1)解析：所有的不同抽法种数，就是从 100 件产品中抽出 3 件的组合数，所以抽法种数为 C100 3 ＝ ＝161700 3×2×1 100×99×98 ►课本P25 典例剖析 例2 在100件产品中，有 98 件合格品，2 件次品。从这100件产品中任意抽出 3 件. (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (2)解析：从 2 件次品中抽出 1 件的抽法有 种，从 98 件合格品中抽出 2 件的抽法有 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法种数为 C2 1 C98 2 C2 1 C98 2 ＝2× ＝9506 2×1 98×97 × ►课本P25 典例剖析 例2 在100件产品中，有 98 件合格品，2 件次品。从这100件产品中任意抽出 3 件. (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3)解析：方法1 从 100 件产品抽出 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次品和有 2 件次品两种情况，因此抽法种数为 C2 2 C98 1 ＝9506＋98＝9604 ＋ C2 1 C98 2 ►课本P25 典例剖析 例2 在100件产品中，有 98 件合格品，2 件次品。从这100件产品中任意抽出 3 件. (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3)解析：方法2 抽出 3 件中至少有 1 件是次品的抽法种数，就是从 100 件产品中抽出 3 件的抽法种数减去 3 件都是合格品的抽法种数，即 C98 3 C100 3 － ＝161700－ ＝9604 3×2×1 98×97×96 ►课本P25 变式训练 练习5 有政治、历史、地理、物理、化学、生物这 6 门学科的学业水平考试成绩，现要从中选 3 门考试成绩. (1)共有多少种不同的选法？ (2)如果物理和化学恰有 1 门被选，那么共有多少种不同的选法？ (3)如果物理和化学至少有 1 门被选，那么共有多少种不同的选法？ (3)方法一： 方法二： 解析： C6 3 (1) ＝20 C2 1 (2) ＝12 C4 2 ＝16 C2 1 C4 2 C2 2 C4 1 ＋ C6 3 ＝16 C4 3 － ►课本P25 第 2 步，从 4 名女同学中选 2 名女同学有 种方法； 例3 从 5 名男同学，4名女同学中选 3 名男同学和 2 名女同学，分别担任语文、数学、英语、物理、化学的科代表，分配的方法有多少种？ 解析：完成这件事可以分为三个步骤： 第 1 步，从 5 名男同学中选 3 名男同学有 种方法； 第 3 步，将选出的 5 名同学分别担任语文、数学、英语、物理、化学的科代表有 种方法； 根据分步乘法计数原理，分配方法共有 种. 典例剖析 解析：完成这件事可以分为三个步骤： 第 1 步，从1、3、5、7、9中任取 2 个数字有 种方法； 第 3 步，将取出的 5 个数字组成没有重复数字的五位数字有 种方法； 根据分步乘法计数原理，组成的五位数共有 个. 第 2 步，从2、4、6、8中任取 3 个数字有 种方法； 变式训练 练习6 从1、3、5、7、9中任取 2 个数字，从2、4、6、8中任取 3 个数字，可以组成多少个没有重复数字的五位数？ 方法归纳 处理排列组合综合问题的基本思想是通过分类或分步， 转化为简单的排列问题和组合问题. “先选后排”是处理排列组合综合问题的重要思想方法. 作者编号：32100 典例剖析 例4 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有 种选法； 第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有 种选法； 第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有 种选法. 根据分类加法计数原理，一共有 (种)不同的选法. 解析：可以分三类： ＝42 练习7 某外语组有 9 人，每人至少会英语和日语中的一门，其中 7 人会英语，3 人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？ 解析：由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语. 分两类：第一类 从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法.此时共有6×3＝18(种)选法. 第二类 从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法. 由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法. 变式训练 例5 现有 12 本不同的书 ，按2︰2︰2︰6分成四堆有多少种不同的分法？ 解析：先从 12 本不同的书中选 2 本有 种选法； 再从余下的 10 本书中选 2 本有 种选法； 再从余下的 8 本书中选 2 本有 种选法； 根据分步乘法计数原理，共有 种选法. 最后从余下的 6 本书中选 6 本有 种选法. 部分均匀分组问题 典例剖析 例6 现有6本不同的书，按1︰2︰3分成三堆有多少种不同的分法？ 解析：分三步： 先从 6 本不同的书中选 1 本，有 种选法； 再从其余的 5 本书中选 2 本，有 种选法 最后从余下的 3 本书中选 3 本，有 种选法. 根据分步乘法计数原理,共有 种选法. 完全非均匀分组问题 典例剖析 以上这些在分组时只能算一个，故分组方法有 总结：平均分成的每一组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以组数的全排列 练习8 把 6 人分成平均三组，共有_____种分法. 15 ac、bd ad、bc bc、ad bd、ac cd、ab ab、cd 例7 把 a b c d 分成平均两组，共有_____种分法. 典例剖析 解析： 解析： 完全均匀分组问题 方法归纳 “分组”问题的解法 分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组：每组的元素个数均相等，均匀分成 m 组，最后必须除以 m! ； ②部分均匀分组：应注意不要重复，有 m 组均匀，最后必须除以 m! ； ③完全非均匀分组：这种分组不考虑重复现象. 作者编号：32100 练习8 有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学，将 5 名同学分配到三个班，每班至少 1 人，共有多少种不同的分配方法？ 解析：按人数分配方式分类： 故共有 (种)分配方法. ①3，1，1：有 (种)方法； ②2，2，1：有 (种)方法. 变式训练 ＝60 ＝90 60＋90＝150 课后练习 3. 填空题： (1)有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ； (2)要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是 ； (3)5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是 ； (4)集合A有 m 个元素，集合B有 n 个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是 . mn ►课本P26 课后练习 7. 在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法? 解析：由于只要选出要做的题目即可，所以是组合问题，可以分三步： 第一步选做第 1 题，选法有 种；第二步选做第 2 题，选法有 种； 第三步选做第 3 题，选法有 种；所以一共有 种选法。 ►课本P26 =24 课后练习 13. 从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加一项创新大赛. (1)如果 4 人中男生、女生各选 2 人，那么有多少种选法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ (3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有 1 人在内，那么有多少种选法？ (4)如果 4 人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 解析：(1) 4 人中男生和女生各选 2 人，共有×=10×6=60(种)选法. (2)除去甲、乙之外，其余 2 人可以从剩下的 7 人中任意选择，则男生中的甲和女生中的乙必须在内共有=21(种)选法. ►课本P27 课后练习 13. 从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加一项创新大赛. (3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有 1 人在内，那么有多少种选法？ (3)解析：方法一(直接法) ►课本P27 男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况， 第一种情况：甲和乙都在内，有=21(种)选法， 第二种情况：甲、乙只有1人在内，有=70(种)选法， 则男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内共有21+70=91(种)选法. 课后练习 13. 从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加一项创新大赛. (3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有 1 人在内，那么有多少种选法？ (3)解析：方法二(间接法) ►课本P27 男生中的甲和女生中的乙都不在内，共有=35(种)选法， 则可得男生中的甲和女生中的乙至少有 1 人在内共有-=126-35=91(种)选法. 课后练习 13. 从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加一项创新大赛. (4)如果 4 人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ ►课本P27 (4)方法一(直接法)如果4人中必须既有男生又有女生，可以按含有女生的 人数分成三类：1男3女；2男2女；3男1女。则 4 人中必须既有男生又有女 生共有++=20+60+40=120(种)选法. 方法二(间接法)如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人， 再去掉只有男生和只有女生的情况，故共有--=120(种)选法. 课堂总结 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有不同组合的个数，记为 . 3. 组合数的性质 1. 组合数的定义和表示 2. 组合数的公式 作者编号：32100 课堂总结 4. 运用组合数解决实际问题 分析所求问题是一个组合问题还是排列问题; 带有“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数； 带有“至多”“至少”问题，其解法常有两种思路：一是直接分类法，确保不重不漏；二是间接法，注意找准对立面． 作者编号：32100 课后练习 1. 从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是_______. 2. 下列等式正确的是( )(多选) A. 若=，则 B. =+ C.++=7 D. 7-4=0 BCD 对于A，由=，得或， 解得(舍去)，A不正确； 对于B，由组合数的性质知B正确；对于C，++=1+3+3=7，C正确； 对于D，7-4=7×-4×=140-140=0，D正确. 课后练习 3. 某学校要从 5 名男教师和 3 名女教师中随机选出 3 人去支教，则抽取的 3 人中，女教师最多为 1 人的选法种数为（ ） A. 10 B. 30 C. 40 D. 46 C 课后练习 4. 某种产品的加工需要经过 5 道工序． (1)如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ (2)如果其中某 2 道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ (3)如果其中某 2 道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ (4)如果其中某 2 道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 解析：(1)=96；(2)=36；(3)=48；(4)=72 解析：女教师最多为1人，则女教师为0人或1人. 若女教师为0人，则男教师为3人，有种选法； 若女教师为l人，则男教师为2人，有种选法. 故女教师最多为1人的选法种数为. 故选C. $