专题01三角形内角和定理期中复习讲义(13大题型+题型突破)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题01三角形内角和定理期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记三角形内角和 180°、外角性质，会用平行线法规范证明 2.掌握多边形内角和 =(n-2)×180°、外角和恒为 360° 两大核心公式 3.理清多边形、正多边形、对角线、平面镶嵌的关键概念与规律 1.搞定三角形（平行线 / 角平分线 / 折叠）、多边形（截角 / 漏算角）全类型角度计 2.算熟练用方程思想解角度、边数问题，用转化思想把多边形拆成三角形 3.能规范书写几何证明，解决复杂图形内角和、平面镶嵌等综合题 1.精准拿捏期中高频考点：内外角计算、公式应用、截角问题、平面镶嵌 2.避开易错坑：内外角混淆、截角漏情况、公式用错、证明跳步 3.选择填空快准狠，解答题步骤全，基础分不丢、难题有思路 题型01.三角形内角和定理证明与应用 题型02.平行线与角平分线的内角和应用 题型03.三角形折叠角度问题 题型04.三角形的外角定义与性质 题型05.多边形概念辨析 题型06.多边形内角和综合 题型07.多边形外角和应用 题型08.平面镶嵌 题型09.多边形截角问题 题型10.多边形对角线与分割 题型11.飞镖模型角度计算 题型12.三角形角平分线夹角模型 题型13.八字模型角度推理 解答题5题 知识点01.三角形核心知识 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3. 重要推论 (1)直角三角形两锐角互余 直角三角形中，两个锐角之和 = 90° ∵在△ABC中.∠C=90 ∴∠A+∠B=90 (2)三角形的外角定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD>∠A,∠ACD>∠B 知识点02:多边形核心概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（n≥3，正整数），分为凸 / 凹多边形（初中重点研究凸多边形） 2.正多边形：各边相等且各内角相等的多边形（双重条件缺一不可） 3.多边形元素：边、顶点、内角（相邻两边夹角）、外角（一边与邻边延长线夹角）、对角线（连接不相邻两个顶点的线段） 在平面内，线段 AB,BC,CD,DE,EA 首尾顺次相接，围成封闭图形，称为五边形 ABCDE。 任意一边所在直线（如直线 AB），图形所有顶点都在直线同侧，故为凸多边形。 从顶点 C 出发，可作对角线 CA,CB 4.对角线关键结论：n 边形从一个顶点出发可作 **(n-3)** 条对角线，总对角线条数为​ 知识点02:核心公式(熟记会用.必考) 1. 内角和定理 n 边形内角和 = (n−2)×180°（n≥3，正整数） ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 2. 外角和定理 任意多边形外角和均为 360°（与边数 n 无关，固定值） 3. 正 n 边形专属公式 每个内角度数：​ 每个外角度数：​（正多边形外角相等，此公式更简便） 题型01.三角形内角和定理证明与应用 【典例】如图，，，，则________． 【跟踪专练1】如图，在三角形纸片中剪去一个三角形得到四边形，且．纸片中的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在中，，、相交于点F，，，，，若，则______．    【跟踪专练3】如图，在中，，，过点D作交于点E，过点E作于点F，若平分，则图中度数为的角共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型02.平行线与角平分线的内角和应用 【典例】如图，直线，，，则的度数为_____． 【跟踪专练1】如图，是的平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则_______ 度． 【跟踪专练3】如图，平分交于M，，F，D分别是延长线上的点，和的平分线交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03.三角形折叠角度问题 【典例】如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和同时成为“准直角三角形”，则的度数为______． 【跟踪专练1】如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，中，，，分别是边，上的点，将沿折叠至四边形，点与点对应，交于点，若，则___________°． 【跟踪专练3】如图，把纸片沿折叠，点落在四边形的外部，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型04.三角形的外角定义与性质 【典例】如图，______ ． 【跟踪专练1】如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 【跟踪专练3】如图，直线，直线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型05.多边形概念辨析 【典例】下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【跟踪专练1】在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 【跟踪专练2】下列命题：①各边都相等的多边形是正多边形；②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑥到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．正确的命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练3】如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是___________． 题型06.多边形内角和综合 【典例】正八边形的一个内角为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ． 【跟踪专练2】如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】中国古典园林里面的窗型，丰富多样．如图所示的是颐和园小长廊五角加膛窗的示意图，它的一个外角的度数为____________． 题型07.多边形外角和应用 【典例】小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为_____s． 【跟踪专练2】佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，学校里一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其中，则的度数为______． 题型08.平面镶嵌. 【典例】．如果只用一种正多边形镶嵌，在下面的正多边形中，不能镶嵌整个平面的是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【跟踪专练1】如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形地砖，周围用正三角形和正方形地砖密铺，从里向外共5层（不包括中央的正六边形地砖）．每一层的外边界都围成一个多边形，若中央的正六边形地砖的边长为，则第5层边界所围成的多边形的周长是____． 【跟踪专练2】阅读下列材料，回答下面的问题． 用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，用边长相等的等边三角形能够平面镶嵌；平面镶嵌的关键点是，在每个公共顶点（拼接点）处，各角的和是． 现在我们来研究用边长相等的正多边形（含等边三角形）平面镶嵌的问题： 和边长相同的正五边形同时进行平面镶嵌（两种正多边形都要用），下列正多边形可以的是________； A．正四边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十二边形 【跟踪专练3】若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是______． 题型09.多边形截角问题 【典例】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．7或8 B．8或9 C．7或9 D．7或8或9 【跟踪专练1】一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 【跟踪专练2】一个多边形截去一角后，变成一个八边形，则这个多边形原来的边数是（    ） A．8或9 B．7或8 C．7或8或9 D．8或9或10 【跟踪专练3】从六边形的一个顶点出发，可以引_________条对角线，将六边形分成_________个三角形，六边形共有_________条对角线． 题型10.多边形对角线与分割 【典例】若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（    ） A．9 B．6 C．18 D．12 【跟踪专练1】已知一个多边形的内角和为，则这个多边形的对角线的总条数为（    ） A．40 B．30 C．20 D．5 【跟踪专练2】如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，下面四种说法：①周长变大；②周长变小；③外角和增加；④内角和增加，其中正确的是_______． 题型11.飞镖模型角度计算 【典例】如图，四边形，，，和分别是和的角平分线，那么______． 【跟踪专练1】如图所示，，，，则______． 【跟踪专练2】如图1，在四边形中，，，． （1）______； （2）如图2，和的角平分线与交于点G，，分别与，交于点E和点F，则______． 【跟踪专练3】一个零件的形状如图，按规定．已知，要判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件______（填“合格”或“不合格”）． 题型12.三角形角平分线夹角模型 【典例】如图，在中，、分别平分、，、相交于点，则的度数是______． . 【跟踪专练1】如图，已知的外角和外角的平分线相交于点D，如果，那么_____． 【跟踪专练2】如图，在中，、分别平分、，、分别平分、，若，则___________． 【跟踪专练3】如图，在中,平分平分，则__________． 题型13.八字模型角度推理 【典例】如图，在和中，，，，且，，延长分别与、交于点、，则的度数为_____． 【跟踪专练1】如图，，的延长线分别交，于点F，G，且，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，是上一点，交于，，，则以下说法：①②；；③；④，说法正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【跟踪专练3】如图，线段，垂足为，线段分别交，于点，，连接，．则的度数为__________． 【解答题】 1．如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． (1)求证：． (2)若恰好平分，求的度数． 2．如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 3．在四边形中， (1)如图①，求证： (2)如图②，在边上分别取中点M、N，连接．若，求的度数． 4．已知一个多边形的边数为． (1)若该多边形的内角和的比外角和多，求的值； (2)若该多边形是正多边形，且其中一个内角为，求的值． 5．（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形内角和定理期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记三角形内角和 180°、外角性质，会用平行线法规范证明 2.掌握多边形内角和 =(n-2)×180°、外角和恒为 360° 两大核心公式 3.理清多边形、正多边形、对角线、平面镶嵌的关键概念与规律 1.搞定三角形（平行线 / 角平分线 / 折叠）、多边形（截角 / 漏算角）全类型角度计 2.算熟练用方程思想解角度、边数问题，用转化思想把多边形拆成三角形 3.能规范书写几何证明，解决复杂图形内角和、平面镶嵌等综合题 1.精准拿捏期中高频考点：内外角计算、公式应用、截角问题、平面镶嵌 2.避开易错坑：内外角混淆、截角漏情况、公式用错、证明跳步 3.选择填空快准狠，解答题步骤全，基础分不丢、难题有思路 题型01.三角形内角和定理证明与应用 题型02.平行线与角平分线的内角和应用 题型03.三角形折叠角度问题 题型04.三角形的外角定义与性质 题型05.多边形概念辨析 题型06.多边形内角和综合 题型07.多边形外角和应用 题型08.平面镶嵌 题型09.多边形截角问题 题型10.多边形对角线与分割 题型11.飞镖模型角度计算 题型12.三角形角平分线夹角模型 题型13.八字模型角度推理 解答题5题 知识点01.三角形核心知识 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3. 重要推论 (1)直角三角形两锐角互余 直角三角形中，两个锐角之和 = 90° ∵在△ABC中.∠C=90 ∴∠A+∠B=90 (2)三角形的外角定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD>∠A,∠ACD>∠B 知识点02:多边形核心概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（n≥3，正整数），分为凸 / 凹多边形（初中重点研究凸多边形） 2.正多边形：各边相等且各内角相等的多边形（双重条件缺一不可） 3.多边形元素：边、顶点、内角（相邻两边夹角）、外角（一边与邻边延长线夹角）、对角线（连接不相邻两个顶点的线段） 在平面内，线段 AB,BC,CD,DE,EA 首尾顺次相接，围成封闭图形，称为五边形 ABCDE。 任意一边所在直线（如直线 AB），图形所有顶点都在直线同侧，故为凸多边形。 从顶点 C 出发，可作对角线 CA,CB 4.对角线关键结论：n 边形从一个顶点出发可作 **(n-3)** 条对角线，总对角线条数为​ 知识点02:核心公式(熟记会用.必考) 1. 内角和定理 n 边形内角和 = (n−2)×180°（n≥3，正整数） ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 2. 外角和定理 任意多边形外角和均为 360°（与边数 n 无关，固定值） 3. 正 n 边形专属公式 每个内角度数：​ 每个外角度数：​（正多边形外角相等，此公式更简便） 题型01.三角形内角和定理证明与应用 【典例】如图，，，，则________． 【答案】 【分析】根据三角形的内角和等于，得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出的度数． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 【跟踪专练1】如图，在三角形纸片中剪去一个三角形得到四边形，且．纸片中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先在四边形中，运用四边形内角和为，求出，再在中，根据三角形内角和定理，求出的度数． 【详解】解：∵在四边形中， ， 又∵， ∴， ∵在中， ， ∴． 【跟踪专练2】在中，，、相交于点F，，，，，若，则______．    【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 过点作于，过点作于，根据三角形内角和定理和等量代换得到，得到，则，证明，得出，，证明，得出，证明，得出，则，由，得出，推出，则，进而求解即可． 【详解】过点作于，过点作于，如图所示：   . ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练3】如图，在中，，，过点D作交于点E，过点E作于点F，若平分，则图中度数为的角共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理和平行线的判定和性质逐一求解即可． 【详解】解：在中，，， ， ， ， 平分， ， ，， ， ，， 图中度数为的角有、、、、，共5个． 题型02.平行线与角平分线的内角和应用 【典例】如图，直线，，，则的度数为_____． 【答案】/102度 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角和为求出的度数． 【详解】 如图： 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，是的平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由角平分线求出，由三角形外角的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴ ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则_______ 度． 【答案】14 【分析】本题考查了三角形的高，三角形内角和定理，角平分线定义等知识点，能求出和∠EAC的度数是解此题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，即可求出答案． 【详解】解：∵是高， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， 故答案为：14． 【跟踪专练3】如图，平分交于M，，F，D分别是延长线上的点，和的平分线交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．根据角平分线的定义，可得，由，得到，结合，推出，即可判断①②③，过点N作，由可得，根据，，推出，再根据角平分线的定义，得到，即可判断④． 【详解】解：如图，过点N作， 平分交于M， ，， ， ， ，， ，， ，平分，故①②③正确； ， ， ，， ， ， 和的平分线交于点N， ，故④正确． 故选：D． 题型03.三角形折叠角度问题 【典例】如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和同时成为“准直角三角形”，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的新定义，三角形内角和及外角性质，设，由，可得，由折叠可得，当为“准直角三角形”时，或，解得或，分别代入计算各角的度数，根据“准直角三角形”的定义判断即可求解，解题的关键是读懂“准直角三角形”的定义及分类讨论思想的应用． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处， ∴， 当为“准直角三角形”时，或， ∴或， ∴或， ①当时，即， ∴， ∴， ∴， 此时，， ∴不是“准直角三角形”； ②当时，即， ∴， ∴， ∴， 此时， ∴是“准直角三角形”； 综上所述，能使和同时成为“准直角三角形”的的度数为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用折叠的性质求出，从而可利用三角形内角和定理求出，再利用折叠的性质求得． 【详解】解：∵，将沿翻折后，点A落在边上的点F处， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，中，，，分别是边，上的点，将沿折叠至四边形，点与点对应，交于点，若，则___________°． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，利用折叠的性质得到相等的角是解题的关键． 先由邻补角性质求出，再利用折叠性质得和的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，把纸片沿折叠，点落在四边形的外部，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质，三角形外角的性质，理解折叠前后对应角相等是解题关键．根据翻折的性质可得，再利用三角形外角的性质表示出，然后根据角的和差整理即可解答． 【详解】解：如图， 由题意可得，， 在中，， ， ， ， ，， ， 故选：A． 题型04.三角形的外角定义与性质 【典例】如图，______ ． 【答案】180 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理． 根据三角形外角的性质得到，，根据三角形内角和定理作答即可． 【详解】解：如图， ，，， ． 故答案为：180． 【跟踪专练1】如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据外角的性质计算出，再根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 【跟踪专练2】（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 【答案】 【分析】（1）根据三角形的内角和得到，由对顶角相等即可得到结论； （2）根据题意可得，得到，根据角平分线得到，再根据得到，即可得到答案． 【详解】解：（1） 而， ； （2），， ， ， 和的平分线和相交于点， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，直线，直线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，垂直的性质，对顶角相等．利用对顶角相等算出，利用三角形的外角性质求得，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如下图， 由题意得， ∵直线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 题型05.多边形概念辨析 【典例】下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 【跟踪专练1】在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 【答案】 ①⑤⑥ ①⑥/⑥① 【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键． 根据多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥． 故答案为：①⑤⑥；①⑥． 【跟踪专练2】下列命题：①各边都相等的多边形是正多边形；②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑥到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．正确的命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】分析所给的命题是否正确，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】∵不含90°内角的菱形四边都相等，但其不是正四边形， ∴①不正确； ∵三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角， ∴②正确； ∵三角形的角平分线是线段， ∴③不正确； ∵三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点， ∴④不正确． ∵任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线， ∴⑤正确； ∵到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， ∴⑥正确； 综上，可得正确的命题有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【跟踪专练3】如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是___________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，n边形的内角和为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数是8， 故答案为：8． 题型06.多边形内角和综合 【典例】正八边形的一个内角为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，边形的内角和为． 根据边形的内角和为得到边形的每个内角等于，进而计算即可． 【详解】解：正八边形的一个内角为． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ． 【答案】 【分析】根据正多边形的内角公式可得，则，利用三角形内角和定理计算出即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】多边形内角和且为整数）．先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数． 【详解】解：在五边形中，内角和为， ∵， ， ∵、分别平分、， ， 在中，． 【跟踪专练3】中国古典园林里面的窗型，丰富多样．如图所示的是颐和园小长廊五角加膛窗的示意图，它的一个外角的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的外角和性质，掌握任意正多边形的外角和为，每个外角的度数等于除以边数是解题的关键． 根据正多边形外角和为，正五边形的5个外角相等，用外角和除以边数即可求出一个外角的度数． 【详解】解：∵正多边形的外角和恒为 ∵该图形为正五边形，共有个相等的外角 ∴其一个外角的度数为 故答案为：． 题型07.多边形外角和应用 【典例】小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的外角和，解决本题的关键是明确第一次回到出发点时，所经过的路线正好构成一个正多边形． 第一次回到出发点时，所经过的路成一个正多边形，用，求得边数，再根据多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：∵第一次回到出发点时，所经过的路线正好构成一个正多边形， ∴正多边形的边数为：， 根据多边形的外角和为， ∴他每次转动的角度为：， 故选：B． 【跟踪专练1】一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为_____s． 【答案】 【分析】本题中由于机器人最后必须回到起点，可知此机器人一共转了，得出机器人的行走路线是沿着一个正八边形的边长行走一周． 【详解】解：依据题中的图形，可知机器人一共转了， ∵， ∴机器人一共行走． ∴该机器人从开始到停止所需时间为． 【跟踪专练2】佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 则， ∴， ∴这个正多边形的每个外角为， 故选：． 【跟踪专练3】如图，学校里一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其中，则的度数为______． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和定理即可得出，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形内角和为：， 根据图中密铺可得， ， 故答案为：． 题型08.平面镶嵌. 【典例】．如果只用一种正多边形镶嵌，在下面的正多边形中，不能镶嵌整个平面的是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】本题考查一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除．分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除即可作出判断． 【详解】解：正三角形的每个内角是，能整除，能镶嵌整个平面； 正方形的每个内角是，能整除； 正五边形每个内角是，不能整除，不能镶嵌整个平面； 正六边形的每个内角是，能整除； 故选：C． 【跟踪专练1】如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形地砖，周围用正三角形和正方形地砖密铺，从里向外共5层（不包括中央的正六边形地砖）．每一层的外边界都围成一个多边形，若中央的正六边形地砖的边长为，则第5层边界所围成的多边形的周长是____． 【答案】18 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺）以及规律型：图形的变化类，此题要注意能够分别找到三角形和正方形的个数的规律． 由图形可知：从里向外的第1层是边形，第2层是边形，每层都比前一层多6条边．依此递推，第5层是边形，由此求得答案即可． 【详解】解：根据题意分析可得：从里向外的第1层是边形， 第2层是边形， 此后，每层都比前一层多6条边， 依此递推，第5层是边形， 边长为， 第5层边界所围成的多边形的周长是． 故答案为：18． 【跟踪专练2】阅读下列材料，回答下面的问题． 用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，用边长相等的等边三角形能够平面镶嵌；平面镶嵌的关键点是，在每个公共顶点（拼接点）处，各角的和是． 现在我们来研究用边长相等的正多边形（含等边三角形）平面镶嵌的问题： 和边长相同的正五边形同时进行平面镶嵌（两种正多边形都要用），下列正多边形可以的是________； A．正四边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十二边形 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌，平面镶嵌时在拼接点处的内角度数和为，正五边形的一个内角为，还剩下，而，所以还需要一个正五边形和一个正十边形，所以一个拼接点处应有个正五边形和个正十边形． 【详解】解：正五边形一个内角为， 正四边形一个内角为， 正六边形一个内角为， 正十边形一个内角为， 正十二边形一个内角为， 与正五边形进行镶嵌，在每个拼接点处内角的和应为， ， 而， 内角为的是正十边形， 所以一个拼接点处应有个正五边形和个正十边形． 故选：C． 【跟踪专练3】若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是______． 【答案】4或5或6 【分析】本题考查的知识点是多边形的内角与外角，解题关键是列举出所有可能的情况． 一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变，如图： 故答案为：4或5或6． 题型09.多边形截角问题 【典例】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．7或8 B．8或9 C．7或9 D．7或8或9 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，熟练掌握一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1、可能减少1或不变是解题的关键．求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设切去一角后的多边形为n边形． 则， 解得：， ∵一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1， ∴原多边形的边数可能为7或8或9， 故选：D． 【跟踪专练1】一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形，分三种情况：剪线经过四边形相邻的两个顶点；剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点）；剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边． 【详解】解：分三种情况讨论： （Ⅰ）若剪线经过四边形相邻的两个顶点，剪去一个角后，剩余图形为三角形，有3个角； （Ⅱ）若剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点），剪去一个角后，剩余图形为四边形，有4个角； （Ⅲ）若剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边，剪去一个角后，剩余图形为五边形，有5个角． 综上所述，剩余角的个数为3或者4或者5． 故选：D 【跟踪专练2】一个多边形截去一角后，变成一个八边形，则这个多边形原来的边数是（    ） A．8或9 B．7或8 C．7或8或9 D．8或9或10 【答案】C 【分析】画出所有可能的情况，即可作答． 【详解】如图所示 ∴这个多边形原来是7边形或8边形或9边形 故选C． 【点睛】本题考查的知识点是多边形内角与外角，解题关键是注意分情况作答． 【跟踪专练3】从六边形的一个顶点出发，可以引_________条对角线，将六边形分成_________个三角形，六边形共有_________条对角线． 【答案】 3 4 9 【分析】根据多边形对角线的相关规律，先确定从六边形一个顶点出发引出的对角线条数，再推导得到分成三角形的个数，最后计算六边形对角线的总条数． 【详解】解：对于边形，从一个顶点出发，不能向自身以及相邻两个顶点引对角线，因此从一个顶点出发可引出对角线的条数为，本题中六边形，因此引出对角线条数为， 从一个顶点引出条对角线后，可将边形分成个三角形，因此六边形分成三角形的个数为， 边形对角线总条数公式为， 将代入得：． 题型10.多边形对角线与分割 【典例】若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（    ） A．9 B．6 C．18 D．12 【答案】A 【分析】本题考查正多边形的性质，多边形的外角和定理和对角线的数量，掌握多边形的外角和定理和对角线数量的公式是解题的关键． 先根据正多边形外角和为360°，求出边数n，再利用对角线公式计算． 【详解】正多边形每个外角为60°，外角和为360°，故边数 ． 正n边形的对角线总数为 ．代入 ，得： 因此，该正六边形共有9条对角线， 故选：A． 【跟踪专练1】已知一个多边形的内角和为，则这个多边形的对角线的总条数为（    ） A．40 B．30 C．20 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线计算公式，先根据多边形内角和计算公式求出这个多边形是八边形，再根据多边形对角线计算公式求解即可，熟知n边形的对角线条数是是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形为n边形， 由题意得，， ∴， ∴这个多边形为八边形， ∴这个多边形可连对角线的条数是 故选：C． 【跟踪专练2】如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，下面四种说法：①周长变大；②周长变小；③外角和增加；④内角和增加，其中正确的是_______． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可．解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 【详解】解：将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， 该六边形的周长比原五边形的周长小， ①的说法错误，②的说法正确； 多边形的外角和与边数无关，都是， ③的说法错误； 五边形的边数增加了1， 根据多边形内角和定理可知内角和增加了， ④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故答案为：②④． 题型11.飞镖模型角度计算 【典例】如图，四边形，，，和分别是和的角平分线，那么______． 【答案】 【分析】连接并延长，首先根据多边形内角和公式计算出的度数，再根据补角的定义计算出，再根据角平分线定义计算出，再根据三角形内角与外角的关系计算出的度数． 【详解】解：连接并延长，如下图， ∵在四边形中，， 又，， ∴， ∴， ∵和分别是和的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图所示，，，，则______． 【答案】/76度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，通过延长交于点，利用三角形外角的性质，逐步推导得出的度数． 【详解】解：延长交于点． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图1，在四边形中，，，． （1）______； （2）如图2，和的角平分线与交于点G，，分别与，交于点E和点F，则______． 【答案】 144 115 【分析】本题考查了三角形的外角性质． （1）连接并延长至点H，利用三角形的外角性质即可求解； （2）连接并延长至点K，利用三角形的外角性质结合角平分线的定义即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接并延长至点H． ∴ ； （2）如图2，连接并延长至点K． ∵分别平分，， ∴，， ∴ ， 故答案为：144；115． 【跟踪专练3】一个零件的形状如图，按规定．已知，要判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件______（填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题考查了三角形的外角知识，熟练掌握三角形的外角性质，连接并延长是解题的关键； 连接并延长，根据三角形的外角的性质得到，，因此，即可作出判断． 【详解】解：连接并延长，如图： 由三角形的外角性质可得，，， ∴，， ∴ ， ∴这个零件符合规定，是合格的． 故答案为：合格． 题型12.三角形角平分线夹角模型 【典例】如图，在中，、分别平分、，、相交于点，则的度数是______． . 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 根据三角形的内角和是，可知，由，分别平分，，可知，，即，再由三角形的内角和是，得出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知的外角和外角的平分线相交于点D，如果，那么_____． 【答案】/71度 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，求出，再由角平分线的定义可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵的外角和外角的平分线相交于点D， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，、分别平分、，、分别平分、，若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形的内角和是是解答此题的关键．根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线得到，再根据三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：， ， 、分别平分、， ，， 又、分别平分、， ，， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中,平分平分，则__________． 【答案】/120度 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是先利用三角形内角和求出，再结合角平分线性质得到与的度数，最后再次运用三角形内角和求出． 先根据内角和为，结合已知、，求出的度数；再由BP、CP分别平分、，得到、；最后在中，利用三角形内角和求出． 【详解】解：∵ 在中，三角形内角和为，且，， ∴ ； ∵ BP平分，CP平分， ∴ ，； ∵ 在中，三角形内角和为， ∴ ． 故答案为：． 题型13.八字模型角度推理 【典例】如图，在和中，，，，且，，延长分别与、交于点、，则的度数为_____． 【答案】60 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由已知可证，推出，，结合，，可求出，的度数，再证即可求解． 【详解】解：在和中，，，， ， ，， ，， ， ， ， 在和中，，， ， 即， 故答案为：60． 【跟踪专练1】如图，，的延长线分别交，于点F，G，且，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到,进而求出，，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，是上一点，交于，，，则以下说法：①②；；③；④，说法正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据条件证明得到，，，从而得证，最后根据三角形的外角性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ，，，①正确， ，， ，，④正确， ∵，， ∴当时，有，这时， 但与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵，，， ∴，故②正确； 综上所述，正确的是①②④， 【跟踪专练3】如图，线段，垂足为，线段分别交，于点，，连接，．则的度数为__________． 【答案】/270度 【分析】根据三角形的内角和定理和对顶角的性质可求出，，然后把整体代入计算即可． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为： 【解答题】 1．如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． (1)求证：． (2)若恰好平分，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质． 根据折叠的性质可知，根据平角的定义可以求出，从而可求，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立； 根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据三角形内角和定理可以求出的度数． 【详解】（1）证明：由折叠可知， ， ， ， ， ； （2）解：是的外角， ， ， ， 平分， ， 在中，， ． 2．如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是充分利用（1）中结论解决问题． （1）利用三角形内角和证明即可； （2）利用先求出，根据平分求出，再根据求出，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．在四边形中， (1)如图①，求证： (2)如图②，在边上分别取中点M、N，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，四边形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，再由角的和差关系可证明结论； （2）由三线合一定理得到，再由四边形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵，M、N分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．已知一个多边形的边数为． (1)若该多边形的内角和的比外角和多，求的值； (2)若该多边形是正多边形，且其中一个内角为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，正多边形的性质， （1）根据多边形内角和公式与外角和列式计算即可解答； （2）根据正多边形的性质及多边形内角和公式解答即可； 解题的关键是掌握：①边形的内角和为（且为正整数），外角和为；②正边形的每条边相等、每个内角相等、每个外角相等． 【详解】（1）解：依题意，得： ， 解得：， 即的值为； （2）（2）依题意，得： ， 解得：， 即的值为． 5．（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了三角形外角的性质、多边形的外角和定理、四边形的内角和定理等知识． （1）根据三角形外角的性质得到，，再用多边形外角和定理即可求解； （2）根据三角形外角的性质得到，再用四边形内角和为即可求解． 【详解】解：（1）∵是的外角， ∴， 同理， ∵三角形的外角和为， ∴， （2）∵是的外角，是的外角， ∴， ∵四边形内角和为， ∴ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $