精品解析：江西赣州市于都县2025- 2026学年度第二学期 八年级数学期中测试卷

2025～2026学年度第二学期 八年级数学期中测试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0．根据二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，逐一判断各选项的运算是否正确． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能直接合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 3. 以下列长度的三条线段组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题思路为对每个选项，找出最长边，计算两条较短边的平方和，验证其是否等于最长边的平方，若相等则为直角三角形，否则不是，即可得到答案． 【详解】解：选项A 最长边为，， 该三角形是直角三角形； 选项B 最长边为， ，，， 该三角形不是直角三角形； 选项C 最长边为， ， 该三角形是直角三角形； 选项D 最长边为， ， 该三角形是直角三角形． 4. 若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，即，其中为边数，利用多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：∵一个六边形的每个内角都是， ∴每个内角的度数为：， 故选：C． 5. 如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵点O是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意； ．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．若，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，在长为、宽为、高为的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点B处．则蚂蚁爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路径问题，几何体展开图，勾股定理，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 根据长方体展开图，分三种情况进行讨论，利用勾股定理求出每种情况的路程，最后进行比较即可． 【详解】解：①如图所示， 根据勾股定理得； ②如图所示， 根据勾股定理得； ③如图所示， 根据勾股定理得； ∵ ∴最短路程为， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简 的结果为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为： ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，则、两点间的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由、坐标求得，，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：点、的坐标分别为和， ，， ． 9. 如图，在中，对角线、交于点，，点、分别为、的中点，连接、，若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平行线的性质和三角形中位线定理可求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即点O为的中点， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，即，且点为的中点， ∴． 10. 如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，确定正方形A、B、C、D面积的数量关系是解题的关键． 根据勾股定理推出中间空白正方形的面积，进而即可求出正方形的面积． 【详解】解：两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12， 结合勾股定理可知，中间空白正方形的面积为：， 则正方形的面积为； 故答案为：． 11. 对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，例： ，按照这种运算方法，则______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据新运算的定义，将，代入公式计算． 【详解】解：由定义，， 所以． 故答案为：． 12. 在正方形中，点在对角线上，点在正方形的边上，若，，则在中，的度数为____． 【答案】或或 【解析】 【分析】首先根据题意作出正方形以及，再以为圆心，为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的点，再分类讨论进行求解即可． 【详解】解：如图所示，在正方形中，点在对角线上，， 点在正方形的边上，且， 可以以为圆心，为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的点， 当点在上时，如图，， 四边形为正方形，为对角线， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 当点在上时，如图，，， 四边形为正方形，为对角线， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ，， ， ， 综上所述：的度数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质，根据题意画出图形是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算及求x （1）计算：； （2）求出图形中的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可； （2）利用四边形的内角和为360度求出的度数，再由平角的定义求出的度数即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：如图所示， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 已知：，求下列各式的值． （1）； （2）； 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘方和加减运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先求出，然后利用完全平方公式代数求解即可； （2）首先得到，结合（1）的，然后利用平方差公式代数求解即可． 【小问1详解】 ∵ ∴ ∴ ； 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴ ． 15. 如图，在梯形中，，，．，，点是边上一点，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）求之间的距离． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即之间的距离为． 16. 《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．求水池的深度及芦苇的长度； 【答案】水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺． 【解析】 【分析】设尺，则尺，利用勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设尺，则尺， 由题意得，尺，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺． 17. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 【答案】（1） 即为所求； （2） 即为所求． 【解析】 【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线； （）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正西方120m处，点在点的正北方60米处（即，，）． （1）求证：； （2）请通过计算比较这两条路线中，哪一条更长？ 【答案】（1） 证明：在中，米，米，米， ， ， ， （2）路线更短 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理，实数大小比较解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， （米），（米）， ， 路线更短． 19. 如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． （1）求剩余木料（阴影部分）的面积； （2）如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条（参考数据：）． 【答案】（1）； （2）8 【解析】 【分析】（1）设面积分别为和的两个小正方形木料的边长分别为x，y，根据题意，得，，则阴影部分的面积为，且，求解即可． （2）由，故一个长方形木料最多可以裁出4块这样的木条，求解即可． 【小问1详解】 解：设面积分别为和的两个小正方形木料的边长分别为x，y， 根据题意，得，， ，，，负的都舍去， 故阴影部分的面积为． 【小问2详解】 解：根据题意，得，， 由， 故一个长方形木料最多可以裁出4块这样的木条， 故一共最多可以裁出8块这样的木条． 20. 如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，连接． （1）求证：； （2）若．试判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1） 证明：连接，交于点，     ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴； （2） 解：四边形是菱形，证明如下： 连接，交于点， 由（1）得：， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，证明，即可得证； （2）由（1）得：四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 观察下列各式： ，即： ，即： ，即． （1）根据你发现的规律填空： __________________________，即_____________； （2）猜想（，n为自然数）等于什么，并验证你的猜想． 【答案】（1） （2）， 理由如下： ． 故当为不小于2的自然数时：． 【解析】 【分析】本题考查的是与二次根式相关的运算规律的探究； （1）用二次根式的相关运算法则计算即可得到本题两空的答案； （2）观察、分析前面四个式子的计算结果可知：当为不小于2的自然数时，总有：，由二次根式的运算法则把左边的式子化简变形可得右边的式子． 【小问1详解】 解：； 即； 【小问2详解】 解：观察、分析前面四个式子可知： 当为不小于2的自然数时： 22. 完成下列题目 （1）【问题背景】 图1是著名的赵爽弦图（其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即______（用含，的式子表示），从而得到等式：______，化简便推导出重要的勾股定理：．像这样用两种不同方式来表示同一个图形的面积，从而得到等式或方程的方法，我们不妨称之为“等面积法”； （2）【问题探究】 将两个全等的直角三角形（较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为）按如图2方式放置，在同一直线上，显然，连接．请你借助此图同样用“等面积法”证明勾股定理； （3）【问题拓展】 如图3，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点得，请用“等面积法”求该三角形边上的高． 【答案】（1）； （2） 证明：， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意填空，即可求解． （2）根据可证； （3）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高，即可求解． 【小问1详解】 解：图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即（用含，的式子表示），从而得到等式：，化简便推导出重要的勾股定理：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设边上的高为h， ∵，， , ， 即边上的高是． 六、解答题（本大题共12分） 23. 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题： （1）如图1，点分别为任意四边形的边的中点．该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下： 请指出上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？ 依据1：______；依据2：______； （2）该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是______（填序号）． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 （3）如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形为“中方四边形”，则其对角线与应满足特殊的数量关系和位置关系．请写出与应满足的条件，并证明你的结论． （4）如图3，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】（1）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （2）④ （3）解：，证明如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （4）证明：如图所示，连接，设分别交于点H，点O， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， ∴由（3）可得四边形是“中方四边形”． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理可得答案； （2）只需要四边形是否是正方形即可得到结论； （3）根据定义可得四边形是正方形，则，据此可得； （4）连接，设分别交于点H，点O，可证明，得到，，再证明，得到，由（3）可得四边形是“中方四边形”． 【小问1详解】 解：由题意得，依据1是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半； 依据2是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 同理可得， 当四边形是平行四边形时，与不一定垂直， 故此时与不一定垂直， ∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”； 当四边形是矩形时，与不一定垂直， 故此时与不一定垂直， ∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”； 当四边形是菱形时，与不一定相等， 故此时与不一定相等， ∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”； 当四边形是正方形时，， 故此时， ∴四边形是正方形，即此时四边形是“中方四边形”； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期 八年级数学期中测试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列长度的三条线段组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 5. 如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长为、宽为、高为的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点B处．则蚂蚁爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简 的结果为_______． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，则、两点间的距离是______． 9. 如图，在中，对角线、交于点，，点、分别为、的中点，连接、，若，则______． 10. 如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形的面积为_____________． 11. 对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，例： ，按照这种运算方法，则______ ． 12. 在正方形中，点在对角线上，点在正方形的边上，若，，则在中，的度数为____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算及求x （1）计算：； （2）求出图形中的值． 14. 已知：，求下列各式的值． （1）； （2）； 15. 如图，在梯形中，，，．，，点是边上一点，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）求之间的距离． 16. 《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．求水池的深度及芦苇的长度； 17. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正西方120m处，点在点的正北方60米处（即，，）． （1）求证：； （2）请通过计算比较这两条路线中，哪一条更长？ 19. 如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． （1）求剩余木料（阴影部分）的面积； （2）如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条（参考数据：）． 20. 如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，连接． （1）求证：； （2）若．试判断四边形的形状，并证明． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 观察下列各式： ，即： ，即： ，即． （1）根据你发现的规律填空： __________________________，即_____________； （2）猜想（，n为自然数）等于什么，并验证你的猜想． 22. 完成下列题目 （1）【问题背景】 图1是著名的赵爽弦图（其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即______（用含，的式子表示），从而得到等式：______，化简便推导出重要的勾股定理：．像这样用两种不同方式来表示同一个图形的面积，从而得到等式或方程的方法，我们不妨称之为“等面积法”； （2）【问题探究】 将两个全等的直角三角形（较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为）按如图2方式放置，在同一直线上，显然，连接．请你借助此图同样用“等面积法”证明勾股定理； （3）【问题拓展】 如图3，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点得，请用“等面积法”求该三角形边上的高． 六、解答题（本大题共12分） 23. 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题： （1）如图1，点分别为任意四边形的边的中点．该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下： 请指出上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？ 依据1：______；依据2：______； （2）该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是______（填序号）． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 （3）如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形为“中方四边形”，则其对角线与应满足特殊的数量关系和位置关系．请写出与应满足的条件，并证明你的结论． （4）如图3，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，求证：四边形是“中方四边形”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $