10.5用二元一次方程组解决问题同步培优讲义（知识点+12大题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

10.5用二元一次方程组解决问题同步培优讲义 （知识点+12大题型+过关检测） 【题型1 根据实际问题列二元一次方程组】 1 【题型2 方案问题】 3 【题型3 行程问题】 4 【题型4 工程问题】 5 【题型5 数字问题】 6 【题型6 年龄问题】 7 【题型7 分配问题】 7 【题型8 销售问题】 9 【题型9 和差倍分问题】 10 【题型10 几何问题】 11 【题型11 图表信息问题】 12 【题型12 古代问题】 15 1. 掌握用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤，学会从实际情境中提取数学信息，找准等量关系，建立方程组模型。 2. 熟练解决行程、工程、销售、几何、数字等12类高频应用题，厘清各类题型的核心等量关系，突破审题难点。 3. 培养数学建模、逻辑推理和运算求解能力，规范应用题的解题书写格式，养成检验答案合理性的习惯。 03 知识•梳理 （一）解题核心步骤（六步走，缺一不可） 审→设→列→解→验→答 · 审：审题，读懂题意，找出题目中的两个独立等量关系（关键）； · 设：设未知数，一般设两个未知数为\(x\)、\(y\)，单位统一； · 列：根据等量关系，列出二元一次方程组； · 解：用代入/加减消元法解方程组，求出未知数的值； · 验：双重检验——①检验是否为方程组的解；②检验是否符合实际意义（如正数、整数、符合题意范围）； · 答：规范作答，回应题目问题，写明单位。 （二）核心思想：建模思想 将实际问题中的数量关系，转化为二元一次方程组的数学模型，把未知量转化为已知量，实现实际问题数学化。 （三）设未知数技巧 · 直接设元：题目求什么，就设什么（适用于大部分基础题型）； · 间接设元：所求量不易直接列方程，设相关中间量为未知数（适用于数字、年龄、行程等题型）； · 设元时需明确未知数的含义，标注单位，避免混淆。 （四）常见易错点 · 审题不清，找错或找不全等量关系，列错方程组； · 单位不统一，未换算就列方程（如行程问题中km/h与m/s混用）； · 忽略检验环节，答案不符合实际意义（如人数、件数为负数、小数）； · 书写不规范，漏写“设”“答”，步骤不完整； · 方案问题未列举所有可行方案，或遗漏限制条件。 培优解题通法：无论题型如何变化，核心都是找准两个等量关系，规范设元、列方程、求解检验，把复杂问题拆解为基础模型，即可快速突破。 04 题型•汇总 【题型1 根据实际问题列二元一次方程组】 解题关键: 找准题目中的两个等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，直接列方程组，无需求解。 【典例1】．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡为一群、七鸭为另一群，两群共重24千克，鸡重鸭轻，若从两群中各取一只互换，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．某游客欲购买若干“平安手机挂绳”和“美拉德挂饰”赠送亲友，已知一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元，该游客购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元．若设“平安手机挂绳”为元/个，“美拉德挂饰”为元/个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【题型2 方案问题】 解题关键: 设两种方案的数量为未知数，列方程组/不等式组； 求解后，根据“正整数、实际限制”筛选可行方案； 若涉及最优方案，计算各方案成本/数量，对比得出最优解。 【典例2】．某村为推广农作物大米品牌，计划将千克的大米分装成千克和千克“大米礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（   ）． A．种 B．种 C．种 D．种 跟随训练2-1．陕西历史博物馆的文创商店近期准备推出两种特色文创产品．若购进甲种文创产品1件，乙种文创产品2件，则费用是80元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品3件，则费用是135元． (1)甲、乙这两种文创产品的单价各是多少元？ (2)某班计划购买两种文创产品（两种都需购买）、恰好用完330元，请问该班有几种购买方案？写出所有可行的方案． 跟随训练2-2．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【题型3 行程问题】 核心公式: 路程=速度×时间、速度=路程÷时间、时间=路程÷速度 分类等量关系 相遇问题：甲路程+乙路程=总路程； 追及问题：快者路程-慢者路程=初始距离； 顺逆流问题：顺流速度=船速+水速，逆流速度=船速-水速； 上下坡问题：上坡路程+下坡路程=总路程，上坡时间+下坡时间=总时间。 【典例3】．线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 跟随训练3-2．苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，求出当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【题型4 工程问题】 核心公式: 工作总量=工作效率×工作时间（常把工作总量看作单位“1”） 等量关系: 甲工作量+乙工作量=总工作量； 合作效率=甲效率+乙效率； 工作时间=工作量÷工作效率。 【典例4】．某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 跟随训练4-1．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 跟随训练4-2．某农产品公司现有195吨物资需要运往外地，计划安排甲、乙两种货车将全部物资一次运完（货车均满载），已知甲、乙两种货车在满载情况下的两次运输记录如下表： 甲货车（辆） 乙货车（辆） 物资（吨） 第一次 10 6 290 第二次 6 3 165 (1)甲、乙两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (2)若两种货车均使用，请求出所有可行的运输方案． 【题型5 数字问题】 解题关键： 设出未知数，表示出题目中的数字。根据题中等量关系列方程。 【典例5】．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 跟随训练5-1．一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 跟随训练5-2．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【题型6 年龄问题】 核心规律： 年龄差始终不变，随着时间推移，两人年龄同步增加/减少相同岁数。 【典例6】．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 跟随训练6-1．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是________________岁． 跟随训练6-2．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【题型7 分配问题】 解题关键： 抓住“总量不变”，按两种不同分配方式，分别表示总量，列方程组求解（如物品分配、人员分配、物资调配）。 【典例7】．我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念．在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼．已知每卷彩纸可制作福袋个或灯笼个，且每卷彩纸只能做其中的一种．现有卷彩纸，完成后打算将个福袋和个灯笼配成一套礼物送给父母．最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套．设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 跟随训练7-1．“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 跟随训练7-2．某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块5块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 【题型8 销售问题】 核心公式： 利润=售价-进价； 利润率=利润÷进价×100%； 售价=标价×折扣（如8折=0.8）； 总销售额=单价×数量。 【典例8】．邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于年，中国邮政于年月日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票种．已知枚《跃马添福》邮票的面值为元，枚《鸿运驰春》邮票的面值为元．学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多枚，且所购两种邮票总面值为元，求该社团购买两种邮票的数量． 跟随训练8-1．中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆型和3辆型汽车需要万元，3辆型和2辆型汽车需要万元． (1)求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车(两种汽车都要购进)，请写出有哪几种购买方案． (3)若销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 跟随训练8-2．贴春联是中国人过年的重要习俗马年春节临近，沃尔玛超市用元购进，两种春联进行销售，春联的进价和售价如表所示，全部销售后可获得利润元． 种春联 种春联 进价（元副） 售价（元副） (1)沃尔玛超市购进、两种春联各多少副？ (2)由于两种春联的销量比较好，沃尔玛超市决定再用元购进这两种春联（元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，种春联为元/副，种春联为元/副，请问沃尔玛超市可以有哪几种购买方案？ 【题型9 和差倍分问题】 解题关键： 直接翻译题目文字：和x+y=a、差x-y=b、倍x=ny、分x=1/ny，列最简方程组。 【典例9】．某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克． (1)求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克； (2)已知1架型无人机的单次租金为150元，1架型无人机的单次租金为100元．现农场要紧急配送840千克货物，计划租用9架型无人机．请聪明的你写出一种租金更少的租用方案，并求出节省了多少元． 跟随训练9-1．某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 跟随训练9-2．编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【题型10 几何问题】 解题关键： 结合三角形、长方形、正方形、折叠图形的性质，利用边长相等、面积相等、内角和、周长公式列方程，兼顾几何特征与代数计算。 【典例10】．如图，点O在上，与互补，平分平分，若与互余，则的度数为_______． 跟随训练10-1．如图，把一个黑色大正方形和四个完全相同的白色小正方形分别按图①②两种方式摆放，若，，则图②中未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为______． 跟随训练10-2． 项目主题 制作仿古灯笼 素材1 灯笼、又统称为灯彩，是中国的一种传统工艺品，如图①是一款仿古灯笼． 素材2 用如图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，可制成如图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼． 素材3 用现有的纸板裁成如图②的长方形和正方形作为侧面与底面已知一张纸板的裁剪方式有两种（均有余料）、方式一：裁成个长方形与一个正方形：方式二：裁成个长方形与个正方形、现将张硬纸板用方式一裁剪、张硬纸板用方式二裁剪 任务一 设做成的竖式灯笼个，横式灯笼个，根据题意完成表格； 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） ①__________ 正方形宣纸的数量（张） ②___________ 任务二 若使用长方形宣纸张，正方形宣纸张，试求出两种灯笼一共做了多少个？（用含、的代数式表示） 任务三 若两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，两种灯笼都制作，则两种款式的灯笼分别做了多少个？ 【题型11 图表信息问题】 解题关键： 从表格、图像、条形图中提取数据，找准横纵坐标/行列对应的数量关系，转化为文字等量关系，再列方程组。 【典例11】．阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 跟随训练11-1．如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 跟随训练11-2．【问题背景】图中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，图A，B都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．请根据下面的探究过程，完成相应的问题． 【观察发现】 （1）当内部有1个点时，格点多边形边上的点数和面积统计如表． C D E 边上的点数 4 8 8 9 多边形面积 2 4 4 请完成表格，并写出S与x之间的关系式为：___________． （2）当多边形内部有2个点时，在下面的格点图中，自己画两个格点多边形，然后将所画图形边上的点数和面积填写在下面的表格中． 图1 图2 边上的点数： 多边形面积 写出与之间的关系式为：___________． 【规律总结】（3）如果设格点多边形内部的点数为，边上的点数为，格点多边形的面积为．试用含的代数式表示，并用所得规律求出【问题背景】中图形的面积． 【拓展应用】（4）一个格点多边形的面积为20，且边上的点数是内部点数的3倍还多2，求出与的值．在图中，设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形． 【题型12 古代问题】 解题关键： 读懂文言文，转化为现代数学语言，找准数量关系，本质仍是和差倍分、分配、行程等基础题型，按对应方法求解。 【典例12】．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．”意思是：9枚黄金与枚白银重量恰好相等；若在黄金袋与白银袋中交换1枚，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻两．设1枚黄金重x两，1枚白银重y两，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练12-1．《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，则可列方程组________．（结果可以不化简） 跟随训练12-2．《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋（yǎ），共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？……”其大意是：今有绢与布匹，卖得贯钱，匹绢价贯，匹布价贯，问绢与布各有多少．设绢有匹，布有匹，依据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 05 过关•检测 1．《九章算术》中有一个问题大意是：有几个人共同出钱去买一件物品，若每人出8钱，则剩余3钱；若每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y钱，则所列方程组应为（　　） A． B． C． D． 2．阅读下面的对话，并回答问题： 设A版选取自然景观类x个，人文景观类y个，请根据题意列出二元一次方程组（    ） A． B． C． D． 3．习近平总书记说“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书籍．已知每本甲种书比每本乙种书少5元，购买3本甲种书和4本乙种书共花费230元．设每本甲种书x元，每本乙种书y元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 5．某中学2025年“逐梦新程”元旦汇演，参演的合唱队和舞蹈队人数共60人，其中合唱队人数的2倍比舞蹈队人数多18人，设合唱队有人，舞蹈队有人，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店的折扣是（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 7．某班有49名学生，一天，该班一男生因事请假，当天的男生人数恰好为女生人数的一半．设该班有男生人，女生人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 9．某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为_________万元． 10．学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为，在坡路上行驶的速度为．汽车从学校到自然保护区一共行驶了，则汽车在坡路上行驶了______ h． 11．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组______． 12．小甘到文具超市去买文具．根据图中的对话信息，可求出中性笔和笔记本的单价分别是__________元和__________元． 13．如图是一个周长为16的长方形ABCD，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①，②，③，④，⑤），其中．若⑤为正方形，则②的周长为_____；若①的周长为9.4，则⑤的长与宽之差为______． 14．若一个四位正整数，其十位数字与千位数字的3倍的和为15，百位数字比个位数字小1，则称这样的四位数为“彩虹数”．若“彩虹数”（其中：，，，，且，，，均为整数），把彩虹数前两位数字和后两位数字整体交换得到新四位数字，规定：，则最大时，的值为______． 15．年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？ 16．我市某乡镇狠抓科技兴农，在乡农业科技人员的技术指导下，该乡镇的农民种植的“蜜糖心”品牌萝卜品质好、口感好，耐运输、耐储存，因而受到很多外地客商的青睐．现某物流公司欲将该乡镇一批萝卜运往外地销售，若租用辆A型车和辆B型车载满萝卜，一次可运走吨；若租用辆A型车和辆B型车载满萝卜，一次可运走吨，现有萝卜吨，计划同时租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满萝卜，根据以上信息，解答问题： (1)1辆A型车和辆B型车都载满萝卜一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？ 17．2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ (2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 18．魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．某文具店购进魔方、数独棋共个，总共花费元，魔方、数独棋的进价和标价如表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 标价（元/个） (1)该文具店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该文具店共获利多少元？ 19．某中学拟组织七、八年级师生去参观岳阳博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到岳阳博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题 任务1 根据素材1、2，解决下列问题：（1）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 任务2 根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题：（2）若只租用同一种客车，使七年级每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 20．综合与实践 【问题背景】 巢湖素有“皖中明珠”之美誉，旅游度假资源丰富．某校八年级（1）班同学为了完成老师布置的综合与实践作业——制作《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》，分成了若干个学习小组，先通过携程、飞猪、美团、去哪儿等在线旅游平台提供的相关信息对巢湖市优质度假区、高档宾馆、精品民宿等三种不同类型的住宿资源进行了“金牌旅游住宿”的名称界定；然后，从中各选取两家通过电话咨询了解住宿的位置优势以及不同房间的基本住宿价格；最后，结合平台用户评分和商家电话介绍，在这三种住宿资源类型中均选择了假期预订量最高的家庭房进行了实地调查，希望给《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》的制作提供可靠的数据来源． 【材料收集与整理】 各学习小组在同一天奔赴不同金牌旅游住宿地进行调查，获取到度假区和高档宾馆类型的金牌旅游住宿均会结合市场需求根据房型实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间比淡季上涨；精品民宿的定价也有淡季、旺季之分，但上涨比例相对灵活；通过各旅游平台下单、电话预定、现场订房的优惠差距可忽略不计．此外，不同类型的金牌旅游住宿费用差距较大，环境风格差异明显，消费群体有区别．具体材料如下： 材料一：度假区离巢湖市中心约15公里，离高铁站、高速公路收费站均在6公里以内．度假区的一房别墅住宿，可享受一站式家庭旅游体验，同时赠送温泉疗养项目，采用标准化管理．第一学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 度假区 淡季 旺季 未入住一房别墅间数 10 0 该房型日总收入（元） 9600 24000 材料二：高档宾馆在巢湖市中心3公里以内，出行观光便利，亲子设施、运动设施、餐饮服务、交通服务等均符合标准化管理，品质有保障．第二学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 高档宾馆 淡季 旺季 未入住家庭房间数 5 0 该房型日总收入（元） 5600 10500 材料三：精品民宿距巢湖市中心约20公里，没有明确标注“家庭房”房型，但有适合亲子家庭的替代方案一：适合4个亲子家庭自行组团整体合租的集住宿、休闲、运动、书吧于一体的门庭小院，小院为稀缺型旅游住宿资源只有一座；方案二：在有儿童游乐和手工体验区的民宿公共区选择客栈标准间大床房组合（两者价格一样，各有20间可供选择）．第三学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 精品民宿 淡季 旺季 一座门庭小院价格 2000 2600 客栈标准间单价 300 360 【数据分析与运用】 任务1：（1）该度假区的一房别墅有多少间？一房别墅旺季每间价格为多少元？该高档宾馆旺季家庭房每间价格为多少元？ 任务2：（2）请通过计算说明该精品民宿旺季比淡季每间（座）上涨是否符合的标准？ 任务3：（3）如果有位游客在网络上看到了该校八（1）班同学分享的《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》视频，想在春节期间来巢湖亲子游，你会给他推荐哪种类型的金牌旅游住宿资源呢？请你说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.5用二元一次方程组解决问题同步培优讲义 （知识点+12大题型+过关检测） 【题型1 根据实际问题列二元一次方程组】 1 【题型2 方案问题】 2 【题型3 行程问题】 5 【题型4 工程问题】 8 【题型5 数字问题】 10 【题型6 年龄问题】 12 【题型7 分配问题】 15 【题型8 销售问题】 18 【题型9 和差倍分问题】 21 【题型10 几何问题】 24 【题型11 图表信息问题】 28 【题型12 古代问题】 32 1. 掌握用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤，学会从实际情境中提取数学信息，找准等量关系，建立方程组模型。 2. 熟练解决行程、工程、销售、几何、数字等12类高频应用题，厘清各类题型的核心等量关系，突破审题难点。 3. 培养数学建模、逻辑推理和运算求解能力，规范应用题的解题书写格式，养成检验答案合理性的习惯。 03 知识•梳理 （一）解题核心步骤（六步走，缺一不可） 审→设→列→解→验→答 · 审：审题，读懂题意，找出题目中的两个独立等量关系（关键）； · 设：设未知数，一般设两个未知数为\(x\)、\(y\)，单位统一； · 列：根据等量关系，列出二元一次方程组； · 解：用代入/加减消元法解方程组，求出未知数的值； · 验：双重检验——①检验是否为方程组的解；②检验是否符合实际意义（如正数、整数、符合题意范围）； · 答：规范作答，回应题目问题，写明单位。 （二）核心思想：建模思想 将实际问题中的数量关系，转化为二元一次方程组的数学模型，把未知量转化为已知量，实现实际问题数学化。 （三）设未知数技巧 · 直接设元：题目求什么，就设什么（适用于大部分基础题型）； · 间接设元：所求量不易直接列方程，设相关中间量为未知数（适用于数字、年龄、行程等题型）； · 设元时需明确未知数的含义，标注单位，避免混淆。 （四）常见易错点 · 审题不清，找错或找不全等量关系，列错方程组； · 单位不统一，未换算就列方程（如行程问题中km/h与m/s混用）； · 忽略检验环节，答案不符合实际意义（如人数、件数为负数、小数）； · 书写不规范，漏写“设”“答”，步骤不完整； · 方案问题未列举所有可行方案，或遗漏限制条件。 培优解题通法：无论题型如何变化，核心都是找准两个等量关系，规范设元、列方程、求解检验，把复杂问题拆解为基础模型，即可快速突破。 04 题型•汇总 【题型1 根据实际问题列二元一次方程组】 解题关键: 找准题目中的两个等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，直接列方程组，无需求解。 【典例1】．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵设甜果个，苦果个，两种果一共个， ∴， ∵文可买个甜果，因此单个甜果价格为文，文可买个苦果，因此单个苦果价格为文，总花费为文， ∴， 综上可得方程组． 跟随训练1-1．《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡为一群、七鸭为另一群，两群共重24千克，鸡重鸭轻，若从两群中各取一只互换，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总重量和互换后重量相等两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组． 【详解】解：∵设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，六鸡、七鸭共重24千克， ∴可得第一个方程，可排除B、C选项； 互换其中一只后，一侧为5只鸡加1只鸭，另一侧为6只鸭加1只鸡，二者重量相等， ∴可得第二个方程； 联立得方程组． 跟随训练1-2．某游客欲购买若干“平安手机挂绳”和“美拉德挂饰”赠送亲友，已知一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元，该游客购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元．若设“平安手机挂绳”为元/个，“美拉德挂饰”为元/个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元，购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元，列出方程组即可． 【详解】解：设“平安手机挂绳”为元/个，“美拉德挂饰”为元/个，由题意： ． 【题型2 方案问题】 解题关键: 设两种方案的数量为未知数，列方程组/不等式组； 求解后，根据“正整数、实际限制”筛选可行方案； 若涉及最优方案，计算各方案成本/数量，对比得出最优解。 【典例2】．某村为推广农作物大米品牌，计划将千克的大米分装成千克和千克“大米礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（   ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】先设两种礼盒的盒数，根据总重量列方程，再结合盒数的限制条件，找出所有符合要求的整数解，统计方案数即可． 【详解】解：设千克装礼盒有盒，千克装礼盒有盒，均为正整数， 根据题意可得，且，， ∵， ∴，可得，即， ∵， ∴，且为正整数， ∴当时，，不是整数，不符合， 当时，，满足，符合要求， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，满足，符合要求， ∴符合条件的方案共有种． 跟随训练2-1．陕西历史博物馆的文创商店近期准备推出两种特色文创产品．若购进甲种文创产品1件，乙种文创产品2件，则费用是80元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品3件，则费用是135元． (1)甲、乙这两种文创产品的单价各是多少元？ (2)某班计划购买两种文创产品（两种都需购买）、恰好用完330元，请问该班有几种购买方案？写出所有可行的方案． 【答案】(1)甲种文创产品的单价是30元，乙种文创产品的单价是25元； (2)该班共有2种购进这两种文创产品的方案：①购买甲种文创产品6件，乙种文创产品6件；②购买甲种文创产品1件，乙种文创产品12件． 【分析】（1）设甲种文创产品的单价是x元，乙种文创产品的单价是y元，根据购进甲种文创产品1件，乙种文创产品2件，则费用是80元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品3件，则费用是135元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进甲种文创产品m件，购进乙种文创产品n件，根据该班决定花330元购进这两种文创产品，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲种文创产品的单价是x元，乙种文创产品的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种文创产品的单价是30元，乙种文创产品的单价是25元； （2）解：设该班购进甲种文创产品m件，购进乙种文创产品n件， 由题意得：， 整理得， ∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该班共有2种购进这两种文创产品的方案： ①购买甲种文创产品6件，乙种文创产品6件； ②购买甲种文创产品1件，乙种文创产品12件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 跟随训练2-2．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：，解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：， ∵a、b为正整数， ∴此方程的解为：，，． 答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 【题型3 行程问题】 核心公式: 路程=速度×时间、速度=路程÷时间、时间=路程÷速度 分类等量关系 相遇问题：甲路程+乙路程=总路程； 追及问题：快者路程-慢者路程=初始距离； 顺逆流问题：顺流速度=船速+水速，逆流速度=船速-水速； 上下坡问题：上坡路程+下坡路程=总路程，上坡时间+下坡时间=总时间。 【典例3】．线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用——行程问题，关键是根据线段图准确分析两次行程中甲乙的行驶时间、路程与总路程的数量关系． 【详解】解：根据第一次行程的线段图可知，甲先行驶小时，再与乙共同行驶2小时，两人走完的路程， 甲的总路程为，乙的路程为，因此列方程为； 根据第二次行程的线段图可知，甲乙同时行驶1小时后，两人之间仍相距，总路程为， 因此甲乙1小时的路程和加上等于总路程，列方程为； 综上，可列方程组为， 故选：A． 跟随训练3-1．从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 【答案】336千米 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，正确列出方程组是做题的关键．先设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米，再根据题意，列出方程组，进而解方程组即可解答． 【详解】解：设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米， （千米/小时），（千米/小时），3小时24分小时， 则根据题意得，， 整理得，， 解得，， 所以，、两市之间的公路长为（千米）． 答：、两市之间的公路全长为336千米． 跟随训练3-2．苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，求出当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【答案】(1) (2)万公里 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）根据后轮胎行驶6万公里时报废，可得出该种汽车每行驶1万公里时后轮胎的磨损为； （2）根据“原前轮胎行驶x万公里的磨损”+“交换为后轮胎后行驶y万公里的磨损”和“原后轮胎行驶x万公里的磨损”+“交换为前轮胎后行驶y万公里的磨损”，得到方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵该种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废， ∴该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为， 故答案为：． （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴， 即前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是万公里． 【题型4 工程问题】 核心公式: 工作总量=工作效率×工作时间（常把工作总量看作单位“1”） 等量关系: 甲工作量+乙工作量=总工作量； 合作效率=甲效率+乙效率； 工作时间=工作量÷工作效率。 【典例4】．某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、，根据题意列出方程组，求解即可得解，理解题意，正确列出方程组是解此题的关键． 【详解】解：设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、， 由题意可得：， 解得：， 故水管①、②、③为进水管，水管④、⑤为出水管， ∵， ∴最快注满水池的水管编号为③， 故选：C． 跟随训练4-1．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 跟随训练4-2．某农产品公司现有195吨物资需要运往外地，计划安排甲、乙两种货车将全部物资一次运完（货车均满载），已知甲、乙两种货车在满载情况下的两次运输记录如下表： 甲货车（辆） 乙货车（辆） 物资（吨） 第一次 10 6 290 第二次 6 3 165 (1)甲、乙两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (2)若两种货车均使用，请求出所有可行的运输方案． 【答案】(1)甲、乙两种货车每辆每次分别可以运送物资20吨、15吨 (2)共三种可行的运输方案：①甲货车3辆，乙货车9辆；②甲货车6辆，乙货车5辆；③甲货车9辆，乙货车1辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用． （1）设甲、乙两种货车每辆每次分别可以运送物资吨、吨，则根据题意列出方程组，求解即可； （2）设甲、乙两种货车各需要辆、辆，根据题意得到，结合均为正整数，即可解答． 【详解】（1）解：设甲、乙两种货车每辆每次分别可以运送物资吨、吨， 则根据题意，得 解得， 答：甲、乙两种货车每辆每次分别可以运送物资20吨、15吨． （2）解：设甲、乙两种货车各需要辆、辆， 则， ， 由题意知均为正整数， ①当时，； ②当时，； ③当时，． 共三种可行的运输方案：①甲货车3辆，乙货车9辆；②甲货车6辆，乙货车5辆；③甲货车9辆，乙货车1辆． 【题型5 数字问题】 解题关键： 设出未知数，表示出题目中的数字。根据题中等量关系列方程。 【典例5】．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“这个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：，即， 解得：， 则这个两位数是． 故选：A． 跟随训练5-1．一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【答案】这个两位数是67 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出两位数． 设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，分别表示出两个两位数，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故这个两位数是． 跟随训练5-2．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【答案】(1)； (2)，； (3)，小明在时看到里程碑上的两位数为． 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）根据题意列代数式即可； （）由题意得，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为， ∴小明时看到的两位数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，小明时看到的两位数为，时看到的三位数为， 故答案为：，； （3）解：由题意得：， 解得：， ∴小明在时看到里程碑上的两位数为． 【题型6 年龄问题】 核心规律： 年龄差始终不变，随着时间推移，两人年龄同步增加/减少相同岁数。 【典例6】．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 跟随训练6-1．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是________________岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设爷爷现在的年龄为岁，小红现在的年龄为岁，根据年龄差不变和题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设爷爷现在的年龄是岁，小红现在的年龄是岁． 依题意得： 解得 故爷爷现在的年龄是65岁． 故答案为：． 跟随训练6-2．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)11、22、33、44、55 【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，，，进而得出，即可得证； （2）设小明的年龄为，则他父亲的年龄为，根据“颠倒的年龄”得出，即可得解． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， 则， 所以所得数与原数的和一定能被11整除； （2）解：设小明的年龄为，则他父亲的年龄为， 当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒， 再次出现颠倒时，， ， ， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55． 【题型7 分配问题】 解题关键： 抓住“总量不变”，按两种不同分配方式，分别表示总量，列方程组求解（如物品分配、人员分配、物资调配）。 【典例7】．我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念．在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼．已知每卷彩纸可制作福袋个或灯笼个，且每卷彩纸只能做其中的一种．现有卷彩纸，完成后打算将个福袋和个灯笼配成一套礼物送给父母．最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套．设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸， 由题意得，， 故选：． 跟随训练7-1．“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 【答案】(1)每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人 (2)共三种租车方案，见解析，最省费用为12800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到正确的等量关系． （1）设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人，根据题意，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用A型客车a辆，B型客车b辆，可得，再根据为正整数，求得二元一次方程的解，对比费用即可． 【详解】（1）解：设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人， 依题意得：， 解得：． 答：每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人． （2）解：设租用A型客车a辆，B型客车b辆， 依题意得：，化简得：． ∵a，b均为非负整数， ∴或或， 即共三种租车方案，分别是 ①租用A型客车14辆，2辆B型客车，费用为（元）； ②租用A型客车9辆，5辆B型客车，费用为（元）； ③租用A型客车4辆，8辆B型客车，费用为（元）； ∵， ∴租用A型客车4辆，8辆B型客车最省钱，费用为12800元． 跟随训练7-2．某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块5块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)有8块采用甲方式进行加工，6块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完，此时，礼盒的个数为个 (3)6 【分析】本题考查认识立体图形，列代数式以及求代数式的值，理解“裁剪方式与A，B板块恰好用完”之间的关系是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量进行计算即可； （2）设未知数，列方程组求解即可； （3）利用二元一次方程组的正整数解进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 板块 故答案为：； （2）解：由题意可得， ，解得：， 即有8块采用甲方式进行加工，6块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完， 此时，礼盒的个数为（个）； （3）解：由题意得，，解得， ∵x、a都是正整数， ∴a的最小整数值为6， 故答案为：6． 【题型8 销售问题】 核心公式： 利润=售价-进价； 利润率=利润÷进价×100%； 售价=标价×折扣（如8折=0.8）； 总销售额=单价×数量。 【典例8】．邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于年，中国邮政于年月日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票种．已知枚《跃马添福》邮票的面值为元，枚《鸿运驰春》邮票的面值为元．学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多枚，且所购两种邮票总面值为元，求该社团购买两种邮票的数量． 【答案】该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚，根据题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 跟随训练8-1．中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆型和3辆型汽车需要万元，3辆型和2辆型汽车需要万元． (1)求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车(两种汽车都要购进)，请写出有哪几种购买方案． (3)若销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元； (2)共有3种购买方案：方案1：购进型辆，型1辆；方案2：购进型8辆，型4辆；方案3：购进型4辆，型7辆； (3)方案1获利最大，最大利润是万元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用、方程的正整数解问题以及利润的计算与最值比较，关键是根据实际购进的资金等量关系建立方程(组)，结合车辆数为正整数的实际意义确定取值，再通过计算比较得出利润最值． （1）先设、两种型号汽车的进价分别为万元、万元，根据题干中两种购进方式的资金总额，列出二元一次方程组，解方程组即可求出两种车型的每辆进价； （2）设购进型辆、型辆，且、均为正整数，根据总购进资金万元列出不定方程，整理化简后结合正整数的限制条件，分析得出未知数的取值需满足的倍数和不等关系，逐一验证求出所有符合条件的、值，进而确定所有购买方案； （3）根据每辆、型汽车的利润，分别计算出（2）中各方案的总利润，通过比较各方案的利润数值，得出获利最大的方案以及对应的最大利润． 【详解】（1）解：设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元， 根据题意列方程组：，解得， 答：A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元． （2）解：设购进型汽车辆，型汽车辆(、均为正整数)， 根据题意得，整理得， ∵、为正整数， ∴需为3的正倍数，且，即， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； ∴共有3种购买方案：方案1：购进型辆，型1辆；方案2：购进型8辆，型4辆；方案3：购进型4辆，型7辆； （3）解：方案1的利润：(万元)； 方案2的利润：(万元)； 方案3的利润：(万元)； ∵， ∴方案1获利最大，最大利润是万元； 答：方案1获利最大，最大利润是万元． 跟随训练8-2．贴春联是中国人过年的重要习俗马年春节临近，沃尔玛超市用元购进，两种春联进行销售，春联的进价和售价如表所示，全部销售后可获得利润元． 种春联 种春联 进价（元副） 售价（元副） (1)沃尔玛超市购进、两种春联各多少副？ (2)由于两种春联的销量比较好，沃尔玛超市决定再用元购进这两种春联（元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，种春联为元/副，种春联为元/副，请问沃尔玛超市可以有哪几种购买方案？ 【答案】(1)沃尔玛超市购进种春联副，种春联副 (2)沃尔玛超市可以有种购买方案： ①购买副种春联，副种春联； ②购买副种春联，副种春联； ③购买副种春联，副种春联；④购买副种春联，副种春联 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、二元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程和方程组是解题的关键． （1）设沃尔玛超市购进种春联副，种春联副， 再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进种春联副，种春联副， 则， 整理得：， 然后根据m、n为正整数，确定m、n的可能取值即可解答． 【详解】（1）解：设沃尔玛超市购进种春联副，种春联副， 由题意得：， 解得：． 答：沃尔玛超市购进种春联副，种春联副； （2）解：设购进种春联副，种春联副， 由题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 或或或， 沃尔玛超市可以有种购买方案： 购买副种春联，副种春联； 购买副种春联，副种春联； 购买副种春联，副种春联； 购买副种春联，副种春联． 【题型9 和差倍分问题】 解题关键： 直接翻译题目文字：和x+y=a、差x-y=b、倍x=ny、分x=1/ny，列最简方程组。 【典例9】．某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克． (1)求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克； (2)已知1架型无人机的单次租金为150元，1架型无人机的单次租金为100元．现农场要紧急配送840千克货物，计划租用9架型无人机．请聪明的你写出一种租金更少的租用方案，并求出节省了多少元． 【答案】(1)1架A型无人机一次可配送货物100千克，1架B型无人机一次可配送货物60千克 (2)租金更少的租用方案是租用8架A型无人机和1架B型无人机，节省了50元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意正确列出方程组和算式是解题的关键． （1）设1架型无人机一次可配送千克，1架型无人机一次可配送千克，再根据题意列出关于x、y的二元一次方程组求解即可； （2）先说明选8架型无人机和1架型无人机配送运的租金更少，再求出节省的费用即可． 【详解】（1）解：设1架型无人机一次可配送千克，1架型无人机一次可配送千克， 根据题意，得，解得：， 答：1架型无人机一次可配送100千克，1架型无人机一次可配送60千克． （2）解：选择方案：选8架型无人机和1架型无人机配送． 由（1）得1架型无人机一次可配送100千克，1架型无人机一次可配送60千克， 当按原计划租用9架A型无人机的运力为（千克），符合要求；此时，该方案的费用为（元）； 当租用8架A型无人机和1架B型无人机的运力为（千克），符合要求，此时，该方案的费用为（元）． 当租用7架A型无人机和2架B型无人机的运力为（千克），不符合要求； ∵， ∴选8架型无人机和1架型无人机配送的租金更少； ∴该方案节省的费用为（元）． 跟随训练9-1．某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 【答案】(1)租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 (2)一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位 【分析】（1）设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可； （2）设一辆乙型客车有个座位，根据一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，得 解得； 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． （2）解：设一辆乙型客车有个座位，则一辆甲型客车有个座位，根据题意，得 解得， 答：一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位． 跟随训练9-2．编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹 (2)有两种采购方案，方案一：配件3个，配件1个；方案二：配件1个，配件2个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）设大号编钟的频率为x赫兹，小号编钟的频率为y赫兹，根据题意列出方程组即可求解； （2）设A配件要买m个，B配件要买n个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 根据题意得， 解得， 答：大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹； （2）解：设配件要买个，配件要买个． 根据题意得：， 整理得：，即， 因为和都为正整数， 所以符合条件的解为或， 答：有两种采购方案，方案一：配件3个，配件1个；方案二：配件1个，配件2个． 【题型10 几何问题】 解题关键： 结合三角形、长方形、正方形、折叠图形的性质，利用边长相等、面积相等、内角和、周长公式列方程，兼顾几何特征与代数计算。 【典例10】．如图，点O在上，与互补，平分平分，若与互余，则的度数为_______． 【答案】/135度 【分析】本题主要考查了角平分线、余角与补角、几何图形中的角度计算、二元一次方程组的应用等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 设，，由角平分线的定义可得，则；再根据与互余可得①；然后根据与互补可得②，①②联立求得x的值即可解答． 【详解】解：设，， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵与互余， ∴，即①； ∵与互补， ∴，即②， ①②联立可得：，解得：， ∴． 故答案为：． 跟随训练10-1．如图，把一个黑色大正方形和四个完全相同的白色小正方形分别按图①②两种方式摆放，若，，则图②中未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为______． 【答案】128 【分析】本题主要考查了列代数式，解二元一次方程组，解题的关键是表示出图形的面积． 利用二元一次方程组，求出的值，然后求出大正方形和小正方形的边长，最后求出面积即可． 【详解】解：由，得， ，， 解得， 由得，白色小正方形的边长为， ∴黑色大正方形的边长为， ∴未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为， 故答案为：128． 跟随训练10-2． 项目主题 制作仿古灯笼 素材1 灯笼、又统称为灯彩，是中国的一种传统工艺品，如图①是一款仿古灯笼． 素材2 用如图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，可制成如图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼． 素材3 用现有的纸板裁成如图②的长方形和正方形作为侧面与底面已知一张纸板的裁剪方式有两种（均有余料）、方式一：裁成个长方形与一个正方形：方式二：裁成个长方形与个正方形、现将张硬纸板用方式一裁剪、张硬纸板用方式二裁剪 任务一 设做成的竖式灯笼个，横式灯笼个，根据题意完成表格； 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） ①__________ 正方形宣纸的数量（张） ②___________ 任务二 若使用长方形宣纸张，正方形宣纸张，试求出两种灯笼一共做了多少个？（用含、的代数式表示） 任务三 若两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，两种灯笼都制作，则两种款式的灯笼分别做了多少个？ 【答案】任务一：填写表格见解析；任务二：两种灯笼一共个；任务三：竖式灯笼做了个，横式灯笼做了个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系． 任务一：根据长方体的六个面的特点求解即可； 任务二：根据制作的两种灯笼恰好用了长方形宣纸张，正方形宣纸张，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务三：根据两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：任务一：填写表格如下： 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） 正方形宣纸的数量（张） 故答案为：，； 任务二：根据题意得 ， 解得， 答：两种灯笼一共个； 任务三：根据题意可列方程组 解得， 答：竖式灯笼做了个，横式灯笼做了个． 【题型11 图表信息问题】 解题关键： 从表格、图像、条形图中提取数据，找准横纵坐标/行列对应的数量关系，转化为文字等量关系，再列方程组。 【典例11】．阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 【答案】(1) (2)小海家今年的水费估计是1174元 【分析】（1）依据第二阶梯收费标准，结合小海家两年的用水量与水费数据，构建关于a，b的方程组，求解后得出a和b的值； （2）根据304立方米的用水量对应的阶梯范围，分三部分计算各阶梯的水费，再求和得到总水费． 【详解】（1）解：由小海家2021年，2022年的用水量和水费可得： ， 解得：； （2） （元） 答：小海家今年的水费估计是1174元． 跟随训练11-1．如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 【答案】这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，再结合图形信息列出方程组解题即可． 【详解】解：设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，则 ， 解得：， 答：这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 跟随训练11-2．【问题背景】图中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，图A，B都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．请根据下面的探究过程，完成相应的问题． 【观察发现】 （1）当内部有1个点时，格点多边形边上的点数和面积统计如表． C D E 边上的点数 4 8 8 9 多边形面积 2 4 4 请完成表格，并写出S与x之间的关系式为：___________． （2）当多边形内部有2个点时，在下面的格点图中，自己画两个格点多边形，然后将所画图形边上的点数和面积填写在下面的表格中． 图1 图2 边上的点数： 多边形面积 写出与之间的关系式为：___________． 【规律总结】（3）如果设格点多边形内部的点数为，边上的点数为，格点多边形的面积为．试用含的代数式表示，并用所得规律求出【问题背景】中图形的面积． 【拓展应用】（4）一个格点多边形的面积为20，且边上的点数是内部点数的3倍还多2，求出与的值．在图中，设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形． 【答案】（1）表格见解析，；（2）图见解析，表格见解析，；（3），图形的面积为12.5；（4），图见解析 【分析】本题主要考查图形类规律探索、解二元一次方程组、画轴对称图形，解题的关键是观察图形，由特殊情况总结规律，并能灵活应用规律解决问题． （1）先求出图形的面积，再观察表格的数据归纳总结规律即可得出结论； （2）先按要求画出图形，再观察表格的数据归纳总结规律即可得出结论； （3）由（1）（2）得出规律，再用规律求出图形的面积即可； （4）根据题意列出方程求出与的值，再设计符合条件且具有轴对称特点的格点多边形即可． 【详解】解：（1）图形的面积， 补全表格如下： C D E 边上的点数 4 8 8 9 多边形面积 2 4 4 4.5 观察表格，当时，， 当时，， 当时，， ∴格点多边形的面积＝边上的点数的一半，即； 故答案为：； （2）如图 （答案不唯一） 图1边上的点数为6，面积， 图2边上的点数为7，面积， 补全表格如下： 图1 图2 边上的点数： 6 7 多边形面积 4 4.5 ∴格点多边形的面积＝边上的点数的一半加上1，即； 故答案为：； （3）设格点多边形内部的点数为，边上的点数为， ∴格点多边形的面积为， 图形中内部的点数为7，边上的点数为13， 代入，得， ∴图形的面积为12.5； （4）由题意得， 解得， 设计格点多边形如图所示： （答案不唯一） 【题型12 古代问题】 解题关键： 读懂文言文，转化为现代数学语言，找准数量关系，本质仍是和差倍分、分配、行程等基础题型，按对应方法求解。 【典例12】．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．”意思是：9枚黄金与枚白银重量恰好相等；若在黄金袋与白银袋中交换1枚，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻两．设1枚黄金重x两，1枚白银重y两，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到等量关系．根据题意找到等量关系：两袋的重量恰好相等，交换一枚后，原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻两，列方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 即 故选：D． 跟随训练12-1．《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，则可列方程组________．（结果可以不化简） 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据总人数和总馒头数确定两个等量关系，结合设出的未知数即可列出方程组. 【详解】解：已知大和尚人，小和尚人，总共有个和尚，因此可得第一个方程：. 大和尚每人吃个馒头，个大和尚共吃个馒头；个小和尚吃个馒头，个小和尚共吃个馒头，总共有个馒头，因此可得第二个方程：. 联立两个方程可得方程组. 跟随训练12-2．《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋（yǎ），共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？……”其大意是：今有绢与布匹，卖得贯钱，匹绢价贯，匹布价贯，问绢与布各有多少．设绢有匹，布有匹，依据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组与实际问题，关键是审明题意，找到恰当的等量关系列方程；根据题目中绢布总匹数和总售价的两个等量关系，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 05 过关•检测 1．《九章算术》中有一个问题大意是：有几个人共同出钱去买一件物品，若每人出8钱，则剩余3钱；若每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y钱，则所列方程组应为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据两种出钱方式下物品价格不变的等量关系，分别列方程组成方程组即可． 【详解】解：∵设有人，物品价格为钱，每人出8钱剩余3钱， ∴ ∵每人出7钱差4钱， ∴ ∴所列方程组为， 故选：A． 2．阅读下面的对话，并回答问题： 设A版选取自然景观类x个，人文景观类y个，请根据题意列出二元一次方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据A版共10个打卡点：自然景观类 x个+人文景观类y个= 10 个，可得方程：，B 版自然景观数量：，B 版人文景观数量：，两者之和为 14，可得方程：，联立即可得出答案 【详解】解：A版共10个打卡点：自然景观类 x个+人文景观类y个= 10 个，可得方程：， B版的自然景观数量是A版的2倍，人文景观数量比A 版少 2 个，且B 版共14 个打卡点：B 版自然景观数量：，B 版人文景观数量：，两者之和为 14，可得方程：， 列出的二元一次方程组为： 故选：B 3．习近平总书记说“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书籍．已知每本甲种书比每本乙种书少5元，购买3本甲种书和4本乙种书共花费230元．设每本甲种书x元，每本乙种书y元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用． 根据题干中的两个等量关系列方程组，一是甲、乙两种书的单价差，二是购买两种书的总花费． 【详解】解：∵每本甲种书比每本乙种书少5元，设每本甲种书元，每本乙种书元 ∴， 又∵购买3本甲种书和4本乙种书共花费230元 ∴ 因此可列方程组为． 故选：A． 4．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形卡片的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出关于、的二元一次方程组，解之可得出、的值，再由长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 根据题意得：，解得：， 阴影部分的总面积为：． 故选：C． 5．某中学2025年“逐梦新程”元旦汇演，参演的合唱队和舞蹈队人数共60人，其中合唱队人数的2倍比舞蹈队人数多18人，设合唱队有人，舞蹈队有人，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据题目中的两个等量关系列二元一次方程组，关键是准确提取“总人数60人”和“合唱队人数的2倍比舞蹈队人数多18人”这两个条件对应的等式． 【详解】解：∵合唱队和舞蹈队人数共60人， ∴， ∵合唱队人数的2倍比舞蹈队人数多18人， ∴， ∴可列方程组为， 故选：B． 6．小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店的折扣是（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设A的标价为x元，B的标价为y元，根据第一次和第二次购买的总价建立方程组求出A、B的标价；然后设商店是打a折出售，由打折销售的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：设A的标价为x元，B的标价为y元， 由题意，得, 解得：， 所以，A的标价为90元，B的标价为120元． 设商店是打a折出售这两种商品，由题意得，， 解得：． 答：商店是打6折出售这两种商品的． 故选：B． 7．某班有49名学生，一天，该班一男生因事请假，当天的男生人数恰好为女生人数的一半．设该班有男生人，女生人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据“班级总人数为49人；男生请假1人后人数为女生人数的一半”列方程组即可． 【详解】解：∵该班共有49名学生，男生人，女生人， ∴， ∵一男生请假后，男生人数为女生人数的一半， ∴，变形得， ∴可列方程组为， 故选：D． 8．在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，行程问题(二元一次方程组的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据路程、速度、时间的关系，结合上学和放学时上下坡路段的转换，列二元一次方程组求解，注意单位统一（将分钟转化为小时）． 【详解】解：42分钟小时，48分钟小时， ∵上学时，上坡路程，速度，下坡路程，速度，总时间小时， ∴根据“时间=路程÷速度”，得方程：， ∵放学原路返回时，原来的上坡变为下坡，下坡变为上坡，总时间小时， ∴此时上坡路程为，下坡路程为，得方程：， ∴列得方程组为， 故选：C． 9．某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为_________万元． 【答案】34 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组来解决现实生活中的应用问题；解题的关键是把握题意，正确列出方程，准确求解计算． 设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元，根据总营业额万元和一月份变化后总营业额万元，列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元， 由题意，得方程组 解得 故甲柜台去年十二月份的营业额为万元． 故答案为：． 10．学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为，在坡路上行驶的速度为．汽车从学校到自然保护区一共行驶了，则汽车在坡路上行驶了______ h． 【答案】5.2 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设汽车在平路上行驶了，在坡路上行驶了，再利用汽车从学校到自然保护区一共行驶了，前路段为平路，建立方程组求解即可． 【详解】解：设汽车在平路上行驶了，在坡路上行驶了， 由题意，得， 解得 故汽车在坡路上行驶了． 故答案为：5.2． 11．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组______． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设人数为人，货物总价为钱．每人出7钱时，总出资金额为，多出2钱，因此货物总价比少2钱，即．每人出6钱时，总出资金额为，差3钱，因此货物总价比多3钱，即．据此即可得到方程组． 【详解】解：设人数为人，货物总价为钱， 由题意可列方程组． 故答案为： 12．小甘到文具超市去买文具．根据图中的对话信息，可求出中性笔和笔记本的单价分别是__________元和__________元． 【答案】 2 6 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设中性笔的单价是元，笔记本的单价是元，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设中性笔的单价是元，笔记本的单价是元， 根据题意得： 解得： 中性笔的单价是元，笔记本的单价是元． 故答案为：，． 13．如图是一个周长为16的长方形ABCD，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①，②，③，④，⑤），其中．若⑤为正方形，则②的周长为_____；若①的周长为9.4，则⑤的长与宽之差为______． 【答案】 8 1.4 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，利用整体代入求值． 设，，，，通过长方形的周长为16，则，求出⑤的长和宽为和，再通过⑤为正方形，即可求解②的周长为；长方形①的周长为9.4，则，得，由⑤的长和宽为和，即可求⑤的长与宽之差． 【详解】解：设，，，， ∵长方形的周长为16， ∴， 则⑤的长和宽为：和， 若⑤为正方形， 则， ∴， ∴， ∴②的周长为， 故答案为：8； ∵①的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵⑤的长和宽分别为和， ∴⑤的长与宽之差为， 故答案为：1.4． 14．若一个四位正整数，其十位数字与千位数字的3倍的和为15，百位数字比个位数字小1，则称这样的四位数为“彩虹数”．若“彩虹数”（其中：，，，，且，，，均为整数），把彩虹数前两位数字和后两位数字整体交换得到新四位数字，规定：，则最大时，的值为______． 【答案】 99 【分析】本题主要考查了新定义，二元一次方程的整数解的求解，理解新定义是解本题的关键． 根据彩虹数的定义，十位数字与千位数字的3倍和为15，百位数字比个位数字小1，结合M的表达式和变量范围，求解方程得到使M最大的a、b、c、d值，再计算的值． 【详解】解：∵十位数字c与千位数字的3倍和为15， ∴， ∴； ∵百位数字比个位数字小1， ∴， ∴． 变量范围：． ∵，且， ∴． ∴可能解为． ∵，且， ∴． 为使M最大，取（千位数字最大），（百位数字最大），对应． 此时． 交换前两位数字和后两位数字得，． 故答案为：99． 15．年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？ 【答案】每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题，题目中的两个等量关系是：购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，可设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元． 根据题意，得 解得 所以，每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元． 16．我市某乡镇狠抓科技兴农，在乡农业科技人员的技术指导下，该乡镇的农民种植的“蜜糖心”品牌萝卜品质好、口感好，耐运输、耐储存，因而受到很多外地客商的青睐．现某物流公司欲将该乡镇一批萝卜运往外地销售，若租用辆A型车和辆B型车载满萝卜，一次可运走吨；若租用辆A型车和辆B型车载满萝卜，一次可运走吨，现有萝卜吨，计划同时租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满萝卜，根据以上信息，解答问题： (1)1辆A型车和辆B型车都载满萝卜一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？ 【答案】(1)辆A型车载满萝卜一次可运送吨，辆B型车载满萝卜一次可运送吨 (2)方案有种，详见解析 【分析】（1）根据题意建立等量关系构造二元一次方程组即可求解； （2）根据型车加型车构造方程求整数解即可． 【详解】（1）解：设辆型车载满萝卜一次可运送吨，辆型车载满萝卜一次可运送吨， 根据题意得：， 解得：， 答：辆型车载满萝卜一次可运送吨，辆型车载满萝卜一次可运送吨； （2）解：根据题意得：， ，都是正整数， 或或， 该物流公司的租车方案有种： 租用辆型车，辆型车 租用辆型车，辆型车； 租用辆型车，辆型车． 17．2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ (2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件，1辆大货车一次满载运输400件 (2)够用，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，弄清量与量之间的关系是解答本题的关键． （1）设1辆小货车一次满载运输件文创产品，1辆大货车一次满载运输件文创产品，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用小货车辆，大货车辆，列出方程，然后根据、均为整数进行列举，再计算费用进行比较即可． 【详解】（1）解：设1辆小货车一次满载运输件文创产品，1辆大货车一次满载运输件文创产品， 依题意得：， 解得：， 答：1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品． （2）解：该组委会计划支出4000元用于租车，够用，理由如下： 设租用小货车辆，大货车辆， 依题意得： 又，均为正整数， 当，；当，； 或 共有2种租车方案， 方案1：租用5辆小货车，3辆大货车，租车费为； 方案2：租用1辆小货车，6辆大货车，租车费为； ；； 该组委会计划支出4000元用于租车，够用． 18．魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．某文具店购进魔方、数独棋共个，总共花费元，魔方、数独棋的进价和标价如表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 标价（元/个） (1)该文具店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该文具店共获利多少元？ 【答案】(1)购进魔方个，数独棋个 (2)元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设商店购买魔方个，数独棋个，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列式计算即可解答． 【详解】（1）解：设商店购买魔方个，数独棋个， 由题可知：， 解得：， 答：商店购进魔方个，数独棋个； （2）由题可知，如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，这两种益智玩具全部售完后， 则， 答：这两种益智玩具全部售完后，该文具店共获利元． 19．某中学拟组织七、八年级师生去参观岳阳博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到岳阳博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题 任务1 根据素材1、2，解决下列问题：（1）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 任务2 根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题：（2）若只租用同一种客车，使七年级每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】（1）60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元；（2）应该租用7辆60座客车才合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用与一元一次方程的应用，解题的关键是根据租金关系和人数相等关系列出方程（组），再通过计算不同方案的总费用进行比较决策． （1）设出两种客车的租金，根据租金差和总租金列出二元一次方程组，求解得出单价； （2）设七年级租用45座客车数量，根据人数不变列出一元一次方程求出总人数，再分别计算租用两种客车的总费用，比较后确定合算方案． 【详解】（1）解：设60座和45座的客车每辆每天的租金分别是元、元， 由题意得：，解得： 答：60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元． （2）解：由题意得： 解得： 所以七年级共人， 若全部租用45座客车，需要9辆车，则总费用为：元． 若全部租用60座客车，需要：辆车，则总费用为：元. ， 所以，应该租用7辆60座客车才合算． 20．综合与实践 【问题背景】 巢湖素有“皖中明珠”之美誉，旅游度假资源丰富．某校八年级（1）班同学为了完成老师布置的综合与实践作业——制作《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》，分成了若干个学习小组，先通过携程、飞猪、美团、去哪儿等在线旅游平台提供的相关信息对巢湖市优质度假区、高档宾馆、精品民宿等三种不同类型的住宿资源进行了“金牌旅游住宿”的名称界定；然后，从中各选取两家通过电话咨询了解住宿的位置优势以及不同房间的基本住宿价格；最后，结合平台用户评分和商家电话介绍，在这三种住宿资源类型中均选择了假期预订量最高的家庭房进行了实地调查，希望给《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》的制作提供可靠的数据来源． 【材料收集与整理】 各学习小组在同一天奔赴不同金牌旅游住宿地进行调查，获取到度假区和高档宾馆类型的金牌旅游住宿均会结合市场需求根据房型实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间比淡季上涨；精品民宿的定价也有淡季、旺季之分，但上涨比例相对灵活；通过各旅游平台下单、电话预定、现场订房的优惠差距可忽略不计．此外，不同类型的金牌旅游住宿费用差距较大，环境风格差异明显，消费群体有区别．具体材料如下： 材料一：度假区离巢湖市中心约15公里，离高铁站、高速公路收费站均在6公里以内．度假区的一房别墅住宿，可享受一站式家庭旅游体验，同时赠送温泉疗养项目，采用标准化管理．第一学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 度假区 淡季 旺季 未入住一房别墅间数 10 0 该房型日总收入（元） 9600 24000 材料二：高档宾馆在巢湖市中心3公里以内，出行观光便利，亲子设施、运动设施、餐饮服务、交通服务等均符合标准化管理，品质有保障．第二学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 高档宾馆 淡季 旺季 未入住家庭房间数 5 0 该房型日总收入（元） 5600 10500 材料三：精品民宿距巢湖市中心约20公里，没有明确标注“家庭房”房型，但有适合亲子家庭的替代方案一：适合4个亲子家庭自行组团整体合租的集住宿、休闲、运动、书吧于一体的门庭小院，小院为稀缺型旅游住宿资源只有一座；方案二：在有儿童游乐和手工体验区的民宿公共区选择客栈标准间大床房组合（两者价格一样，各有20间可供选择）．第三学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 精品民宿 淡季 旺季 一座门庭小院价格 2000 2600 客栈标准间单价 300 360 【数据分析与运用】 任务1：（1）该度假区的一房别墅有多少间？一房别墅旺季每间价格为多少元？该高档宾馆旺季家庭房每间价格为多少元？ 任务2：（2）请通过计算说明该精品民宿旺季比淡季每间（座）上涨是否符合的标准？ 任务3：（3）如果有位游客在网络上看到了该校八（1）班同学分享的《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》视频，想在春节期间来巢湖亲子游，你会给他推荐哪种类型的金牌旅游住宿资源呢？请你说明理由． 【答案】（1）度假区一房别墅有20间，一房别墅旺季每间价格为1200元，高档宾馆旺季家庭房每间价格为700元 （2）精品民宿旺季门庭小院价格上涨30%，客栈标准间价格上涨20%，均不符合25%的标准 （3）推荐高档宾馆，理由是其位于巢湖市中心3公里以内，出行观光便利，亲子设施、运动设施等齐全且品质有保障，旺季每间价格700元较为适中（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）设该度假区的一房别墅有y间，淡季的房价为x元，根据题意，得 ，解方程组即可得解；设该高档宾馆淡季家庭房每间价格为m元，共有n间，根据题意，得，解方程组即可得解； （2）设一座门庭小院价格上涨，客栈标准间单价上涨，根据题意，得 ，，比较解答即可； （3）只要合理即可答案不唯一． 【详解】（1）解：设该度假区的一房别墅有y间，淡季的房价为x元，根据题意，得 ， 解得， 故， 故度假区一房别墅有20间，一房别墅旺季每间价格为1200元； 设该高档宾馆淡季家庭房每间价格为m元，共有n间，根据题意，得， 解得， 故， 故高档宾馆旺季家庭房每间价格为700元； （2）解：设一座门庭小院价格上涨，客栈标准间单价上涨，根据题意，得 ，， 解得，， 故精品民宿旺季门庭小院价格上涨30%，客栈标准间价格上涨20%，均不符合25%的标准； （3）解：推荐高档宾馆，理由是其位于巢湖市中心3公里以内，出行观光便利，亲子设施、运动设施等齐全且品质有保障，旺季每间价格700元较为适中（答案不唯一，合理即可） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $