精品解析：江西省赣州市于都县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年第二学期期中质量检测卷 八年级数学 （本卷共23题，卷面分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 要使二次根式有意义，则a的取值可以是（　　） A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. ﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根号下为非负数是解本题的关键． 2. 在中，，则（ ） A. 45° B. 55° C. 135° D. 140° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等． 根据平行四边形的对角相等即可解答； 【详解】解：根据平行四边形的性质可得：与相对， ， 故选：C 3. 能够成为直角三角形三条边长的正整数，我们称为“勾股数”，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 7，8，9 D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，解题的关键是掌握掌握勾股数的判断方法． 先找出最大的数，若较小的两个数的平方和等于最大的数的平方，则这组数为“勾股数”，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，不是“勾股数”， ∴选项不符合题意； ∵， ∴，，不是“勾股数”， ∴选项不符合题意； ∵， ∴，，不是“勾股数”， ∴选项不符合题意； ∵， ∴，，是“勾股数”， ∴选项符合题意； 故选：D． 4. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这个四边形是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故测量方案正确的是：A． 5. 如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵图中两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为， ∴阴影部分的面积． 6. 如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】连接BN，BD，BM，BM交AC于点E，根据正方形的对角线互相垂直平分可得ND=NB，由三角形三边关系可得NB+NM≥BM，再由勾股定理求得BM即可； 【详解】解：如图，连接BN，BD，BM，BM交AC于点E， ABCD是正方形，则AC、BD互相垂直平分， ∴ND=NB， 当点N与点E不重合时，△NBM中NB+NM＞BM， 当点N与点E重合时，NB+NM=BM， ∴NB+NM≥BM，即DN+MN的最小值为BM， ABCD是正方形，则BC=CD=8，∠BCD=90°， ∴CM=CD-DM=8-2=6， ∴BM=， ∴DN+MN的最小值为10， 故选： C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理；正确作出辅助线是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：＝_______． 【答案】3 【解析】 【详解】分析：． 8. 如图，在中，，点D是的中点，，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半即可得到答案． 【详解】解：∵在中，∠，，， ∴由勾股定理得， ∵点D是的中点， ∴， 故答案为：5． 9. 定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是___________． 【答案】两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是能写出一个命题的逆命题． 内错角相等，两直线平行有逆定理，逆定理为两直线平行，内错角相等． 【详解】解：内错角相等，两直线平行有逆定理，逆定理为两直线平行，内错角相等． 故答案为：两直线平行，内错角相等． 10. 已知为最简二次根式，且能够与合并，则a的值是______________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据最简二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由最简二次根式与可以合并，得 ． 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了同类二次根式，解题的关键是利用同类二次根式得出关于的方程． 11. 弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：如图， ∵大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ∴， ∴， ∴直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理以及完全平方式，运用了恒等的变形的解题方法．正确根据图形的关系求得和的值是关键． 12. 如图，平行四边形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当_______________时，四边形为平行四边形． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定可得当时，以点、、、为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 此题考查了平行四边形的判定．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 【详解】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形， 以点、、、为顶点组成平行四边形， ， 分为以下情况： ①点的运动路线是，方程为， 此时方程，此时不符合题意； ②点的运动路线是，方程为， 解得：； ③点的运动路线是，方程为， 解得：； ④点的运动路线是，方程为， 解得：； 综上所述，或或时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：或或 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 14. 如图，在中，，点A关于的对称点为D，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：如图，连接交于点O． ∵点A关于的对称点为D， ∴垂直平分， ∴． 又∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，轴对称的性质，先根据A关于的对称点为D，得出，结合，得出，因为对角线互相平分且相等的四边形即为菱形，即可作答． 【详解】略 15. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点．已知A，B两点是格点．仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图，（保留画图痕迹，不写画法） （1）如图1，以线段为边长作菱形（正方形除外）； （2）如图2，以线段为边作一个正方形． 【答案】（1） 如图所示，菱形即为所求； 或 （2） 如图所示，正方形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查网格作图，勾股定理，菱形的判定以及正方形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）作一个边长为的菱形即可； （2）作一个边长为的正方形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面米，米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为多少米？ 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．分别在，中求出，，即可． 【详解】解：在中，，米，米， 米， 在中，，米，米， 米， 米， 答：小巷的宽度为米． 17. 在计算时，小军的解题步骤如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 （1）上述解题过程中，小军是从第________步开始出错的． （2）请你给出正确的解答过程． 【答案】（1）第二步 （2） 解：原式 ． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 对于（1），根据去括号法则，去掉“”和括号后，括号内的每一项都变号判断即可； 对于（2），先化简，再去括号，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：第二步去括号后，括号内的每一项都要变号，所以第二步开始出错； 故答案为：第二步； 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，矩形． 求作：正方形，使点E、F分别在、上． 小明的作法： （1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点F； （2）以B为圆心，长为半径画弧，交于点E； （3）连接． 【解答问题】 请你根据材料中的信息，证明四边形是正方形． 【答案】 证明：∵四边形为矩形， ∴，， 根据作图可知：，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，先证明为平行四边形，再证明为菱形，最后证明为正方形． 【详解】略 19. 如图，在中，，，，且，． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理： （1）先由勾股定理得到，再证明，即可利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，且； （2）根据计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得 ． 20. 如图，在菱形中，，相交于点，过点作，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得，，进而得到，，得到四边形是平行四边形，即可求证； （2）过点作于点，证明为等边三角形，得到，进而得，得到，即得，得到即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点，则，线段即为点到线段的距离， 由（）知，四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质、矩形的判定和性质是解题的关键． 五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共计18分） 21. 阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简、三角形的三边关系、数轴等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先根据二次根式的被开方数的非负性可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （2）先根据数轴的性质可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （3）先根据三角形的三边关系可得，，，，从而可得，，，，再利用二次根式的性质进行化简即可得． 【详解】解：（1）隐含条件， 解得， ∴， ∴ ； （2）由数轴可知，， ∴， ∴ ； （3）∵为的三边长， ∴，，，， ∴，，，， ∴ ． 22. 【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，在中，点分别是边的中点．求证：，且． 方法一： 证明：如图2，延长到点，使，连接． 方法二： 证明：如图3，取中点，连接并延长到点，使，连接． 【回顾证法】 （1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 （2）如图4，B、C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了间的距离：先在池塘外选一点，连接，然后测出的中点、，并测出的长度为12米，则两点间的距离______米． 【深入探究】 （3）如图5，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 【答案】（1）证明：方法一：延长到点，使，连接． 点分别是边的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 即，且； 方法二：取中点，连接并延长到点，使，连接． 点分别是边的中点， ，， 又， ， ，，， ， 点是中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 点分别是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， 即，且； （2）24； （3）与互相平分， 证明如下： 如图，连接、， 是的中位线， ，，，， 是边上的中线， ， ， 四边形、是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 与互相平分； 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理的证明和应用，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作辅助线是解题关键． （1）方法一：先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是平行四边形，即可证明结论； 方法二：证明，进而可证四边形、是平行四边形，即可证明结论； （2）根据三角形中位线定理即可求解； （3）连接、，根据三角形中位线定理，证明四边形、是平行四边形，进而证明四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】（1） 略 （2）、是的中点，米， 米， 即两点间的距离24米， 故答案为：24； （3） 略 六．解答题（本大题共计12分） 23. 我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”． 如图1，四边形中，，，则四边形叫做“等补四边形”． 【概念理解】 （1）①在等补四边形中，若，则______； ②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是______． A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 【性质探究】 （2）如图1，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 【知识运用】 （3）如图2，在四边形中，平分，，． 求证：四边形是等补四边形． 【拓展应用】 （4）将斜边相等的两块三角板按如图3放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，、位于的两侧，其中，若，连接，则的长为______． 【答案】（1）①130；②D； （2）平分，理由：如图，作于点E，交的延长线于点F， ∵四边形是等补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． （3）证明：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等补四边形． （4） 【解析】 【分析】（1）①由四边形等补四边形及等补四边形的定义得，因为，所以； ②在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）作于点E，交的延长线于点F，由四边形是等补四边形得，而，所以，可证明，得，再根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，所以平分； （3）在上截取，连接，证明，得，，而，所以，所以，则，即可证明四边形是等补四边形； （4）于点H，则，先证明四边形是等补四边形，由（2）得，则，，再证明，由得，根据勾股定理求出的长，即可求得的长． 【详解】解：（1）①∵四边形等补四边形，， ∴， ∴， 故答案为：130． ②在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故选：D． （2）略 （3）略 （4）作于点，则， ∵，， ∴， ∴四边形是等补四边形， 由（2）得，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、同角或等角的补角相等、新定义问题的求解等知识与方法，正确地作添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中质量检测卷 八年级数学 （本卷共23题，卷面分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 要使二次根式有意义，则a的取值可以是（　　） A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. ﹣2 2. 在中，，则（ ） A. 45° B. 55° C. 135° D. 140° 3. 能够成为直角三角形三条边长的正整数，我们称为“勾股数”，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 7，8，9 D. 9，40，41 4. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 5. 如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：＝_______． 8. 如图，在中，，点D是的中点，，，则______． 9. 定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是___________． 10. 已知为最简二次根式，且能够与合并，则a的值是______________． 11. 弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，那么的值是______． 12. 如图，平行四边形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当_______________时，四边形为平行四边形． 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分） 13. 计算： （1） （2） 14. 如图，在中，，点A关于的对称点为D，连接．求证：四边形是菱形． 15. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点．已知A，B两点是格点．仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图，（保留画图痕迹，不写画法） （1）如图1，以线段为边长作菱形（正方形除外）； （2）如图2，以线段为边作一个正方形． 16. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面米，米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为多少米？ 17. 在计算时，小军的解题步骤如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 （1）上述解题过程中，小军是从第________步开始出错的． （2）请你给出正确的解答过程． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，矩形． 求作：正方形，使点E、F分别在、上． 小明的作法： （1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点F； （2）以B为圆心，长为半径画弧，交于点E； （3）连接． 【解答问题】 请你根据材料中的信息，证明四边形是正方形． 19. 如图，在中，，，，且，． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求四边形的面积． 20. 如图，在菱形中，，相交于点，过点作，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共计18分） 21. 阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 22. 【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，在中，点分别是边的中点．求证：，且． 方法一： 证明：如图2，延长到点，使，连接． 方法二： 证明：如图3，取中点，连接并延长到点，使，连接． 【回顾证法】 （1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 （2）如图4，B、C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了间的距离：先在池塘外选一点，连接，然后测出的中点、，并测出的长度为12米，则两点间的距离______米． 【深入探究】 （3）如图5，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 六．解答题（本大题共计12分） 23. 我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”． 如图1，四边形中，，，则四边形叫做“等补四边形”． 【概念理解】 （1）①在等补四边形中，若，则______； ②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是______． A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 【性质探究】 （2）如图1，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 【知识运用】 （3）如图2，在四边形中，平分，，． 求证：四边形是等补四边形． 【拓展应用】 （4）将斜边相等的两块三角板按如图3放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，、位于的两侧，其中，若，连接，则的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $