精品解析：甘肃嘉峪关市酒钢三中2025-2026学年高三下学期第二次诊断数学试卷

嘉峪关市酒钢三中高三年级第二次诊断考试 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合,再利用集合,表示出阴影部分的集合，最后利用集合的运算求解即可. 【详解】由已知得，集合，则， 阴影部分表示的集合为 故选：. 2. 已知i是虚数单位，则复数在复平面上对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，即可得到结果. 【详解】由复数的几何意义可知复数在复平面上对应的点的坐标为. 故选：C. 3. 在中，为上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法、减法的三角形法则及数乘向量的运算性质即可求解. 【详解】解：因为在中，为上一点，且， 所以， 故选：D. 4. 一个蜂巢里有只蜜蜂.第天，它飞出去找回了个伙伴；第天，只蜜蜂飞出去，各自找回了个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，第天蜂巢中的蜜蜂数量为，则数列成等比数列，根据等比数列的通项公式，可以算出第天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的数量． 【详解】设第天蜂巢中的蜜蜂数量为，根据题意得： 数列成等比数列，它的首项为，公比， 所以的通项公式：， 到第天，所有的蜜蜂都归巢后， 蜂巢中一共有只蜜蜂. 故选：B. 【点睛】本题主要考查归纳推理以及等比数列的知识，属于基础题. 5. 设为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：A的结论可能是，B的结论可能是，C的结论可能是，因此A、B、C均错误，故选D. 考点：空间点线面的位置关系. 6. 从0，2，3，4，6五个数字中，任取出两个不同的数字组成两位数，则在这些两位数中十位数字比个位数字大的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列举出符合要求的所有两位数，再确定其中十位数字比个位数字大的两位数个数，然后借助古典概率公式即可得解. 【详解】由0，2，3，4，6中任意两个不同数字组成的两位数有： 20，30，40，60，32，42，62，23，43，63，24，34，64，26，36，46，共有16个，每个两位数都是等可能出现的， 其中十位数字比个位数字大的有20，30，40，60，32，42，62，43，63，64，共10个， 则所求概率为. 故选：D 7. 直线与圆相交于A，B两点，则最小值时，a的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程可得直线恒过的定点坐标，且定点在圆内，从而有当圆心与定点的连线与直线垂直时，弦长取得最小值，进而根据两直线垂直的斜率关系列式即可求解． 【详解】解：直线恒过定点，且定点在圆内， 当圆心与点的连线与直线垂直时，弦长取得最小值， 圆心与点连线的斜率为， 此时直线的斜率为1，即，解得． 故选：D. 8. 若，，，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式将变形，，作差，结合三角函数的性质即可判断大小；判断和，和的大小，可作差后构造函数，通过求导判断函数的单调性即可判断大小. 【详解】因为，，， 所以， 所以， ， 构造函数，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，又， 所以，即， ， 构造函数，， 则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以，即， 综上，. 故选：. 【点睛】关键点点睛：比较大小可通过作差法，然后结合题意构造函数，通过求导判断函数的单调性求解. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. ， B. 若，且，则的最小值是9 C. ，则 D. 是的充要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，当时，可判断真假；对于B，利用基本不等式可判断真假；对于C，利用作差法判断；对于D，当时，可判断真假 【详解】对于A，当时，不等式成立，所以A正确， 对于B，因为，且，所以， 所以，解得或（舍去），所以，当且仅当时取到等号，所以B正确. 对于C，，因为，所以，所以，所以C正确， 对于D，当时，成立，此时，推不出，所以D错误 故选：ABC. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若，且的最小值为，则函数的最小正周期为 C. 若的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上恰有2个零点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由正弦函数单调性可判断选项正误；对于B，设，由题可得，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，据此可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，当时，，当，， 因在时单调递增，则在上单调递增，故A正确； 对于B，因，则时，设， 则 ，因，则函数的最小正周期为，故B错误； 对于C，将的图象向右平移个单位长度后， 可得，因图象关于轴对称， 则，因，则，得，故C正确； 对于D，时，，令，可得. 则使，且大于的前3个取值为， 则，故D正确. 故选：ACD. 11. 意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现数列1，1，2，3，5，8，13，……数列中的每一项称为斐波那契数，记作．已知．则（ ） A. B. C. 若斐波那契数除以4所得的余数按照原顺序构成数列，则 D. 若．则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AB，直接根据定义验算即可；对于C，只需得出当时，有，从而即可进一步根据周期性判断；对于D，根据定义变形，进一步累加求和即可判断. 【详解】对于A，斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，，A错误； 对于B，，B正确： 对于，由斐波那契数除以4所得的余数按照原顺序构成数列， 因为，， 根据数列的性质以及的定义可得，． 同理可推得，当时，有， 所以是以6为最小正周期的数列，又因为，，C正确； 对于D，由斐波那契数列性质． 可知，D错误． 故选：BC． 【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是得到当时，有，由此即可顺利得解. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 王老师为了了解本班学生每周购买零食的支出情况，利用分层抽样抽取了一个10人的样本，统计结果如下： 人数 平均支出（元） 方差 男生 6 35 6 女生 4 40 4 则该班学生每周购买零食的支出的总方差为______． 【答案】#### 【解析】 【分析】利用分层抽样的方差计算公式即可求解. 【详解】该班学生每周购买零食的支出的总均值为, 该班学生每周购买零食的支出的总方差为. 故答案为：. 13. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】应用导数的几何意义求得在处的切线，对求导，结合已知得切点在直线上，即可得. 【详解】由题设，则，则处切线为，即， 对于，有，又也是的切线， 令，可得，则，即切点在直线上， 所以. 故答案为：2 14. 数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为（点为轴正半轴上的点），滚动过程中点形成的轨迹记为星形线.有如下结论： ① 曲线上任意两点间距离的最大值为； ② 曲线的周长大于曲线的周长； ③ 曲线与圆有且仅有个公共点. 其中正确的序号为________________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】由题意知星形线任意点满足，为参数，其中，即，，从而可判断①；分析曲线的图像，与星形线图像对比可知②；求出星形线与直线的交点，知曲线与圆相切，可判断③； 【详解】由已知可知小圆与大圆是内切的关系，设小圆的圆心为， 则小圆的圆心轨迹为以为圆心，半径为3的圆，即 设星形线任意点，则，为参数，其中 可知星形线任意点，满足， 对于①，星形线上左右两个端点，或上下两个端点，的距离最远，等于8，故①正确； 对于②，曲线为过点，，，的正方形， 而星形线与坐标轴的交点也是这四个点，由两点之间线段最短，可知曲线的周长小于曲线的周长，故②错误； 对于③，星形线与直线的交点为，即 它们到原点的距离为与圆的半径相等， 所以曲线与圆相切，即有且仅有个公共点，故③正确； 故答案为：①③ 【点睛】关键点点睛：本题考查两个圆的内切关系求轨迹，解题的关键是理解星形线的定义，求出对应点满足的条件，再分析选项，考查学生的分析审题能力，属于难题. 四、解答题 15. 已知函数.在中，，且. （1）求的大小： （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简，根据以及可以得到，由三角形内角和可求出的大小； （2）由的余弦值以及条件计算可得到的值，代入三角形面积公式可求出结果. 【小问1详解】 ，在中，，所以， 因为，所以， 则有：或， 即或，因为，所以，即， 所以. 【小问2详解】 因为，， 则，即， 所以. 16. 在新高考的数学试卷中，有4道题为多项选择题，在每个试题所给的4个选项中有多项符合题目要求，其评分规则为：全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分． （1）若某两个多项选择题中分别有2个和3个正确选项．如果小茗同学不能判断两个题中任何一个选项是否符合题目要求．他每个题均随机选取了2项，记他这两题的总得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）若某个多项选择题所给的四个选项中有3个符合题目要求，小茗同学只能判断其中的一个选项符合题目要求，不能判断其它选项是否符合题目要求，若你是小茗同学，除了能判断的符合题目要求的选项外，从得分均值的角度分析，你是否再随机选取1个或2个选项作为答题结果？请说明理由． 【答案】（1） X 0 2 5 7 P 所以． （2） 不再选取，理由如下： 如果小茗同学只选择能判断符合题目要求的那个选项为解答结果，则他本题得分为2分，若他再随机选取1个，则他本题的得分Y可能为：0或2， ，，， 因为，所以不再随机选取一个选项作为答题结果. 若他再随机选取2个，则他本题的得分Z可能为：0或5， ，，， 因为，所以不再随机选取2个选项作为答题结果. 综上，除了能判断的正确选项外，不再随机选取1个或2个选项作为答题结果. 【解析】 【分析】（1）按分布列的求解步骤即可求解，利用数学期望公式可求解期望； （2）利用数学期望公式先计算小茗同学只选择能判断符合题目要求的那个选项为解答结果的均值，再分别计算随机选取1个或2个选项作为答题结果的均值，从而比较大小即可判断. 【小问1详解】 随机变量X的所有可能取值为0，2，5，7． 则， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 2 5 7 P 所以． 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面. （1）求证：平面平面. （2）求二面角的余弦值. （3）为平面内一点，若平面，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理先证，由面面垂直的性质得出，结合勾股定理及线面垂直的判定证明平面即可； （2）法一、利用二面角的定义结合第一问得出二面角的一个平面角，再由余弦定理计算即可；法二、以B为中心建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可； （3）法一、利用线线垂直、线面垂直的性质与判定作出平面，解三角形即可；法二、利用（2）的坐标系，设坐标结合空间向量基本定理及空间向量数量积计算求G点坐标即可. 【小问1详解】 连接，在中，， ， 则，，， 平面平面，，平面平面， 平面，平面，所以， 在中，, 又， ∴， 在中：，∴， 又，平面， 平面，且平面， 平面平面. 【小问2详解】 法一、由上可知：，则二面角的一个平面角为， 在中，由余弦定理知； 法二、如图建系：设轴与交于，过P作与E， 设，则， ∴， ， 解之得， 易知，所以， 则， 设为平面的一个法向量，则：， 令，则，所以， 易知是平面的一个法向量， 设二面角的一个平面角为，则， 由图形可知该二面角为钝角，所以； 【小问3详解】 法一：过作，垂足为，过作， 在中，过作，过作， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 而平面，所以平面，即G为所求. 分别延长交于，连接， 过作，由（1）易知，平面， 平面， ∴，设，， ∴，则，设， 在平面内，由几何关系知， 所以； 法二：取（2）的坐标系，则，，，设，所以， 又：，即， 18. 已知A为圆O：上一点，过点A作y轴的垂线交轴于点B，点P满足. （1）求动点P的轨迹的方程； （2）已知斜率为k的直线l与曲线交于C，D两点. （ⅰ）若直线l过点，当的面积最大时，求l的方程； （ⅱ）若线段CD的中点为（）．证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）或；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）假设点，然后根据，可知，结合圆的方程可得结果； （2）（ⅰ）先设直线再联立方程组结合韦达定理应用弦长公式得出长再应用点到直线距离得出面积化简后，换元应用基本不等式求解；（ⅱ）先设直线再联立方程组结合韦达定理得出，进而得出，再结合判别式得，换元解不等式即可证明. 【小问1详解】 设，则 由，所以， 又，所以， 故动点P的轨迹的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程：，， 联立方程组， 消去x，整理得：， ，得， ，， 所以弦长 ， 原点到直线l的距离， 所以， 令，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即，满足条件，解得， 所以直线l的方程为：或； （ⅱ）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程：，， 联立方程组， 消去x，整理得：， ，得， ，因为线段CD的中点为， 所以，化简得，因为，所以， 因为，所以，即得，解得或， 综上得出. 【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键是联立椭圆方程及点到直线距离得出面积后使用换元法结合基本不等式即可得出最大值并得出直线方程. 19. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）若曲线与直线有且仅有一个交点，求的取值范围； （3）若曲线在处的切线与曲线交于另外一点，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）曲线与直线有且仅有一个交点，即为只有一个根，构造新函数仅有一个零点，通过求导和对a分类讨论得到的单调性，即可确定范围； （3）求出曲线在处的切线方程，将其与联立，利用方程有解构造新函数并求导，利用单调性即可证明，再构造新函数并求导，利用单调性即可证明，综合即可得证. 【小问1详解】 由题可知，函数的定义域为， 所以，又因为 所以函数在处的切线方程为． 【小问2详解】 方法一： 若曲线与直线有且仅有一个交点，即方程 有且只有一个根， 设函数，即函数有唯一零点． 令，即 因为，所以 当即时，，所以在上单调递增，且 所以在上有唯一零点，符合题意． 当时，，使得 所以在上单调递增，在上单调递减． 又因为，所以；当时，， 所以满足，不合题意. 综上可得的取值范围为． 方法二： 若曲线与直线有且仅有一个交点，即方程 有且只有一个根，因为时满足方程， 所以要使得方程有且只有一个根，则当时方程无根，即函数与函数的图象没有交点． 设则 令 则 因为，所以， 所以函数在和上单调递增， 又因为 所以当时，即单调递减， 当时，即单调递增． 当时，，由洛必达法则得 ， 所以的取值范围为． 【小问3详解】 ，所以 曲线在处的切线方程为 ． 切线与联立得 设 令则或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 因为，所以，当时，， 所以，满足，所以； 因为，所以，要证即证， 即． 设 ， 所以在上单调递减，又，所以，所以． 当时成立． 综上可得：． 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数导数的综合应用，根据有交点列出方程，再将其构造成新函数，对新函数求导求得其单调性，利用单调性的性质求范围或证明不等式是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉峪关市酒钢三中高三年级第二次诊断考试 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知i是虚数单位，则复数在复平面上对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，为上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 一个蜂巢里有只蜜蜂.第天，它飞出去找回了个伙伴；第天，只蜜蜂飞出去，各自找回了个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂(　　) A. B. C. D. 5. 设为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 从0，2，3，4，6五个数字中，任取出两个不同的数字组成两位数，则在这些两位数中十位数字比个位数字大的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 直线与圆相交于A，B两点，则最小值时，a的值是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. ， B. 若，且，则的最小值是9 C. ，则 D. 是的充要条件 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若，且的最小值为，则函数的最小正周期为 C. 若的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上恰有2个零点，则的取值范围为 11. 意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现数列1，1，2，3，5，8，13，……数列中的每一项称为斐波那契数，记作．已知．则（ ） A. B. C. 若斐波那契数除以4所得的余数按照原顺序构成数列，则 D. 若．则 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 王老师为了了解本班学生每周购买零食的支出情况，利用分层抽样抽取了一个10人的样本，统计结果如下： 人数 平均支出（元） 方差 男生 6 35 6 女生 4 40 4 则该班学生每周购买零食的支出的总方差为______． 13. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______. 14. 数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为（点为轴正半轴上的点），滚动过程中点形成的轨迹记为星形线.有如下结论： ① 曲线上任意两点间距离的最大值为； ② 曲线的周长大于曲线的周长； ③ 曲线与圆有且仅有个公共点. 其中正确的序号为________________. 四、解答题 15. 已知函数.在中，，且. （1）求的大小： （2）若，，求的面积. 16. 在新高考的数学试卷中，有4道题为多项选择题，在每个试题所给的4个选项中有多项符合题目要求，其评分规则为：全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分． （1）若某两个多项选择题中分别有2个和3个正确选项．如果小茗同学不能判断两个题中任何一个选项是否符合题目要求．他每个题均随机选取了2项，记他这两题的总得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）若某个多项选择题所给的四个选项中有3个符合题目要求，小茗同学只能判断其中的一个选项符合题目要求，不能判断其它选项是否符合题目要求，若你是小茗同学，除了能判断的符合题目要求的选项外，从得分均值的角度分析，你是否再随机选取1个或2个选项作为答题结果？请说明理由． 17. 如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面. （1）求证：平面平面. （2）求二面角的余弦值. （3）为平面内一点，若平面，求的长. 18. 已知A为圆O：上一点，过点A作y轴的垂线交轴于点B，点P满足. （1）求动点P的轨迹的方程； （2）已知斜率为k的直线l与曲线交于C，D两点. （ⅰ）若直线l过点，当的面积最大时，求l的方程； （ⅱ）若线段CD的中点为（）．证明：. 19. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）若曲线与直线有且仅有一个交点，求的取值范围； （3）若曲线在处的切线与曲线交于另外一点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $