专题01 不等式与不等式组 期中复习笔记2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册第二章 不等式与不等式组 期中复习笔记 一、知识框架（核心梳理） 二、运算层级划分（贴合期中考点，分层突破） 三、核心法则与构成规则（精准对接考点，突破易错） 四、核心题型（期中高频，分类突破，含解题步骤） 五、易错题精析（错解→正解→易错分析，规避期中丢分） 六、巩固提升（分层练习 + 详细解答，贴合期中难度） 七、期中真题演练（贴合期中真题，含考点解析） 八、附：配套练习题答案汇总（对应原题，详细解析） ⭐ 知识框架（核心梳理） 本专题聚焦第二章“不等式与不等式组”核心知识体系，涵盖期中必考所有模块，清晰梳理各知识点关联，贴合八年级北师大版教材考点，兼顾基础与重难点，方便快速回顾本章核心内容，搭建完整知识体系： （一）不等式的基础概念 核心是理解不等关系的意义，掌握不等式的定义、解与解集的区别，能准确用数轴表示不等式的解集，是后续学习的基础。 不等式定义：用“<”“≤”“>”“≥”连接的式子，区分“不大于”“不小于”的符号表示； 不等式的解与解集：解是单个满足条件的未知数的值，解集是所有解的集合，二者不可混淆； 数轴表示解集：掌握空心圆圈（不含端点）、实心圆点（含端点）的用法，明确左右方向对应不等号方向。 （二）不等式的基本性质 类比等式性质，重点掌握性质3（乘除负数变号），是解不等式的核心依据，也是期中易错点。 性质1（加减不变向）：两边加/减同一个代数式，不等号方向不变； 性质2（乘除正数不变向）：两边乘/除同一个正数，不等号方向不变； 性质3（乘除负数变向）：两边乘/除同一个负数，不等号方向必须改变（核心易错点）。 （三）一元一次不等式 本章核心考点，掌握定义、解法步骤，能灵活运用解决实际问题，是期中常规题、基础题的主要考查内容。 定义：左右都是整式、只含一个未知数、未知数次数为1的不等式； 解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1（重点关注性质3的应用）； 实际应用：找准不等关系，设未知数、列不等式，求解后结合实际意义检验（如人数、数量为正整数）。 （四）一元一次不等式与一次函数 衔接一次函数知识，体会三者内在联系，是期中中档题、综合题的考查方向。 核心联系：一次函数y=kx+b（）的函数值大小，对应不等式kx+b>0（<0）的解集； 实际应用：通过函数图象确定不等式解集，解决方案选择类问题。 （五）一元一次不等式组 期中高频考点，掌握定义、解集分类，能解不等式组并结合实际应用。 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组； 解集分类：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找； 解法：分别解每个不等式，借助数轴确定不等式组的解集。 二、运算层级划分（贴合期中考点，分层突破） ✅ 基础级・概念与简单计算 → 不等式的定义、解与解集判断，数轴表示解集，不等式基本性质的简单应用；不等式组的解集识别。难度低、易得分，核心是牢记概念与基础性质，避免基础失误。 ✅ 常规级・性质与解法应用 → 一元一次不等式（组）的完整解法，结合性质3解决含负数系数的不等式；简单实际应用（如得分、费用控制）。期中常考中档题型，易错点是系数化为1时忘记变号、忽略实际意义。 ✅ 进阶级・综合应用 → 一元一次不等式与一次函数的综合（方案选择、函数值比较），不等式组的复杂应用，与方程的结合题。期中压轴题型，难度中等偏上，核心是找准不等关系，灵活运用性质和函数知识。 ⭐三、核心法则与构成规则（精准对接考点，突破易错） 章节与分类 核心法则 / 性质（含易错提醒） 典型例题（2道，覆盖基础+易错） 不等式基础概念 1. 不等式定义：含“<”“≤”“>”“≥”的式子（易错：等式与不等式混淆）； 2. 解集与解：解集是所有解的集合，解是单个值（易错：混淆二者概念）； 3. 数轴表示：空心不含端点，实心含端点（易错：方向或圆点类型出错）。 例1：下列式子是不等式的是（ ）A. B. （答案：B）； 例2：不等式的解集是所有小于等于3的数，是它的一个解。 不等式基本性质 1. 性质1、2：加减、乘除正数，不等号不变向； 2. 性质3：乘除负数，不等号必须变向（核心易错点：忘记变向）； 3. 易错：两边乘0，不等式变为等式，不可继续用不等式性质。 例1：若，则（性质1）； 例2：若，，则（性质3，易错点：易写成）。 一元一次不等式（组）解法 1. 一元一次不等式解法：5步骤，重点是去分母（不含分母项也要乘）、系数化为1（变向）； 2. 不等式组解集：4种类型，借助数轴更直观（易错：找错解集范围）； 3. 易错：去括号时负号漏变，移项忘记变号。 例1：解不等式（解集：）； 例2：解不等式组（解集：）。 不等式与一次函数 1. 核心联系：y=kx+b，kx+b>0对应图象在x轴上方的x范围； 2. 易错：混淆函数值与不等式解集的对应关系，忽略k的符号对方向的影响。 例1：，当时，； 例2：，当时，（易错：k为负，不等号方向改变）。 四、核心题型（期中高频，分类突破，含解题步骤） 核心题型覆盖本章期中所有考法，每类题型含“解题步骤+易错提醒”，帮你快速掌握解题方法，避免踩坑，兼顾基础与综合应用。 （一）不等式基础概念题型 题型1：不等式的识别与解、解集判断（基础题，期中必考） 解题步骤：① 根据不等式定义，判断式子是否含不等号；② 区分解与解集，解是单个值，解集是所有解的集合；③ 结合数轴，判断解集表示是否正确。 易错提醒：混淆等式与不等式，混淆解与解集，数轴表示时端点类型或方向出错。 例1：判断下列式子哪些是不等式：① ② ③ ④（答案：②③）； 例2：判断“是不等式的解集”是否正确（解：不正确，是它的一个解，解集是）。 （二）不等式基本性质应用题型 题型2：利用性质比较大小、变形（基础题，期中常考） 解题步骤：① 观察已知不等关系和变形后的式子，判断运用的性质；② 若涉及乘除运算，判断字母符号，确定是否变向；③ 验证变形是否正确。 易错提醒：运用性质3时忘记变向，两边乘0后仍按不等式性质变形。 例1：已知，c为任意实数，比较与的大小（解：，运用性质1）； 例2：已知，，比较与的大小（解：，运用性质3，乘负数变向）。 （三）一元一次不等式（组）解法题型 题型3：解一元一次不等式（常规题，期中必考） 解题步骤：① 去分母：两边同乘各分母最小公倍数，不含分母项也要乘；② 去括号：括号前是负号，各项变号；③ 移项：含未知数项移一边，常数项移另一边，移项变号；④ 合并同类项：化为ax>b（或ax<b等）形式；⑤ 系数化为1：根据a的符号，判断是否变向。 易错提醒：去分母漏乘、去括号漏变号、移项不变号、系数化为1忘记变向。 例：解不等式 解：去分母，得（漏乘12易错）； 去括号，得（-3乘2漏变号易错）； 移项，得（移项不变号易错）； 合并同类项，得； 系数化为1，得（，不变向）。 题型4：解一元一次不等式组（常规题，期中常考） 解题步骤：① 分别解每个一元一次不等式，写出各自解集；② 借助数轴，找出两个解集的公共部分，确定不等式组的解集；③ 若无公共部分，说明不等式组无解。 易错提醒：解单个不等式出错，数轴表示解集时方向或端点错误，找公共部分出错。 例：解不等式组 解：解不等式①，得，； 解不等式②，得； 借助数轴，公共部分为，故不等式组的解集为。 （四）实际应用题型 题型5：一元一次不等式（组）的实际应用（重点题，期中常考） 解题步骤：① 审题，找出题目中的不等关系（关键词：至少、最多、不低于、不超过等）；② 设未知数，根据不等关系列不等式（组）；③ 解不等式（组），求出解集；④ 结合实际意义（如人数、物品数量为正整数），确定符合题意的解；⑤ 作答。 易错提醒：找错不等关系、列不等式时符号错误、忽略实际意义导致解不符合题意。 例：用2000元买名著（每套65元）和词典（每本40元），已买名著20套，最多还能买多少本词典？ 解：设最多还能买x本词典， 列不等式：（“最多”对应“”，易错写成“”）； 计算：； 移项：； 系数化为1：； 结合实际意义，x为正整数，故最多能买17本。 （五）综合题型 题型6：不等式与一次函数综合（压轴题，期中常考） 解题步骤：① 结合一次函数解析式，分析函数值与0的关系，转化为不等式；② 解不等式，确定自变量取值范围；③ 结合实际场景（如方案选择），比较不同方案的优劣，得出结论。 易错提醒：混淆函数值与不等式解集的对应关系，忽略k的符号对不等号方向的影响。 例：已知一次函数（），当时，；当时，，求的解集。 解：先求函数解析式，代入得，解得，，故； 列不等式：； 解得，即的解集为。 五、易错题精析（错解→正解→易错分析，规避期中丢分） 汇总本章期中高频易错点，每道题详细分析错误原因，帮你找准问题、精准纠错，避免重复踩坑，兼顾基础易错点与综合易错点。 易错点1：混淆不等式的“解”与“解集” ❌ 错解：是不等式的解集； ✅ 正解：是不等式的一个解，其解集是； 易错分析：分不清“单个解”与“所有解的集合”，解是具体的一个值，解集是所有满足条件的值的范围，二者不可混淆。 易错点2：运用不等式性质3时忘记变号 ❌ 错解：解不等式，得； ✅ 正解：两边同时除以-2，不等号方向改变，得； 易错分析：牢记性质3的核心——乘除负数必须变向，这是本章最易出错的地方，常因粗心忘记变向导致错误。 易错点3：解不等式时去分母、去括号出错 ❌ 错解：解不等式，去分母得； ✅ 正解：去分母，两边同乘2，得（不含分母的-1也要乘2）； 易错分析：去分母时，不含分母的项容易漏乘各分母的最小公倍数；去括号时，括号前是负号，容易漏变括号内各项的符号。 易错点4：不等式组解集判断错误 ❌ 错解：解不等式组，解集为； ✅ 正解：解集为（同大取大）； 易错分析：混淆不等式组解集的4种类型，尤其是“同大取大”“同小取小”，容易把公共部分找反，可借助数轴辅助判断。 易错点5：实际应用中忽略自变量的实际意义 ❌ 错解：上述词典购买问题中，解得x≤17.5，答：最多能买17.5本； ✅ 正解：x为词典本数，需为正整数，故最多能买17本； 易错分析：实际应用中，自变量往往有实际限制（如人数、数量为正整数，长度、金额为非负数），忽略这些限制会导致解不符合题意。 易错点6：综合题中混淆不等式与一次函数的关系 ❌ 错解：已知，求的解集，解得； ✅ 正解：，移项得，系数化为1（乘负数变向），得； 易错分析：忽略一次函数中k的符号，当时，解不等式时不等号方向会改变，容易直接根据函数增减性判断出错。 六、巩固提升（分层练习 + 详细解答，贴合期中难度） 分层设计练习题，基础题夯实本章基础，中档题突破核心难点，压轴题适配期中压轴考法，每道题含详细解题步骤和易错提醒，方便自主练习、查漏补缺，兼顾本章知识点的综合应用。 基础过关（必会题，期中基础得分点，难度低） 1、判断下列式子中，哪些是不等式？① 3x=4 ② 5x-2>3 ③ x+1≤5 ④ 2x+3（答案：②③）； 2、解不等式：，并在数轴上表示解集； 3、解不等式组：，写出其解集； 4、已知，，比较与的大小（提示：运用不等式性质1）； 5、已知一次函数，求的解集。 能力提升（中档题，期中常考，难度中等） 1、解不等式：，注意去分母和去括号的符号变化； 2、若不等式组有解，求m的取值范围； 3、某商店购进一批商品，进价为每件20元，售价不低于进价的1.2倍，且不超过30元，求售价x的取值范围（列不等式并求解）； 4、已知不等式的解集是，求a的取值范围，并说明理由。 培优拓展（压轴题，期中压轴考法，难度中等偏上） 1（综合题）已知一次函数（）的图象经过点（-1，2）和（3，-2）， （1）求该一次函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）若x的取值范围是，求y的取值范围。 2、（实际应用压轴）某工厂计划生产一批零件，每天生产50个，12天可完成；若每天生产60个，可提前几天完成？设提前x天完成，列不等式并求解（提示：生产总量不变，提前x天则生产天数为，每天生产60个时，总量≥原总量）。 七、期中真题演练（贴合期中真题，含考点解析） 精选涉及本章的期中高频真题，涵盖所有核心题型，每道题含答案、解题步骤和考点解析，帮你熟悉期中出题规律，掌握解题技巧，兼顾基础与综合应用。 1、（基础题）下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 是不等式的解 C. 不等式的解一定是解集 D. 数轴上表示的点，不包括3 2、（常规题）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来。 3、（常规题）解不等式组，并写出该不等式组的整数解。 4、（实际应用题）某学校组织学生参加社会实践活动，需租用客车，已知每辆客车可坐40人，共有180名学生，至少需要租用几辆客车？ 5、（综合压轴题）已知一次函数（），当时，；当时，。 （1）求该一次函数的解析式； （2）若该函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积； （3）求不等式的解集。 八、附：配套练习题答案汇总（对应原题，详细解析） 基础过关（必会题） 1、答案：②③； 解析：①是等式，④是代数式，不含不等号，故不是不等式；②③含不等号，是不等式。 2、解：；移项，得；合并同类项，得； 数轴表示：以6为端点，空心圆圈，向左延伸； 解析：运用性质1，移项变号，无乘除负数，方向不变，数轴表示注意端点类型。 3、解：解，得；解，得，； 解集为（同大取大）； 解析：两个解集的公共部分为，注意区分“”与“”的公共部分。 4、解：； 理由：∵，根据性质1，两边同时减c，不等号方向不变，故； 解析：性质1的简单应用，加减同一个数，方向不变，与c的符号无关。 5、解：；移项，得；系数化为1，得； 解析：将函数值大于0转化为不等式，解不等式即可，，方向不变。 能力提升（中档题） 1、解：； 去分母，得（两边同乘6，不含分母的1也要乘）； 去括号，得（-2乘2x、+1均变号）； 移项，得； 合并同类项，得； 系数化为1，得（除以-1，变向）； 解析：重点考查去分母漏乘、去括号变号、系数化为1变向的易错点。 2、解：∵不等式组有解，根据“大小小大中间找”，得； 解析：若，两个解集无公共部分，无解；故。 3、解：由题意，列不等式：； 计算得； 答：售价x的取值范围是； 解析：“不低于进价的1.2倍”对应“”，“不超过30元”对应“”，找准不等关系是关键。 4、解：； 理由：不等式的解集是，不等号方向改变，根据性质3，可知两边乘除了负数，故； 解析：逆用性质3，解集方向改变，说明系数a为负数。 培优拓展（压轴题） 1、解：（1）代入点（-1，2）和（3，-2），得； 两式相减，得，；代入得；解析式为； （2）不等式；移项，得；系数化为1，得； （3）当时，；当时，； ∵，y随x增大而减小，故y的取值范围是； 解析：综合考查函数解析式求解、不等式解法、函数增减性，注意k为负数时，y随x增大而减小。 2、解：设提前x天完成，原总量为个； 列不等式：； 去括号，得； 移项，得； 合并同类项，得； 系数化为1，得； 答：最多可提前2天完成； 解析：“提前x天”则生产天数为，每天生产60个，总量≥原总量，注意x为非负整数，解集，故最多提前2天。 期中真题演练答案 1、（基础题）下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 是不等式的解 C. 不等式的解一定是解集 D. 数轴上表示的点，不包括3 考点解析：考查不等式的解与解集、数轴表示，基础题，难度低，重点区分解与解集的概念，数轴端点用法。 答案：B（解析：A解集是；C解集是所有解的集合，解是单个值；D包括3，实心圆点）。 2、（常规题）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来。 考点解析：考查一元一次不等式的解法，重点考查性质3的应用，常规题，难度中等。 解：移项，得；合并同类项，得；系数化为1（除以-2，变向），得；数轴表示：以-1为端点，实心圆点，向右延伸。 3、（常规题）解不等式组，并写出该不等式组的整数解。 考点解析：考查一元一次不等式组的解法、整数解，常规题，难度中等，重点考查解集的确定和整数解的筛选。 解：解第一个不等式，得，；解第二个不等式，得；解集为；整数解为2。 4、（实际应用题）某学校组织学生参加社会实践活动，需租用客车，已知每辆客车可坐40人，共有180名学生，至少需要租用几辆客车？ 考点解析：考查一元一次不等式的实际应用，重点考查“至少”对应的不等关系，忽略实际意义（车辆数为正整数）的易错点。 解：设至少租用x辆客车，列不等式；解得；x为正整数，故至少租用5辆。 5、（综合压轴题）已知一次函数（），当时，；当时，。 （1）求该一次函数的解析式； （2）若该函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积； （3）求不等式的解集。 考点解析：考查一次函数与不等式的综合，压轴题，难度中等偏上，重点考查函数解析式求解、图象与坐标轴交点、不等式解集与函数的关系。 解：（1）代入得，解得，，解析式为；（2）A（-3，0），B（0，3），面积；（3），解得。 学科网（北京）股份有限公司 $