精品解析：广东雷州八中（初中）教育集团2025-2026年度第二学期九年级4月联测试卷（数学）

2025-2026年度第二学期雷州八中（初中）教育集团 九年级4月联测试卷（数学） 说明：1．全卷共7页，共23小题，满分为120分。考试用时为120分钟． 2．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．作答选择题时，选出每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹签字笔或钢笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束后，将试题和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数的直接求解即可． 【详解】解：与只有符号不同的数为， 的相反数是． 2. 如图所示几何体，由5个完全相同的正方体组合而成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查小正方体的组合体的三视图，掌握三视图的概念是解题关键． 根据三视图的概念逐项判断即可． 【详解】解：根据三视图的概念，主视图为正方向上看所得图形， 其中C选项符合该特征， 故选：C． 3. 钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为0.0008千克．数据“0.0008”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，得到，得到，进而求解即可． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ，． ． ． ， ， ∴． 故选：C． 5. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴二次根式的被开方数需满足非负条件，即， 解得． 6. 如图，菱形的一边的中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由菱形对角线相互垂直得到是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出菱形边长即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，，则， 在中，点是的中点，则， 菱形的周长为． 7. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点、的坐标，再利用勾股定理求出的长，最后利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令，则；令，则，解得：； ，， ，， 在中，， ． 8. 如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（ ） A. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出被墨水污染部分的文字是解题的关键． 由表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价总价数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． 故选：D． 9. 如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴是等边三角形． ∴． ∴的长为． 故选：D． 10. 定义：若某函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，则称该函数为“自反”函数，该点为“反点”．已知二次函数（为常数，）是“自反”函数，且该函数图象上有唯一的“反点”，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“反点”定义，反点满足，代入二次函数得到关于的一元二次方程，由“唯一反点”可知方程有唯一解，利用一元二次方程根的判别式等于求解即可． 【详解】解：∵“反点”坐标满足横纵坐标互为相反数，即，且“反点”在二次函数图象上， ∴将代入，得:， 整理得， ∵该二次函数有唯一的“反点”， ∴上述一元二次方程有两个相等的实数根，判别式， ∵， ∴令， 解得． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解． 【详解】解： ． 12. 如图，直线，直线分别交、于点E、F，平分，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，，再结合角平分线的定义求解即可． 【详解】解：，， ，， 平分， ， 13. 抛物线的顶点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：抛物线的解析式是二次函数的顶点式，二次函数顶点式的一般形式为（），其顶点坐标为， ∴该抛物线的顶点坐标为． 14. 若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法；由条件得，再由同底数幂的除法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 15. 如图，在中，、是弦，是直径，是半径且交于点D，请写出三个不同类型的结论________________________________________． （请注意：结论不要添加新字母，不要添加辅助线） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质，三角形中位线定理等，写出不同类型的结论即可 【详解】解：结论①：， 理由：直径所对的圆周角是直角； 结论②：， 理由：直径所对的圆周角是直角； 结论③：， 理由：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行； 结论④：， 理由：， ， ， ； 结论⑤：， 理由：垂径定理（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）； 结论⑥： 理由：垂径定理（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）； 结论⑦：是的中位线； 点是的中点，点是的中点， 是的中位线； （答案不唯一） 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】1 【解析】 【详解】解： . 17. 先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号内通分相加，再将除法化为乘法约分化简，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，得出的值，代入计算即可． 【详解】解： ， a、2、4恰好是等腰的三边长， 或， 当时，等腰三角形的三边长为2、2、4，不能构成三角形，不符合题意； 当时，等腰三角形的三边长为2、4、4，能构成三角形，符合题意； ， ． 18. 如图，在中，，，． （1）实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找一点，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据，得，问题转化为过点A作的垂线，垂足即为所求． （2）求得，，结合列出比例式，代入计算即可． 【小问1详解】 解：所作图形如图所示， 【小问2详解】 解：∵中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用x表示，分为四个等级：（A：，B：，C：，D：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 a 乙 86 b 87 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数； （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择的概率． 【答案】（1）， ， （2）对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为144人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数，以及等级的人数占比求解即可； （2）用总人数乘以对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户占比求解即可； （3）根据题意画树状图，在利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：甲款评分数据中，85出现了4次，次数最多， ； 乙款聊天机器人的20份评分数据中，中位数为第10和11个评分的平均数， 乙款聊天机器人的评分中，、等级的人数为（人）， 中位数为等级中，第2和3个评分的平均数， ； 乙款等级人数为8人， 等级人数占比为， 等级人数占比为， ， ； 【小问2详解】 解：在乙款调查用户中，非常满意的人数为4人，在甲款用户中，非常满意的人数为6人， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为（人）． 答：对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为144人． 【小问3详解】 解：画树状图列出所有可能的结果为： 共有9种等可能的结果数，其中两人中至少有一人选择的结果数为5种， 故两人中至少有一人选择的概率为． 20. 2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元． （1）求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？ （2）该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？ 【答案】（1）每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元； （2）最多能购买A型机器人台． 【解析】 【分析】（1）设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元，根据购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台，根据总费用不超过50000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元； 【小问2详解】 解：该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台， 由题意得：， 解得：， 答：最多能购买A型机器人台． 21. 综合与实践 为避免伤害器官，医学领域发明了一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．如图，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图）．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器，采用新型检测技术的测量获得相关数据，方案如下 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，完成下面两个任务（结果精确到） （1）任务：利用数据计算出处到光线的距离． （2）任务：利用数据计算出新生物到皮肤的距离． （参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）过点作，构造直角三角形，利用和，在中由代入计算，得，即到的距离； （）过点作，构造两个直角三角形，用分别表示，根据列方程求解，得，即到皮肤的距离． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 由题意得，， 在中，， 即：， ， 答：处到光线的距离为； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为． 由题意得，，， 在中，． 在中，． ， ， ． 答：新生物处到皮肤的距离约为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 根据要求解决问题： （1）【新知探究】 对于正数a、b，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： a，b的值 的值 的值 ， 5 4 ， 4 4 ， 4 m ， 3 ①表格中的________； ②根据表格，猜想________（比较大小） （2）【理解应用】 ①已知，，当________时，代数式取得最大值是________； ②如图1，已知，在中，，，求周长的最大值． （3）【拓展提升】 如图2，已知正方形的边长为4，P为边上的动点，交于E，过点E作交边于点F，连交于点G，求面积的最小值． 【答案】（1）①；② （2）①，100；② （3） 【解析】 【分析】（1）①根据几何平均数的定义求；②根据表格猜想结论即可； （2）①观察表格发现，当时，；当时，，据此可得当时，代数式取得最大值，即可得解；②由勾股定理可得，则，当时，最大，最大值为18，即可得解； （3）连接交于，连接，根据正方形和等腰三角形的性质，推出，根据可知，当时，最小，此时是的垂直平分线，过作于，过作于，根据角平分线的性质，设，则，根据的长列方程得出，即可求解． 【小问1详解】 解：①由题意可得：； ②根据表格猜想：； 【小问2详解】 解：①观察表格发现，当时，；当时，； 当时，代数式取得最大值， 时，最大值为100； ②在中，，， ， ， 当最大，则最大， ，， 当时，最大，最大值为18， 周长的最大值为：； 【小问3详解】 解：如图，连接交于，连接， 由正方形的对称性可得：，， 正方形的边长为4， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ， 当时，最小； 此时是的垂直平分线， ，， ∴， ∵， ， ， 过作于，过作于，则， 设， ， ， ， ， 解得：， ， ， 面积的最小值是． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，，，双曲线与矩形的两边、分别交于D、E两点，连接、、，将沿翻折后得到． （1）探究一：如图2，若点D为中点时，点又恰好落在线段上，点E的纵坐标为________（用含n的式子表示）； （2）探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积： （3）探究三：如图4，若点D在直线上，是否存在m的值使点落在x轴上，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到的坐标，进而求出D的坐标，可知，将的横坐标代入反比例函数解析式计算即可； （2）证明四边形是正方形，证，即可求得，设，则，则可表示出的坐标，代入反比例函数解析式，即可求得，则面积即可求解； （3）首先解方程组求得的坐标，利用表示出的长度，作于点，则，根据相似三角形的对应边的比相等求得的长，即可求得，求得的长，则的横坐标即可求得，代入反比例函数解析式即可求得纵坐标． 【小问1详解】 解：，，矩形， 的坐标是， ∵点D为中点， 的坐标是：， 在双曲线上， ， 又的横坐标是，把代入， 则， 点E的纵坐标为； 【小问2详解】 解：设正方形的边长是，则，， 则的坐标是：，的坐标是， 则， ． 四边形是正方形． ∴，，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ， 又平分， ， ， 设，则， ∴的坐标是， 代入得：， ∴， ∴正方形的面积是； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：或（舍去）， 则的坐标是． ∵的横坐标是， ∴的横坐标是， ∴， ∵将沿翻折后得到， ∴， 在中，当时，， ，， 如图所示，作于点． 折叠， ， ， 又， 则， ， ， 解得：， ∴在中，， 则， ， ， 把代入中得：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度第二学期雷州八中（初中）教育集团 九年级4月联测试卷（数学） 说明：1．全卷共7页，共23小题，满分为120分。考试用时为120分钟． 2．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．作答选择题时，选出每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹签字笔或钢笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束后，将试题和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示几何体，由5个完全相同的正方体组合而成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为0.0008千克．数据“0.0008”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的一边的中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（ ） A. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 9. 如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 定义：若某函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，则称该函数为“自反”函数，该点为“反点”．已知二次函数（为常数，）是“自反”函数，且该函数图象上有唯一的“反点”，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：______． 12. 如图，直线，直线分别交、于点E、F，平分，若，则__________． 13. 抛物线的顶点坐标为_______． 14. 若，则______． 15. 如图，在中，、是弦，是直径，是半径且交于点D，请写出三个不同类型的结论________________________________________． （请注意：结论不要添加新字母，不要添加辅助线） 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值． 18. 如图，在中，，，． （1）实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找一点，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，求的长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用x表示，分为四个等级：（A：，B：，C：，D：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 a 乙 86 b 87 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数； （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择的概率． 20. 2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元． （1）求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？ （2）该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？ 21. 综合与实践 为避免伤害器官，医学领域发明了一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．如图，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图）．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器，采用新型检测技术的测量获得相关数据，方案如下 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，完成下面两个任务（结果精确到） （1）任务：利用数据计算出处到光线的距离． （2）任务：利用数据计算出新生物到皮肤的距离． （参考数据：，，，，，） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 根据要求解决问题： （1）【新知探究】 对于正数a、b，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： a，b的值 的值 的值 ， 5 4 ， 4 4 ， 4 m ， 3 ①表格中的________； ②根据表格，猜想________（比较大小） （2）【理解应用】 ①已知，，当________时，代数式取得最大值是________； ②如图1，已知，在中，，，求周长的最大值． （3）【拓展提升】 如图2，已知正方形的边长为4，P为边上的动点，交于E，过点E作交边于点F，连交于点G，求面积的最小值． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，，，双曲线与矩形的两边、分别交于D、E两点，连接、、，将沿翻折后得到． （1）探究一：如图2，若点D为中点时，点又恰好落在线段上，点E的纵坐标为________（用含n的式子表示）； （2）探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积： （3）探究三：如图4，若点D在直线上，是否存在m的值使点落在x轴上，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $