精品解析：广东惠州市2026届高三下学期4月模拟考试(二模)数学试题

广东惠州市2026届高三下学期4月模拟考试（一模）数学试题 全卷满分150分，时间120分钟. 2026.04 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上． 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知全集，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得：， 因为，所以. 2. 已知复数 满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为. 所以. 3. 已知圆锥的高为4，底面半径为3，则其侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】圆锥的高为，底面半径为， 则圆锥的母线长， 可得圆锥的侧面积为. 4. 已知向量，若，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直，数量积为 计算即可. 【详解】因为， 则， 则， 所以， 解得. 5. 已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到焦点 的距离为3，则 的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用抛物线得到焦点坐标，再通过抛物线的定义得到点 的横坐标，进而求出纵坐标，最后利用三角形的面积公式算出答案 【详解】由 可得焦点 坐标为， 所以，所以代入抛物线可得， 因此 的面积为. 6. 已知随机变量 的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若 ，则函数 的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由分布列的性质可知，，所以. 因为函数，. 当 时，； 当时，； 当时，. 所以. 所以函数 的值域为. 7. 将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点 ，若 在函数 的图象上，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入该函数，可求出 的值，再根据函数图象平移的坐标变化规律，可写出点 的坐标，进而得到关于 的等式，最后等式转化为同名三角函数，再结合三角函数的周期性，求出 的最小值. 【详解】点在上，代入， 得：， 点 向左平移个单位，纵坐标不变，横坐标减 ，得， 因为点 在 的图象上， 所以， 化简得：， 解得， 因为 ，取，得最小正值. 8. 已知函数，当时，恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，则， ，即， 由，，则在上单调递增， 由，得， 根据函数单调性可得， ，，在上恒成立， 即，， 解得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4 B. 数据7，9，12，15，9，14，18的极差是11 C. 数据2，3，3，5，7，8，9的第 百分位数是6 D. 数据的平均数为2，方差为4，则数据， 的平均数为5，方差为16 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据众数的概念，可判断A的正误；根据极差的求法，可判断B的正误；根据百分位数的求法，可判断C的正误；根据平均数、方差的性质，可判断D的正误. 【详解】选项A：数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4，故A正确； 选项B：数据7，9，12，15，9，14，18的极差是18-7=11，故B正确； 选项C：数据2，3，3，5，7，8，9共7个，， 则该组数据的第 百分位数为7，故C错误； 选项D：数据， 的平均数为， 方差为，故D正确. 10. 深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，激活函数是神经网络的重要组成部分.函数是其中重要的激活函数之一，则（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间 上不单调 C. 存在唯一极值点 D. 恒成立 【答案】ACD 【解析】 【详解】对A：因为恒成立， 所以当时，；当 时，；当 时，. 所以函数有且仅有一个零点 ，故A正确； 对B：因为， 当时，，所以函数在上单调递增，故B错误； 对C：由B可得. 设，易知在 上单调递增，且，， 所以存在，当时，. 当时， ，所以，在上单调递减； 当时， ，所以，在上单调递增. 所以 存在唯一极值点，故C正确； 对D：由C，， 且， 所以，因为，所以. 所以，故D正确. 11. 已知点 在曲线上，，则（ ） A. 点 不可能在第三象限 B. 点 可能在直线上 C. 当点 在第一象限时，的最小值为 D. 当直线与曲线有两个交点时， 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】当 时，可得曲线的方程，分析可判断A的正误；将与曲线联立，分析可判断B的正误；当点 在第一象限时，可得点 的方程，根据椭圆的定义，分析求解，可判断C的正误；分别求出曲线在各个象限内的方程，联立求解，结合双曲线的渐近线的性质，分析可判断D的正误. 【详解】选项A：当 时，方程为，即，无实数根，故A正确； 选项B：若点 在直线上，则， 与曲线W联立得，整理得，无实数根，故B错误； 选项C：当时，方程为，整理得， 则，所以， 则点A为左焦点，设右焦点为F， 由椭圆的定义可得，则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号，故C正确； 选项D：当时，方程为， 与联立，得， 由判别式，解得， 当时，，解得，不符合题意，（舍去） 当时，，解得，，符合题意； 所以当直线与曲线在第一象限有两个交点时，； 当时，方程为，渐近线方程为，（舍去） 当时，方程为，渐近线方程为，（舍去）， 综上，若要直线与曲线有两个交点， 的取值范围为，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等比数列的前 项和为，若， ，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出等比数列的公比，利用等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，则，故 ， 所以. 故答案为： . 13. 直线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与交于C、D两点，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】令 ，得 ，即, 令 ，得，即, 圆心，，所以，直线经过圆心， , 所以,. 14. 在平面四边形ABCD中，与均是正整数且，则四边形ABCD的面积的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据与均是正整数且，则或 ，可得或或，分情况讨论得，延长交于点 ，过点 作于点，平移直线 ，分情况讨论得到答案. 【详解】 如图，因为 ，，由四边形内角和得， 因为与均是正整数且，则或 ， 可得或或， ①当时，，不合题意； ②当时，，合题意； ③当时，，不合题意，所以， 延长交于点 ，过点 作于点， 向左平移直线 ，当点 与点 重合时，不存在四边形 ， 在中，，由正弦定理得， 所以； 向右平移直线 ，当点 与点重合时，不存在四边形 ， 因为，所以，所以， 所以四边形ABCD的面积的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前 项和为. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前 项和为，若，求 的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和的关系求解即可； （2）求出，采用裂项相消法求出前 项和为，解，即可得到答案. 【小问1详解】 由条件有 时，， 又，所以， ， 则， 经检验，满足， 所以的通项公式. 【小问2详解】 由（1）得数列 则 ， 因为，所以， 又，故 的最大值为 . 16. 某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有 个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取 个零件，设抽到的不合格的零件数为 . （1）求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； （2）若抽到的 个零件中至少有 个为不合格零件，求恰好有 个为不合格零件的概率； （3）对抽取的 个零件进行检测，每个零件的检测费用为 元，每发现 个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） （3）随机变量的分布列如下表所示： Y 30 55 80 P 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出这个零件中不合格零件数，利用随机变量 服从超几何分布即可求解； （2）通过条件概率公式即可求解； （3）根据题意得出随机变量 与随机变量的关系，从而得到随机变量的取值范围和对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可. 【小问1详解】 小明的解答不正确，正确的解答过程如下： 根据题意，这个零件中是有 个不合格零件，个合格零件， 则从这个零件中抽到 个不合格零件， 个合格零件的组合数是种， 因此. 【小问2详解】 设事件 为“抽到的 个零件中至少有 个为不合格零件”，事件 为“抽到的 个零件中恰好有 个为不合格零件”， 由于事件 是事件 的子事件，所以， 而，， 根据条件概率公式，即恰好有 个为不合格零件的概率为. 【小问3详解】 由于随机变量 表示抽到的不合格的零件数，可能取值为 ，而对于每个 的值，总费用， 因此随机变量的可能取值为，，， 由于，，， 因此，，， 所以随机变量的分布列为： 数学期望为，即随机变量的数学期望为. 17. 如图所示，正四棱锥的底面边长为 ，延长CD到点 ，使 ，连接 . （1）证明： 平面 ； （2）若 为等边三角形，点 是线段 上的动点，记 与平面 所成的角为 ，求 的最大值. 【答案】（1）由题意得，点 是正方形 的中心，所以 平面 . ∵ 平面 ，∴ . ∵正方形 中， ， 平面 ， ∴ 平面PAC. ∵四边形 中， ∥ ， ∴四边形 是平行四边形，∴ ∥ ， . ∴ 平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理及平行公理可得； （2）以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，设点 ，利用线面角的向量求法，结合 的取值范围可得 的取值范围，从而得到 的最大值.. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ . ∵ ，∴ 两两垂直， 以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立如图空间直角坐标系. 由题意知，， ∴ ， . ∴ ， ∴ . 设平面 的法向量为 ， 则， 令 ，则 ， ∴平面 的一个法向量为 . 设 ，则 . 记 与平面 所成的角为 ，则. 由 ，得 ，所以 ， ∴， ∴ 的最大值为，此时 ，点 与 的中点重合. 18. 已知函数，其中. （1）若，求 的单调区间； （2）若 ， （i）证明： 在区间内有且仅有1个零点； （ii）设为 的极值点，为 的零点，且 ，证明：. 【答案】（1） 的单调递减区间为  ，无单调递增区间； （2） （i）由（1）知，当 时，令 ， 当 时， ， 故  在上单调递减， 因为 ，所以 ， 又因为 ，所以在区间内存在零点， 即结合 在 上单调递减， 可得 在区间内有且仅有1个零点 ，且； 则当时， ，当时， ， 所以在单调递增，在单调递减， 又因为 ，所以根据单调性可知： ， 又因为当， ，所以根据零点存在性定理结合函数单调递减， 可知：在区间 内有且仅有1个零点， 又因为时，结合在单调递增，所以 ， 即在区间函数没有零点， 所以在区间内有且仅有1个零点， （ii）由题意可知：，即， 消 可得：， 当 时，构造函数 ， 求导得 ，则 在时单调递增， 即 ，所以 ， 即可知 ， 则， 两边取对数得：，即. 【解析】 【分析】（1）利用求导分析正负，即可得到单调区间，注意定义域的限制； （2）（i）利用二阶导数来判断一阶导数的单调性，再结合零点存在性定理，即可得到证明； （ii）利用极值点和零点的恒等式，消去参数 ，再结合切线不等式 ，化简后问题即可得证. 【小问1详解】 求导得：， 因为，对任意 ，都有 ， 所以 的单调递减区间为  ，无单调递增区间； 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 已知双曲线 的右焦点为 ，离心率为2，过 作垂直于 轴的直线，该直线被 截得的弦长为6. （1）求双曲线 方程； （2）若面积为3的 的三个顶点均在 上，直线AB经过坐标原点，直线BC经过右焦点 ，求直线BC的方程； （3）已知，过点的直线 与 在 轴的右侧交于不同的两点P，Q，直线 上是否存在点 满足，且？若存在，求 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）不存在， 若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意， 故直线l斜率存在，设直线l方程，联立方程，得， 化简整理，得，设，， 依题意有，因为恒成立， 所以，故，解不等式组得：， 设点S的坐标为，由，得， 则，变形得到， 将，代入，解得， 将代入中，解得， 消去k，得到点S的轨迹为定直线：上的一段线段（不含线段端点，，设直线 与双曲线切于，直线 与渐近线 平行时与交点为）． 因为，，且，取 中点， 因为， 所以， 所以，故， 即S的轨迹方程为，表示以点H为圆心，半径为的圆H， 设直线与y轴，x轴分别交于，， 依次作出直线，，，， 且四条直线的斜率分别为：，，，， 因为，所以线段是线段的一部分 经检验点，均在圆H内部，所以线段也必在圆H内部， 因此线段也必在圆H内部，所以满足条件的点S始终在圆H内部， 故不存在这样的点S，使得，且成立． 【解析】 【分析】（1）依题意由双曲线离心率公式、通径公式进行求解即可； （2）根据直线与双曲线相交，由弦长公式及三角形面积公式可得结果； （3）根据直线与双曲线相交，由条件得出点S的轨迹可判断结果. 【小问1详解】 过右焦点 作垂直于 轴的直线，所以令 ，解得，所以有 ① 又由离心率为2，得 ②，由①②解得， 所以双曲线E的标准方程是 ． 【小问2详解】 设，，由已知，得，根据直线 过原点及对称性， 知， 由题可知直线 斜率不能为0，可设为， 联立方程，得，化简整理，得， 所以且，且， 所以 ，解得， 所以直线 的方程是或． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东惠州市2026届高三下学期4月模拟考试（一模）数学试题 全卷满分150分，时间120分钟. 2026.04 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上． 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知全集，集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知圆锥的高为4，底面半径为3，则其侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到焦点 的距离为3，则 的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知随机变量 的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若 ，则函数 的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点 ，若 在函数 的图象上，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，当时，恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4 B. 数据7，9，12，15，9，14，18的极差是11 C. 数据2，3，3，5，7，8，9的第 百分位数是6 D. 数据的平均数为2，方差为4，则数据， 的平均数为5，方差为16 10. 深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，激活函数是神经网络的重要组成部分.函数是其中重要的激活函数之一，则（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间 上不单调 C. 存在唯一极值点 D. 恒成立 11. 已知点 在曲线上，，则（ ） A. 点 不可能在第三象限 B. 点 可能在直线上 C. 当点 在第一象限时，的最小值为 D. 当直线与曲线有两个交点时， 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等比数列的前 项和为，若， ，则 ___________． 13. 直线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与交于C、D两点，，则__________． 14. 在平面四边形ABCD中，与均是正整数且，则四边形ABCD的面积的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前 项和为. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前 项和为，若，求 的最大值. 16. 某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有 个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取 个零件，设抽到的不合格的零件数为 . （1）求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； （2）若抽到的 个零件中至少有 个为不合格零件，求恰好有 个为不合格零件的概率； （3）对抽取的 个零件进行检测，每个零件的检测费用为 元，每发现 个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. 17. 如图所示，正四棱锥的底面边长为 ，延长CD到点 ，使 ，连接 . （1）证明： 平面 ； （2）若 为等边三角形，点 是线段 上的动点，记 与平面 所成的角为 ，求 的最大值. 18. 已知函数，其中. （1）若，求 的单调区间； （2）若 ， （i）证明： 在区间内有且仅有1个零点； （ii）设为 的极值点，为 的零点，且 ，证明：. 19. 已知双曲线 的右焦点为 ，离心率为2，过 作垂直于 轴的直线，该直线被 截得的弦长为6. （1）求双曲线 方程； （2）若面积为3的 的三个顶点均在 上，直线AB经过坐标原点，直线BC经过右焦点 ，求直线BC的方程； （3）已知，过点的直线 与 在 轴的右侧交于不同的两点P，Q，直线 上是否存在点 满足，且？若存在，求 的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $