专题10.2 二元一次方程组的概念（4大知识点+7大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版七年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦二元一次方程组的概念这一核心知识点，系统梳理定义（含三个条件：整式方程、共两个未知数、含未知数项次数为1）、解的概念（公共解及书写规范）、列方程组步骤，通过快速判断表构建从定义到应用的完整学习支架。 资料以分层题型设计为特色，基础题型涵盖概念辨析、参数求解等，培优题型包含错解复原、整体换元等，结合“三看判断法”等技巧培养推理意识，通过实际问题列方程组发展模型意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生针对性练习，查漏补缺。

专题10.2 二元一次方程组的概念 知识点1：二元一次方程组的定义 1.定义：由两个一次整式方程组成，并且方程组中一共只含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。 2.一般形式：（、不同时为0，、不同时为0）。 3.必须同时满足三个条件： ①方程组中的每一个方程都是整式方程（分母不含未知数、无根号）； ②整个方程组总共只含有两个未知数（不看单个方程，看整体）； ③所有含未知数的项的次数都是1，不存在、、等高次项。 知识点2：二元一次方程组的解 1.定义：二元一次方程组中，同时满足两个方程的一组未知数的值，叫做这个方程组的解（两个方程的公共解）。 2.书写规范：解必须用大括号联立，分两行书写，如。 3.重要性质： ①方程组的解一定是每个方程的解； ②单个方程的解不一定是方程组的解； ③一般二元一次方程组有唯一一组解，特殊情况可无解或有无数组解。 知识点3：根据实际问题列二元一次方程组 1.核心依据：题目中包含两组相互独立的等量关系。 2.标准步骤： ①审题，找出两个未知量，设为、； ②找出两组不同的等量关系； ③根据每一组等量关系分别列出一个方程； ④联立成二元一次方程组，并整理成标准形式。 知识点4：二元一次方程组快速判断表 方程组 整式方程 总未知数个数 含未知数项次数 是否为二元一次方程组 是 2 1 是 是 2 2 否 否 2 1 否 是 3 1 否 【基础必考题型】 【题型1】二元一次方程组的概念辨析 1.核心知识点 二元一次方程组的三个判定条件：整式方程、共两个未知数、含未知数项次数为1。 单个未知数的方程组成的方程组（如）也属于二元一次方程组。 区分“每个方程含两个未知数”与“方程组共两个未知数”，后者才是正确判断依据。 2.解题方法技巧 ①三看判断法：一看整式、二看总未知数个数、三看次数； ②秒杀排除：见到、平方、分母含未知数、三个未知数直接排除； ③对照一般形式，逐项核对条件。 【例题1】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 【变式题1-1】.（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式题1-2】.（24-25七年级下·吉林辽源·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·全国·期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【题型2】根据二元一次方程组的定义求字母参数 1.核心知识点 未知数的次数必须等于1，高次项系数必须为0。 方程组整体只能有两个未知数，第三个未知数系数必须为0。 一次项系数不能为0，否则会退化为一元方程。 2.解题方法技巧 ①定次数：令指数=1，建立方程； ②清干扰：项、第三个未知数项系数必须=0； ③限系数：保留的一次项系数≠0； ④联立求解，检验所有条件。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【变式题2-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 【变式题2-2】.（24-25八年级上·重庆长寿·月考）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为________． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·山西临汾·月考）若是关于的二元一次方程组，则___________． 【题型3】判断一组数是否为方程组的解 1.核心知识点 方程组的解是两个方程的公共解，必须同时满足两个方程。 只满足一个方程的解，不是方程组的解。 检验必须对两个方程都代入计算，缺一不可。 2.解题方法技巧 ①双代入：必须同时代入两个方程； ②算两边：分别计算左右两边，判断是否相等； ③规范写：用大括号书写，结论明确。 【例题3】.（25-26七年级下·四川内江·月考）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（24-25七年级下·广东广州·期末）下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）下列四对数值中，不是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·全国·单元测试）已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 【题型4】已知方程组的解求参数值 1.核心知识点 方程组的解同时满足两个方程，可分别代入建立关于参数的一元一次方程。 一个解可以同时求出两个不同参数。 代入后参数保留，未知数替换为数值，转化为常规一元方程求解。 2.解题方法技巧 ①全代入：把、同时代入两个方程； ②分求解：两个方程分别求对应参数； ③回检验：把参数代回验证正确性。 【例题4】.（2026七年级下·福建泉州·专题练习）若是关于x，y的方程组的解，则的值为（　 　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式题4-1】.（2025九年级下·河北·专题练习）已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题4-3】.（25-26八年级上·安徽宿州·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【培优高频题型】 【题型5】错解复原问题（看错参数） 1.核心知识点 看错方程中的一个参数，得到的错解仍然满足另一个没看错的方程。 利用“错解满足正确方程”这一关系，反向求出正确参数。 求出正确参数后，可还原原方程组并求正确解。 2.解题方法技巧 ①分清看错与没看错的方程； ②错解代入没看错的方程求正确参数； ③还原参数，得到原方程组。 【例题5】.（25-26八年级上·广东梅州·月考）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，小颖在解这个方程组时误将系数a前面的“”抄成了“”，解得，则的值为（   ） A．5 B．2 C．0 D．-1 【变式题5-2】.（24-25七年级下·全国·随堂练习）甲、乙两人同时解方程组；甲看错了b，求得的解为；乙看错了a，求得的解为；你能求出原题中正确的a，b吗？ 【变式题5-3】.（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因为抄错c的值，解得，则______． 【题型6】方程组遮盖复原问题 1.核心知识点 二元一次方程组的解同时满足两个方程，可利用完整方程先求出未知的解。 已知一个未知数的值，代入无遮挡方程求出另一个未知数，再回代求遮挡数或参数。 解题关键：先求完整解，再算遮挡值。 2.解题方法技巧 第一步：把已知解代入信息完整的方程，求出被遮挡的未知数。 第二步：将完整解代入含遮挡项的方程，计算遮挡数值。 第三步：求参数时，将完整解代入含参方程，解一元一次方程得结果。 【例题6】.（25-26七年级下·全国·周测）若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）小明求得方程组的解为，则表示的数为___________． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·安徽宿州·月考）芳芳解方程组的解为，由于不小心，两滴墨水遮住了两个数和⊙，则与⊙表示的数分别是（   ） A．6，1 B．， C．，1 D．6， 【变式题6-3】.（24-25七年级下·甘肃武威·期中）方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（　　） A．4，1 B．5，1 C．3， D．5，2 【题型7】整体换元型同解方程组 1.核心知识点 结构相同的二元一次方程组，对应整体部分的解相等。 运用整体换元思想，将括号内式子看作一个未知数。 含倍数时先同除倍数，化为相同结构再换元。 2.解题方法技巧 对比两个方程组，找到对应整体。 令整体等于已知解，建立简易方程组。 有倍数先化同结构，再求解未知数。 【例题7】.（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若方程组的解是，则方程组的解是_____ 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，在关于a、b的二元一次方程组中，则_____ ． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·广东江门·月考）若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是___________． 易错点 1.判断方程组时只看单个方程，不看整体未知数个数 单个方程都含两个未知数，但整体出现三个未知数（如、、），仍不是二元一次方程组。 2.检验解时只代入一个方程就下结论 必须同时满足两个方程才是方程组的解，只满足一个不算。 3.求参数时忽略“一次项系数不能为0” 次数满足1，但系数为0，方程退化为一元，不再是二元一次方程组。 4.列方程组时两组等量关系重复 两个方程本质一样（如一个是另一个的倍数），无法构成有效方程组。 5.混淆“项的次数”与“未知数的次数” 把项误认为一次项，导致判断错误。 6.书写方程组的解时不用大括号联立 格式不规范，直接写，，不符合方程组解的书写要求。 7.实际问题忽略解的实际意义 求出解后不检验是否为正整数、是否符合题意，直接作答。 重点 1.二元一次方程组的定义与三步判断法 能快速、准确判断一个方程组是否为二元一次方程组。 2.二元一次方程组解的意义与双代入检验 理解“公共解”，会用代入法判断一组数是不是解。 3.已知解求参数、错解复原 这是期中、期末必考题型，必须熟练掌握代入求参逻辑。 4.从实际情境、古文、几何中列二元一次方程组 能提取两组等量关系，建立标准方程组模型。 5.规范书写 方程组、解的格式、步骤书写完整、清晰。 难点 1.含参数方程组的综合判断 同时满足：次数为1、系数不为0、总未知数为2，容易漏条件。 2.错解问题的逻辑理解 看错参数但满足另一方程，是本节最易混淆、最易丢分的难点。 3.复杂情境中提取两组独立等量关系 文字长、信息多，难以找准两个不同的等量关系。 4.方程组解与实际方案结合 把数学解转化为符合生活意义的方案，需要理解取值范围与整数限制。 5.数形结合（几何+方程组） 从图形中抽象出代数关系，对抽象思维要求较高。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知 ​是方程的解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．解是的方程组可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．写一个解是的二元一次方程组_______． 5．已知是方程组的解，那么的值为_________． 6．已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 三、解答题 7．写出一个二元一次方程组，使它的解为 8．已知是关于x，y的二元一次方程组，求的值． 9．已知关于、的方程组的解是，其中的值不小心被滴上了墨水．求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2 二元一次方程组的概念 知识点1：二元一次方程组的定义 1.定义：由两个一次整式方程组成，并且方程组中一共只含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。 2.一般形式：（、不同时为0，、不同时为0）。 3.必须同时满足三个条件： ①方程组中的每一个方程都是整式方程（分母不含未知数、无根号）； ②整个方程组总共只含有两个未知数（不看单个方程，看整体）； ③所有含未知数的项的次数都是1，不存在、、等高次项。 知识点2：二元一次方程组的解 1.定义：二元一次方程组中，同时满足两个方程的一组未知数的值，叫做这个方程组的解（两个方程的公共解）。 2.书写规范：解必须用大括号联立，分两行书写，如。 3.重要性质： ①方程组的解一定是每个方程的解； ②单个方程的解不一定是方程组的解； ③一般二元一次方程组有唯一一组解，特殊情况可无解或有无数组解。 知识点3：根据实际问题列二元一次方程组 1.核心依据：题目中包含两组相互独立的等量关系。 2.标准步骤： ①审题，找出两个未知量，设为、； ②找出两组不同的等量关系； ③根据每一组等量关系分别列出一个方程； ④联立成二元一次方程组，并整理成标准形式。 知识点4：二元一次方程组快速判断表 方程组 整式方程 总未知数个数 含未知数项次数 是否为二元一次方程组 是 2 1 是 是 2 2 否 否 2 1 否 是 3 1 否 【基础必考题型】 【题型1】二元一次方程组的概念辨析 1.核心知识点 二元一次方程组的三个判定条件：整式方程、共两个未知数、含未知数项次数为1。 单个未知数的方程组成的方程组（如）也属于二元一次方程组。 区分“每个方程含两个未知数”与“方程组共两个未知数”，后者才是正确判断依据。 2.解题方法技巧 ①三看判断法：一看整式、二看总未知数个数、三看次数； ②秒杀排除：见到、平方、分母含未知数、三个未知数直接排除； ③对照一般形式，逐项核对条件。 【例题1】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义：共含有两个未知数，所有方程均为一次整式方程的方程组，依次判断各方程组即可． 【详解】解：①是二元一次方程组，符合题意； ②是二元一次方程组，符合题意； ③不是整式方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； ④是二元一次方程组，符合题意； 其中是二元一次方程组的是①②④． 【变式题1-1】.（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，满足三个条件：①共含有两个未知数；②未知数的最高次数为1次；③整式方程．据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：含有三个未知数，故①不属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故②属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故③属于二元一次方程组； 的未知数的最高次数是2，故④不属于二元一次方程组； 故选：C． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·吉林辽源·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组需满足：含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意； B、含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； C、的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； D、的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·全国·期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组要求只有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数最高次数为1，据此一一判断即可． 【详解】解：∵二元一次方程组要求只有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数最高次数为1． 选项A中，是二次方程，不符合； 选项B中，有x、y、z三个未知数，不符合； 选项C中，只有x和y两个未知数，且两个方程均为一次方程，符合； 选项D中，为分式，不是整式方程，不符合． ∴ 属于二元一次方程组的是C． 故选C 【题型2】根据二元一次方程组的定义求字母参数 1.核心知识点 未知数的次数必须等于1，高次项系数必须为0。 方程组整体只能有两个未知数，第三个未知数系数必须为0。 一次项系数不能为0，否则会退化为一元方程。 2.解题方法技巧 ①定次数：令指数=1，建立方程； ②清干扰：项、第三个未知数项系数必须=0； ③限系数：保留的一次项系数≠0； ④联立求解，检验所有条件。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零． 【变式题2-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义得，求出后进行验证，即可得出最终的值． 【详解】解：∵方程组是关于的二元一次方程组， ∴，即， 解得：， 当时，原方程组可转化为：，不符合二元一次方程组的定义，舍去； 当时，原方程组可转化为：，符合二元一次方程组的定义； 综上所述：的值为． 故答案为：． 【变式题2-2】.（24-25八年级上·重庆长寿·月考）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为________． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组， ∴， 故答案为：0． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·山西临汾·月考）若是关于的二元一次方程组，则___________． 【答案】或1 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，， 或． 故答案为：或1． 【题型3】判断一组数是否为方程组的解 1.核心知识点 方程组的解是两个方程的公共解，必须同时满足两个方程。 只满足一个方程的解，不是方程组的解。 检验必须对两个方程都代入计算，缺一不可。 2.解题方法技巧 ①双代入：必须同时代入两个方程； ②算两边：分别计算左右两边，判断是否相等； ③规范写：用大括号书写，结论明确。 【例题3】.（25-26七年级下·四川内江·月考）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解，将代入各选项方程组验证即可． 【详解】解：A. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； B. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， 再代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴是该方程组的解，符合题意； C. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； D. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意． 【变式题3-1】.（24-25七年级下·广东广州·期末）下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把每个选项的解分别代入方程组进行判断即可． 【详解】解：A．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，左边≠右边，故选项A不是方程组的解； B．把代入方程，左边，右边，左边≠右边；把代入方程，左边，左边=右边，故选项B不是方程组的解； C．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，右边，左边≠右边，故选项C不是方程组的解； D．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入，左边，右边，左边=右边，故选项D是方程组的解． 故选：D． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）下列四对数值中，不是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解的概念，解题的关键是将各选项中的值代入方程，看等式是否成立． 依次把每个选项中的值代入方程，判断等式左右两边是否相等． 【详解】A、把代入方程的左边，可得，右边，左边=右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； B、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； C、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； D、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项不是方程的解，符合题意． 故选：D． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·全国·单元测试）已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入各选项的方程是解题的关键．将方程组的解代入各选项的方程，看是否成立即可得出答案． 【详解】解：A.把代入得：，，故该选项符合题意； B. 把代入得：，，故该选项不合题意； C. 把代入得：，故该选项不合题意； D. 把代入得：，故该选项不合题意． 故选：A． 【题型4】已知方程组的解求参数值 1.核心知识点 方程组的解同时满足两个方程，可分别代入建立关于参数的一元一次方程。 一个解可以同时求出两个不同参数。 代入后参数保留，未知数替换为数值，转化为常规一元方程求解。 2.解题方法技巧 ①全代入：把、同时代入两个方程； ②分求解：两个方程分别求对应参数； ③回检验：把参数代回验证正确性。 【例题4】.（2026七年级下·福建泉州·专题练习）若是关于x，y的方程组的解，则的值为（　 　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 【变式题4-1】.（2025九年级下·河北·专题练习）已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，即方程组的解满足组内所有方程，先通过已知方程求出a的值得到完整的解，再将解代入各选项验证即可． 【详解】∵将代入， ∴，解得，即方程组的解为， A. 将代入，左边，不符合题意； B. 将代入，左边，不符合题意； C. 将代入，左边，不符合题意； D. 将代入，左边右边，符合题意． 故选：D． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解是满足方程组中每个方程未知数的值是解题的关键． 将已知的a、b值代入方程组得到关于x、y的方程组，再通过方程变形求出的值． 【详解】解：∵关于a、b二元一次方程组的解是， ∴，化简得：， 得：， 去括号得：， 合并同类项得． ∴的值为3． 故选B． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·安徽宿州·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 根据二元一次方程组的解的定义得出关于a，b的方程组，求出a，b的值，即可求出的值． 【详解】解：∵是二元一次方程组， ∴， 解得， ∴． 故选B． 【培优高频题型】 【题型5】错解复原问题（看错参数） 1.核心知识点 看错方程中的一个参数，得到的错解仍然满足另一个没看错的方程。 利用“错解满足正确方程”这一关系，反向求出正确参数。 求出正确参数后，可还原原方程组并求正确解。 2.解题方法技巧 ①分清看错与没看错的方程； ②错解代入没看错的方程求正确参数； ③还原参数，得到原方程组。 【例题5】.（25-26八年级上·广东梅州·月考）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程②，乙所得的方程组的解满足方程①，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程②和方程①中求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：甲看错了方程①中的 满足题中的方程②， ， 解得． 乙看错了方程②中的 满足题中的方程①， ， 解得． ． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，小颖在解这个方程组时误将系数a前面的“”抄成了“”，解得，则的值为（   ） A．5 B．2 C．0 D．-1 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据小颖的错误操作，将解代入错误的方程组求出a和b的值，再代入计算即可． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∴． 故选A． 【变式题5-2】.（24-25七年级下·全国·随堂练习）甲、乙两人同时解方程组；甲看错了b，求得的解为；乙看错了a，求得的解为；你能求出原题中正确的a，b吗？ 【答案】能，， 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：能． 甲看错了b，把甲求得的解代入①， 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②， 得， 即，． 【变式题5-3】.（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因为抄错c的值，解得，则______． 【答案】7 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入方程组得，再把代入方程组中第一个方程得，联立①②③，求出的值代入计算即可 【详解】解：把代入方程组得， ∵是方程的一组解， ∴， 联立①②③，并解得， ∴， 故答案为：7． 【题型6】方程组遮盖复原问题 1.核心知识点 二元一次方程组的解同时满足两个方程，可利用完整方程先求出未知的解。 已知一个未知数的值，代入无遮挡方程求出另一个未知数，再回代求遮挡数或参数。 解题关键：先求完整解，再算遮挡值。 2.解题方法技巧 第一步：把已知解代入信息完整的方程，求出被遮挡的未知数。 第二步：将完整解代入含遮挡项的方程，计算遮挡数值。 第三步：求参数时，将完整解代入含参方程，解一元一次方程得结果。 【例题6】.（25-26七年级下·全国·周测）若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据和方程求出的值，再将和的值代入方程求出 【详解】解：， 且， .． 将代入， 得， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）小明求得方程组的解为，则表示的数为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据方程组的解求参数，将代入第一个方程求出 x 的值，再将 x 和 y 的值代入第二个方程求解． 【详解】解：由题意得，方程组的解中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·安徽宿州·月考）芳芳解方程组的解为，由于不小心，两滴墨水遮住了两个数和⊙，则与⊙表示的数分别是（   ） A．6，1 B．， C．，1 D．6， 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解方程组的解是解答的关键． 将已知解代入方程求出，再代入求即可求解． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴将代入中，得：， 解得，即； 将，代入，得， ∴， 故选：A． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·甘肃武威·期中）方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（　　） A．4，1 B．5，1 C．3， D．5，2 【答案】B 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意把代入②中，得到，把，代入①中，计算即可． 【详解】解： ， 把代入②中，得， 解得， 把，代入①中，得， ∴被遮盖的两个数分别为5，1． 故选：B． 【题型7】整体换元型同解方程组 1.核心知识点 结构相同的二元一次方程组，对应整体部分的解相等。 运用整体换元思想，将括号内式子看作一个未知数。 含倍数时先同除倍数，化为相同结构再换元。 2.解题方法技巧 对比两个方程组，找到对应整体。 令整体等于已知解，建立简易方程组。 有倍数先化同结构，再求解未知数。 【例题7】.（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将与看作整体，对应已知方程组中的a与b，得到关于x，y的方程组，即可求解． 【详解】解：对比两个方程组的结构可得， 由，得， 由，得， 因此方程组的解为． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若方程组的解是，则方程组的解是_____ 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解．方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， 解得． 故答案为： 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，在关于a、b的二元一次方程组中，则_____ ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，平方差公式，正确得出关于、的方程组是解题关键．根据已知得出，由进而得出答案． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 方程组中， ∴． 故答案为：． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·广东江门·月考）若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是___________． 【答案】 【分析】将待求方程组变形，换元后可得到与已知方程组结构相同的同解方程组，结合已知方程组的解即可求出目标方程组的解． 【详解】解：将两边同时除以2， 变形可得， 令， 则方程组可化为， 该方程组与原方程组系数完全相同，为结构相同，故其解的形式也相同， 已知原方程组的解为， 因此可得， 即，解得． 易错点 1.判断方程组时只看单个方程，不看整体未知数个数 单个方程都含两个未知数，但整体出现三个未知数（如、、），仍不是二元一次方程组。 2.检验解时只代入一个方程就下结论 必须同时满足两个方程才是方程组的解，只满足一个不算。 3.求参数时忽略“一次项系数不能为0” 次数满足1，但系数为0，方程退化为一元，不再是二元一次方程组。 4.列方程组时两组等量关系重复 两个方程本质一样（如一个是另一个的倍数），无法构成有效方程组。 5.混淆“项的次数”与“未知数的次数” 把项误认为一次项，导致判断错误。 6.书写方程组的解时不用大括号联立 格式不规范，直接写，，不符合方程组解的书写要求。 7.实际问题忽略解的实际意义 求出解后不检验是否为正整数、是否符合题意，直接作答。 重点 1.二元一次方程组的定义与三步判断法 能快速、准确判断一个方程组是否为二元一次方程组。 2.二元一次方程组解的意义与双代入检验 理解“公共解”，会用代入法判断一组数是不是解。 3.已知解求参数、错解复原 这是期中、期末必考题型，必须熟练掌握代入求参逻辑。 4.从实际情境、古文、几何中列二元一次方程组 能提取两组等量关系，建立标准方程组模型。 5.规范书写 方程组、解的格式、步骤书写完整、清晰。 难点 1.含参数方程组的综合判断 同时满足：次数为1、系数不为0、总未知数为2，容易漏条件。 2.错解问题的逻辑理解 看错参数但满足另一方程，是本节最易混淆、最易丢分的难点。 3.复杂情境中提取两组独立等量关系 文字长、信息多，难以找准两个不同的等量关系。 4.方程组解与实际方案结合 把数学解转化为符合生活意义的方案，需要理解取值范围与整数限制。 5.数形结合（几何+方程组） 从图形中抽象出代数关系，对抽象思维要求较高。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知 ​是方程的解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵​是方程的解， ∴ 解得： 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A.方程组中第二个方程含，次数为，不是二元一次方程，不符合题意； B.方程组中第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； C.方程组中一共有个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； D.方程组是二元一次方程组，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“二元一次方程组需满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程”是解题的关键． 3．解是的方程组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的满足每个方程式解题关键．将分别代入方程组，满足的方程组即为答案． 【详解】解：A、把代入方程组得：，不符合题意； B、把代入方程组得：，符合题意； C、把代入方程组得：，不符合题意； D、把代入方程组得：，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 4．写一个解是的二元一次方程组_______． 【答案】 【分析】方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 根据，列出方程组即可． 【详解】解：根据题意得：． 5．已知是方程组的解，那么的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 将方程组的解代入原方程，求出和 的值，再计算． 【详解】解：是方程组的解， 化简得： 解得： ． 故答案为：． 6．已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查求含参数的二元一次方程组中的参数． 由条件，代入原方程组，得到，消去，即可求解． 【详解】解：将代入方程组，得，即， ∴， 解得，． 故答案为：1． 三、解答题 7．写出一个二元一次方程组，使它的解为 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是二元一次方程组解的定义，解答此题的关键是把方程的解代入各组方程中，看各方程是否成立．根据二元一次方程组的解找到x与y的数量关系，然后列出方程组即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴这个方程组可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 8．已知是关于x，y的二元一次方程组，求的值． 【答案】2 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义由 求出答案后验证，代入求出的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：根据二元一次方程组的概念可知，． 由 ，解得或． 当时，； 当时，（不符合题意，舍去）． 把代入中，解得，所以． 9．已知关于、的方程组的解是，其中的值不小心被滴上了墨水．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组解的定义，把代入方程得关于的方程，解方程求出，再把，代入得到关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 把，代入得：， 解得． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $