21.3.3.2正方形的判定 优教导学案 2025-2026学年 人教版数学八年级下册

正方形的判定 优教导学案 主备人： 温晋伟 时间： 学生姓名： 一、知识回顾 1.什么是正方形？正方形有哪些性质？ 2.矩形、菱形的判定方法有哪些？ 思考：如果矩形的边特殊化或者菱形的角特殊化，又会产生什么图形呢？ 二、自主探索 1.回顾矩形、菱形的判定方法，它们是在怎样的基础上又加上了什么样的条件得以证明的？ 2.类比矩形、菱形的判定方法，我们可以怎样来判定一个四边形是正方形呢？ （以什么图形作为基础开始证明？需要添加什么样的特征条件？） 问题1：观察下图，当矩形添加什么样的特征条件，会变成正方形？ 问题2：观察下图，当菱形添加什么样的特征条件，会变成正方形？ 归纳：正方形判定的几条途径： 1.两条对角线_________________________的四边形是正方形； 1.一组邻边__________且一内角是__________的平行四边形是正方形； 2.先判断四边形是菱形，再判断一内角是_________________； 3.先判断四边形是菱形，再判断对角线___________________； 4.先判断四边形是矩形，再判断一组邻边_________________； 5.先判断四边形是矩形，再判断对角线相互_______________。 三、当堂达标 1、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC 2、已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是______________（只填写序号）。 3、如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°， 请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形． 4、在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN。四边形EFMN是正方形吗？为什么？ 5、 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D。DE⊥AC，DF⊥AB。 求证：四边形CEDF为正方形. 6、如图，等边三角形AEF的顶点为E、F在矩形ABCD的边BC、CD上，且∠CEF=45〫。 求证：矩形ABCD是正方形。 迁移拓展（选做） 如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB． （1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由； （2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？ （3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时， 四边形AEDF为正方形，不说明理由。 正方形的判定 优教导学案（完整答案） 一、知识回顾 1.正方形定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。正方形性质：四条边都相等；四个角都是直角；对角线相等、互相垂直平分且平分每一组对角。 2.矩形判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。菱形判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。思考：矩形邻边相等可变为正方形；菱形有一个角是直角可变为正方形。 二、自主探索 问题 1：矩形添加一组邻边相等或对角线互相垂直可变为正方形。问题 2：菱形添加有一个内角是直角或对角线相等可变为正方形。 归纳：正方形判定的几条途径 1.两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形； 2.一组邻边相等且一内角是直角的平行四边形是正方形； 3.先判断四边形是菱形，再判断一内角是直角； 4.先判断四边形是菱形，再判断对角线相等； 5.先判断四边形是矩形，再判断一组邻边相等； 6.先判断四边形是矩形，再判断对角线相互垂直。 三、当堂达标 1.答案：C 2.答案：①②或①④或②③或③④（填写任意一组即可） 3.答案：AB=BC（或 BC=CD、CD=DA、DA=AB、AC⊥BD、对角线相等等） 4.答：四边形EFMN是正方形。 证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°。 ∵AE=BF=CM=DN，∴BE=CF=DM=AN。∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM。∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF。∵∠AEN+∠ANE=90°，∴∠AEN+∠BEF=90°，∴∠NEF=90°。∴四边形 EFMN 是正方形。 5.证明：∵∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形 CEDF 是矩形。 ∵AD 平分∠BAC，BD 平分∠ABC，∴DE=DF。∴矩形 CEDF 是正方形。 6.证明：∵△AEF 是等边三角形，∴AE=AF，∠AFE=60°。 ∵∠CEF=45°，∠C=90°，∴∠CFE=45°，∴CE=CF。 ∴∠AFD=180°−45°−60°=75°，∠AEB=180°−45°−60°=75°。 ∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB=AD。 ∵四边形 ABCD 是矩形，且 AB=AD，∴矩形 ABCD 是正方形。 迁移拓展（选做） （1） 四边形 AEDF 是平行四边形。 理由：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形 AEDF 两组对边分别平行，是平行四边形。 （2） 当 AD 平分∠BAC 时，四边形 AEDF 为菱形。 理由：∵AD 平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD。 ∵DE∥AC，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=DE。 ∵平行四边形 AEDF 中一组邻边相等，∴四边形 AEDF 是菱形。 （3）当△ABC 是等腰直角三角形，且∠BAC=90° 时，四边形 AEDF 为正方形。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $