21.3.3.1 正方形的性质 导学案 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 21.3特殊的平行四边形 21.3.3正方形 第1课时正方形的性质 教学目标： 1.理解正方形的概念； 2.探索并证明正方形的性质，并理解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区 别； 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题， 教学重点：理解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别； 教学难点：掌握正方形的定义和性质，会解决正方形性质的综合应用. 活动一、复习导入 问题1：菱形有哪些判定定理？ 活动二、探究新知1： 探究1.正方形的定义 思考1：矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？ 正方形 八、矩}形 正方形 思考2：菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？ 菱形 正方形 小结： 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形 探究2.正方形的性质 思考3：正方形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？ 小结： 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四 边形、矩形、菱形的所有性质. 正方形的性质： 1.正方形的四个角都是直角，四条边相等： 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分， 对边平行 边 D 四边相等 角 → 四个角都是直角 正方形 相等 的性质 对角线 互相垂直平分 B 每条对角线平分一组对角 对称性→轴对称图形，有四条对称轴 证一证1： 已知：如图，四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角. A D B C 证明： 证一证2： 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O 求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. A D B 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间的关系： 图形 与平行四边形的关系 定义 同时具备的性质 平行四边形 平行四边形 两组对边分别平行的 中心对称 四边形 矩形 特殊的平行四边形 口+有一个角是直角 平行四边形所有 性质+四个角 为直角+对角 线相等 菱形 特殊的平行四边形 口+一组邻边相等 平行四边形所有 性质+四条边 相等+对角线 互相垂直 正方形 特殊的矩形+特殊口+有一个角是直角 矩形、菱形、平 的菱形 +一组邻边相等 行四边形的所有 性质 活动三、典例分析： 例1（教材P76例题）求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等 的等腰直角三角形. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O. 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形， D 例2如图，在正方形ABCD中，△BEC是等边三角形.求证：∠EAD=∠EDA=15 知识点一（正方形的定义)： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 知识点二（正方形的性质）： 边：①正方形的 平行， 相等 角：②正方形的 都是直角. 对角线：③两条对角线互相 并且每一条 对角线平分一组 对称性：④轴对称图形，有 对称轴，分别是两条 所 在的直线和两条 所在的直线， 活动四、随堂检测 随堂练习1 已知正方形ABCD的对角线长为V2，则这个正方形的面积为 ( A.1 B.2 C.2 D.22 随堂练习2如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE,则∠CBE的 度数是( B A.55 B.609 C.75° D.80 随堂练习3正方形的边长是3，则它的对角线的长是 随堂练习4如图，在正方形ABCD中，点E在BD上，且BE=CD, 则∠BEC的度数为 B 随堂练习5如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E,使CE=AC,连接AE, 交CD于F,求∠AFC的度数 A D F B 随堂练习6如图，正方形ABCD的边长为1cm,AC为对角线，AE平分∠BAC, EF⊥AC,求BE的长 A B 随堂练习7如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的点，过 点P作PE⊥PB,PE交线段DC于点E.求证：PB=PE. A D P E B C 活动五、课堂总结 第二十一章 四边形 21.3 特殊的平行四边形 21.3.3 正方形 第1课时 正方形的性质 教学目标： 1. 理解正方形的概念； 2. 探索并证明正方形的性质，并理解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别； 3. 会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. 教学重点：理解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别； 教学难点：掌握正方形的定义和性质，会解决正方形性质的综合应用． 活动一、复习导入 问题1：菱形有哪些判定定理？ ①有一组 邻边 相等的平行四边形是菱形． ②对角线互相 垂直 的平行四边形是菱形． ③ 四条边 相等的四边形是菱形． 活动二、探究新知1： 探究1.正方形的定义 思考1：矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？ 思考2:菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？ 小结： 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 探究2.正方形的性质 思考3:正方形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？ 答：正方形是轴对称图形，它一共有 4 条对称轴． 正方形的 4 条对称轴分别是： 1. 两条对角线所在的直线（把正方形分成两个全等的等腰直角三角形）； 2. 两条对边中点连线所在的直线（也就是过中心的水平和竖直中线，把正方形分成两个全等的矩形）． 小结： 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． 正方形的性质： 1.正方形的四个角都是直角，四条边相等； 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 证一证1： 已知：如图，四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角. 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°， AB=AC （正方形的定义）. ∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°，AB=BC=CD=AD. 证一证2： 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O. 求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD. 证明：∵正方形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AO=CO，BO=DO ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间的关系： 图形 与平行四边形的关系 定义 同时具备的性质 平行四边形 平行四边形 两组对边分别平行的四边形 中心对称 矩形 特殊的平行四边形 □+有一个角是直角 平行四边形所有性质 + 四个角为直角 + 对角线相等 菱形 特殊的平行四边形 □+一组邻边相等 平行四边形所有性质 + 四条边相等 + 对角线互相垂直 正方形 特殊的矩形 + 特殊的菱形 □+有一个角是直角 + 一组邻边相等 矩形、菱形、平行四边形的所有性质 活动三、典例分析： 例1（教材P76例题） 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O. 求证: △ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形. 【解】∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC=BD，AC⊥BD， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，AO=BO=CO=DO. ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 例2 如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形.求证：∠EAD＝∠EDA＝15°. 证明：∵ΔBEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE=∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°， ∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°. 知识点一（正方形的定义)： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 知识点二（正方形的性质)： 边：①正方形的 对边 平行， 四边 相等. 角：②正方形的 四个角 都是直角. 对角线：③两条对角线互相 垂直平分 且 相等 ，并且每一条对角线平分一组 对角 . 对称性：④轴对称图形，有 四条 对称轴，分别是两条 对角线 所在的直线和两条 对边中点连线 所在的直线. 活动四、随堂检测 随堂练习1 已知正方形ABCD的对角线长为 ，则这个正方形的面积为( A ) A.1 B. C.2 D.2 随堂练习2 如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE，则∠CBE 的 度数是( C ) A.55° B.60° C.75° D.80° 随堂练习3 正方形的边长是 3，则它的对角线的长是___3___． 随堂练习4 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BD 上，且 BE = CD， 则 ∠BEC 的度数为___67.5°_____． 随堂练习5 如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE＝AC，连接AE，交CD于F，求∠AFC的度数． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC平分∠BCD， ∠BCD＝∠DCE＝90°． ∴∠ACB＝45°． ∵CE＝AC， ∠CAE＋∠E＝∠ACB， ∴∠E＝22.5°， ∴∠AFC＝∠DCE＋∠E＝90°＋22.5°＝112.5°． 随堂练习6 如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长． 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm. 在Rt△ABC中， AC＝ ∵EF⊥AC， ∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形， ∴EF＝CF. ∵AE平分∠BAC ∴ 在△ABE和△AFE中， ∴△ABE≌△AFE (AAS)， ∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF. ∴FC＝BE. 在Rt△ABC中， ∴FC＝AC－AF＝(－1)cm， ∴BE＝(－1)cm． 随堂练习7 如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的点，过点P作PE⊥PB，PE交线段DC于点E．求证：PB=PE． 证明：如图，过点P分别作PG⊥BC于点G， PH⊥DC于点H， ∴∠PGB=∠PGC=∠PHE=90°． ∵四边形ABCD是正方形， ∴CA平分∠BCD，∠BCD=90°． ∴PG=PH，四边形PGCH是矩形， ∴∠HPG=90°． 又PE⊥PB，∴∠BPE=90°． ∴∠BPE－∠GPE=∠GPH－∠GPE， 即∠BPG=∠EPH ． 在△PGB 和△PHE中， ∴△PGB≌△PHE (ASA)， ∴PB=PE． 活动五、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $