精品解析：江苏苏州市南京航空航天大学苏州附属中学2025-2026学年第二学期高一年级四月限时训练

南航苏州附中2025—2026学年第二学期 高一年级四月限时训练 命题人：史玉花 审核人：周慧玲 一、单选题 1. 在中，，，且的面积为5，则角的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 【答案】C 【解析】 【详解】的面积， 所以，解得. 因为， 所以角的大小为30°或150°. 2. 已知，不共线，，，（），若A，B，C三点共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，根据共线得到方程，求出答案. 【详解】， ， 因为A，B，C三点共线，所以，即， 因为不共线，故， 解得. 故选：A 3. 已知向量满足，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 4. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，，，，则（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】用基底表示出目标向量，利用数量积运算可得答案. 【详解】由题意可得，， 所以 因为，，，所以， 所以. 故选：B 5. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故． 故选：D． 6. 在中，内角的对边分别为，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 7. 已知，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用正弦的和差角公式得到，从而得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，即， 所以， 整理得到，又，，则，且易知， 所以，且 则， 又，当且仅当时取等号， 所以. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ）． A. 1 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据 与三角形内角和，利用正弦定理将 、 转化为关于 的表达式，再令 把原式化为对勾函数，最后用基本不等式求出最小值并验证等号成立条件. 【详解】在中，，由得，所以. 由正弦定理，，则，即. 由，，则， . 故. 原式， 代入得：. 令，由得，故. 原式化为，. 由均值不等式得，当且仅当即时取等号 符合条件，故，即原式最小值为. 二、多选题 9. 已知非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 向量与向量垂直 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据条件，利用数乘向量的定义得到，即可判断；对B，根据条件，利用数量积的运算律及模的定义，即可判断；对C，根据条件，利用数量积的定义，得到，即可判断；对D，根据条件，结合数量积的运算律，得到，即可求解. 【详解】对于A，因为为非零向量，若，则，故，故A正确； 对于B，若， 则，故，故В正确； 对于C，若，则， 得到，不能确定，故C错误； 对于D，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由正切关系得到正余弦关系，结合，分别求出和，判断出AB选项，再由二倍角公式和和差角公式判断出CD选项. 【详解】∵，即， ∴， ∴， ∴，B选项正确， ∴，A选项错误， ∴ ，C选项正确 ， ∵，∴，∴，D选项错误. 故选：BC 11. 的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，，则面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理即可判断，对于B，由正弦定理结合大边对大角可判断，对于C，根据向量线性关系及数量积的几何意义可判断，对于D，由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可判定. 【详解】A选项，在中，由得，即，所以； B选项，由正弦定理得即，解得， 又因为，所以，所以只能是锐角，所以只有一解，B错误； C选项，和分别表示与和同方向的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 又由结合菱形性质知的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形且， 又因为，且， 所以，所以是等边三角形，C正确； D选项，因为，，所以由余弦定理得， 当且仅当时取等号，即， 所以，D正确. 三、填空题 12. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式整理原式，再将所求角转化为已知角的形式，最后结合诱导公式和二倍角公式求解. 【详解】根据题意得. 由已知得，即， 故 . 13. 在，内角的对边分别为，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换公式，化简得到，得到，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 整理得 可得， 所以，即，可得. 14. 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______. 【答案】8. 【解析】 【详解】，又，因此 即最小值为8. 【考点】三角恒等变换，切的性质应用 【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边． 四、解答题 15. （1）已知，，其中，．求角的正弦值． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1）由，得， 又，故， 由同角三角函数关系得. 由，，得，. （2）原式. 因为，所以原式 由辅助角公式可得， 代入得原式. 由和差化积公式可得：， 故原式. 16. 已知向量、满足，，且． （1）若，求实数的值； （2）求； （3）求与的夹角． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用向量的数量积的运算律，得到，再利用垂直的向量表示，即可求解； （2）利用向量的模长计算公式，即可求解； （3）先计算出，再利用向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 因为，又，， 所以，又，则， 得到，解得. 【小问2详解】 因为，所以. 【小问3详解】 因为，又，， 所以，又，所以. 17. 已知，，函数. （1）求函数的解析式及周期； （2）若，且，求的值. （3）角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据余弦定理结合基本不等式计算求解即可. 【小问1详解】 . 周期； 【小问2详解】 由可知，，化简得， ，，， ； 【小问3详解】 由可得，即， 又，则，则，所以. 由余弦定理知： ， 当且仅当时“”成立， 此时为等边三角形， 又所以的周长的最大值为. 18. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求． （2）若，请再从条件①、②、③中选择一个合适的条件作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． ①边上的中线长为；②；③角的平分线长为． 【答案】（1） （2）选① ；选②不合，因为三角形不唯一；选③ . 【解析】 【分析】（1）使用二倍角公式、余弦定理、正弦定理求解； （2）选①，在中使用余弦定理计算并计算面积，选②，在中由余弦定理计算并计算面积，选③，在中，由余弦定理计算，并分析角的大小求解. 【小问1详解】 由二倍角公式得：， 整理得：， 由正弦定理得：，，，代入上式可得： ，即， 由余弦定理，可得，， 因为，所以. 【小问2详解】 若选条件①，记边上的中线为，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得或（舍）， 所以. 若选条件②，在中由余弦定理得， 即，解得或3，此时与题目中存在且唯一确定矛盾； 若选条件③，记角的角平分线为，，在中，由余弦定理得：， ，，， ，， . 19. 如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． （1）当时，求防护网的总长度； （2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； （3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3）时，面积取最小值为 【解析】 【分析】（1）在中利用余弦定理可求得，可知为正三角形，由此可得结果； （2）设，由可得；在中，利用正弦定理可得；由此可构造方程求得； （3）设，由（2）知；在中，利用正弦定理可得，根据，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦函数的最值可确定所求最小值. 【小问1详解】 在中，，，，则， 在中，由余弦定理得：， 即，则，可得， 可知为正三角形，其周长为，即防护网的总长度为. 【小问2详解】 设， 因为，即，可得， 在中，由得：， 即，可得， 又因为，则， 则，解得，所以. 【小问3详解】 设，由（2）知：， 在中，由得：， 则， 当且仅当，即时，面积取最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南航苏州附中2025—2026学年第二学期 高一年级四月限时训练 命题人：史玉花 审核人：周慧玲 一、单选题 1. 在中，，，且的面积为5，则角的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 2. 已知，不共线，，，（），若A，B，C三点共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知向量满足，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，，，，则（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 5. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角的对边分别为，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 7. 已知，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ）． A. 1 B. C. D. 5 二、多选题 9. 已知非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 向量与向量垂直 10. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 11. 的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，，则面积的最大值为 三、填空题 12. 已知，则________. 13. 在，内角的对边分别为，若，则______． 14. 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______. 四、解答题 15. （1）已知，，其中，．求角的正弦值． （2）化简：． 16. 已知向量、满足，，且． （1）若，求实数的值； （2）求； （3）求与的夹角． 17. 已知，，函数. （1）求函数的解析式及周期； （2）若，且，求的值. （3）角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值. 18. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求． （2）若，请再从条件①、②、③中选择一个合适的条件作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． ①边上的中线长为；②；③角的平分线长为． 19. 如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． （1）当时，求防护网的总长度； （2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； （3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $