21.3.3 正方形 导学案--2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.3 正方形 欣赏下面的图片，发现它们都是什么图形？ 从上面各种图片看出，正方形在我们日常生活中有广泛的应用，那么正方形的四条边有什么关系？四个角呢？ 四条边都相等，四个角都是直角． 思考： 正方形是矩形吗？是菱形？正方形和它们是什么关系？ 正方形是矩形也是菱形，矩形当邻边相等时就是正方形，菱形有一个角是直角时就是正方形． 得出正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．那么正方形又有哪些性质呢？ 正方形的性质： （1）边的性质：对边平行，四条边都相等． （2）角的性质：四个角都是直角． （3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角． （4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴． 正方形既是矩形也是菱形，那么正方形又有哪些判定方法呢？ 定义法：（1）有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形； 矩形法：（2）有一组邻边相等的矩形是正方形； 菱形法：（3）有一个角是直角的菱形是正方形． 例题精析 【例1】求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O． 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC＝BD，AC⊥BD， AO＝CO＝BO＝DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）． ∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形， 并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO． 【例2】如图，在△ABC中，ABC＝90°，BD平分ABC，DE⊥BC，DF⊥AB． 求证：四边形BEDF是正方形． 证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC， ∴DE∥AB．同理可得DF∥BC． ∴四边形BEDF是平行四边形． ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴DE＝DF． 又∵∠ABC＝90°，四边形BEDF是平行四边形． ∴四边形BEDF是正方形． 练习 1. 如图，在正方形ABCD的内部作等边△BCE，则∠AEB的度数为（ ）． A．60° B．65° C．70° D．75° 2. 如图，正方形ABCD的对角线长为，E为AB上一点．若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF＋EG＝________． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由． 检测 1．判断下列说法的对错． （1）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形．（ ） （2）如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．（ ） （3）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形．（ ） （4）正方形一定是菱形．（ ） （5）矩形一定是正方形．（ ） （6）正方形是轴对称图形，一共有2条对称轴．（ ） 2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A．四个角相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角互补 D．对角线相等 3．正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A．四条边相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线相等 4．下列命题正确的是（ ） A．四个角都相等的四边形是正方形 B．四条边都相等的四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是正方形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 5．下列说法中错误的是（ ）． A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D．两条对角线相等的菱形是正方形 作业 1．判断下列说法的对错． （1）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．（ ） （2）如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形．（ ） （3）正方形一定是矩形．（ ） （4）菱形一定是正方形．（ ） （5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形．（ ） （6）四个角都相等的四边形是正方形．（ ） 2．如图：正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝6cm，则正方形的面积S＝_______． 3．如题2图，正方形ABCD的面积是9cm2．则AB＝_______，AC＝_______． 4．如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为_______cm． 答案 练习： 1、D．∵△BCE为等边三角形，四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BE．∴∠BAE＝∠BEA． 又∵∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝90°－60°＝30°．∴ 2、． 解析：设AC与BD相交于点O． 由正方形的性质易知△BEG是等腰直角三角形，四边形EGOF是矩形． ∴有EF＝GO，EG＝BG．∴EF＋EG＝GO＋BG＝BO＝． 3、解答：四边形CEDF是正方形． 理由如下：如图，作DG⊥AB于点G． ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF＝DG． 同理可得DG＝DE．∴DF＝DE． ∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形． ∵DF＝DE，∴四边形CEDF是正方形． 检测： 1．（1）√；（2）√；（3）√；（4）√；（5）×；（6）×． 2．B．3．D．4．D．5．B． 作业： 1．（1）×；（2）√；（3）√；（4）×；（5）√；（6）×． 2．．3．3cm，．4．7．5． 学科网（北京）股份有限公司 $