精品解析：山东省青岛市市南区青岛超银中学2025-2026学年下学期3月质量评估八年级数学

2025-2026学年度第二学期3月质量评估 八年级数学 时间：120分钟；分数：120分 一、单选题（每小题2分，共20分） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数必须大于或等于零进行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选B． 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽的因数（即不含平方因子）且被开方数不含分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； D、是最简二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 3. 在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先将各选项化简，再找到被开方数为a的选项即可． 【详解】解：A、与被开方数不同，故不是同类二次根式； B、与被开方数不同，故不是同类二次根式； C、与被开方数相同，故是同类二次根式； D、与被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选：C． 4. 下列各组数据中的三个数作为三角形的三条边长，不能构成直角三角形边长的是（　　） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 7，24，25 D. 8，12，16 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理．根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 故选：D． 5. 若四边形的对角线互相平分，则四边形一定是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：四边形的对角线互相平分，则四边形一定是平行四边形 故选：A． 6. 如图，在中，点，分别是，的中点，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形中位线定理计算即可解题． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7. 如图，等腰中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（ ） A. 12 B. 8 C. 15 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出周长，再根据等腰三角形两腰相等可得，代入数据计算即可得解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 周长， 腰长， ， 周长． 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两腰相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 8. 估算的结果在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，先利用二次根式的乘法法则进行计算，然后再估算出的值的范围，从而估算出的值的范围，即可解答．准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴估算的结果在和之间． 故选：C． 9. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征．熟悉关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 两个点关于轴对称，则它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此计算即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，且， ∴， ∴． 故选：． 10. 如图，平行四边形中，，点在四边形内，且，，连接，若，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过延长交于，构造直角三角形与全等三角形，先证得到，结合勾股定理求出、的长度，再利用直角三角形的性质与勾股定理求出，最终得到的长度，同时逐一判断选项． 【详解】解：延长交于． ∵四边形是平行四边形 ∴，，，， ∴, ∵，， ∴, ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴（）， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（每空2分，共12分） 11. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 如图，菱形的顶点在圆上，连接并延长交圆于点，连接，若，则四边形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，先求出圆的半径，根据菱形的性质得到，根据勾股定理求出，进而可知四边形的面积． 【详解】解：连接交于点，如图． 由，得， ∴圆的半径． 因此． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，有一圆柱油罐，已知油罐的底面圆的周长是米，高是5米，要从点起环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好到达点的正上方点，则梯子最短_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆柱侧面展开图与勾股定理的应用，关键是将圆柱侧面展开为长方形，利用“两点之间线段最短”确定梯子的最短路径为矩形的对角线，再用勾股定理求解． 【详解】解：将圆柱的侧面沿展开，得到一个长方形，该长方形的长为底面圆的周长米，宽为圆柱的高米． 梯子的最短路径即为这个长方形的对角线长度， 根据勾股定理：． 故答案为：． 14. 如图，中，，，，、分别为，的中点，为上一点，且满足，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质． 先由勾股定理求出，证明是的中位线，得到，再证明，则，即可求出． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵D、E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 15. 如图，在中，，，当______时，四边形是菱形． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键． 由菱形的性质得出，再由勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：24． 16. 不等式对任意的实数x都能成立，则a的条件为________． 【答案】 【解析】 【分析】先整理不等式为，然后根据题意可得解方程即可解题． 【详解】解：∵， ∴， 要使任意的实数x都能成立， 则解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式的解的解题，熟练掌握求不等式的解集是解题的关键． 三、解答题（88分） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出答案； （2）先计算特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂，再去绝对值，最后计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在矩形中，E，F分别是，边上的两点，若，．求证：． 【答案】 证明：四边形是矩形， ， ． ， ， ． 在和中，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．利用等角的余角相等求得，再利用即可证明，即可得到． 【详解】略 19. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米． （1）求这块空地的面积． （2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？ 【答案】（1）24平方米 （2）总共需投入4800元 【解析】 【分析】（1）连接，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后根据三角形面积公式计算即可； （2）用总面积乘以每平方米草皮需要的钱数即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵米，米，， ∴米， ∵米，米，且， ∴， ∴是直角三角形，， ∴这块空地的面积（平方米）； 【小问2详解】 （元）， 答：总共需投入4800元． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是掌握：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 20. 图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中画，使． （2）在图②中画，使，其中点E在边上． （3）在图③中画，使，其中点M在边上（与（2）中的位置不同）． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 如图，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了根据全等三角形的判定，勾股定理．解题的关键在熟练掌握全等的判定，勾股定理． （1）根据全等三角形，三边分别对应相等，作图即可； （2）根据全等三角形，三边分别对应相等，作图即可； （3）根据全等三角形，三边分别对应相等，作图即可． 【小问1详解】 解： ∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴． 21. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【答案】 证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则． ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】略． 22. 如图，在中，平分，交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长和的面积． 【答案】（1） 证明：在中， ， ， 平分， ， ， ， （2），的面积 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到； （2）根据线段的和差得到；过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ； 过作交的延长线于， ， ， ， ， ， 的面积． 23. （综合与实践）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，，． （1）操作发现：操作一：将矩形纸片折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平得到图1，则四边形是什么特殊四边形？（不用说明理由） （2）实践探究：操作二：如图2，在矩形纸片中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①判断与折痕的位置关系，并说明理由； ②求的长． （3）拓展应用：如图3，若M为上任意一点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接，当点A与点距离最小时，求的长． 【答案】（1）四边形是菱形 （2） ①， 理由如下：连接交于点E， 由翻折可知：垂直平分， 所以，， 因为点为的中点， 所以是的中位线， 因此，即； ② （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，设与交于点O，由翻折可知，，是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，，由矩形的性质可得，推出，，证明得出，即可得证； （2）①连接交于点E，由翻折可知垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，证明是的中位线，得出，即可得解；②连接交于点E，由翻折可知垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，求出，由勾股定理可得，由等面积法求出，得出，最后再由勾股定理计算即可得解； （3）连接，由勾股定理可得，，得出当，，在同一条直线上时，点与点距离最小，最后由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形． 理由如下：如图，连接，，设与交于点O， 由翻折可知：，，是的垂直平分线， 即有，， 因为四边形是矩形，有， 所以，， 所以， 于是，所以四边形是平行四边形， 又因为，因此四边形是菱形． 【小问2详解】 解：①略 ②如图，连接交于点E， 由翻折可知：垂直平分， 所以，， 在矩形纸片中，，， 因为点为的中点，所以， 在中，， 因为， 所以， 而， 又因为，，所以， 所以， 所以． 【小问3详解】 解：如图，连接， 在矩形中，，， 于是， 因为， 当，，在同一条直线上时，点与点距离最小， 此时， 设，则， 由翻折可知：， ， ， 解得：，即． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理、矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期3月质量评估 八年级数学 时间：120分钟；分数：120分 一、单选题（每小题2分，共20分） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列各组数据中的三个数作为三角形的三条边长，不能构成直角三角形边长的是（　　） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 7，24，25 D. 8，12，16 5. 若四边形的对角线互相平分，则四边形一定是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 6. 如图，在中，点，分别是，的中点，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 7. 如图，等腰中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（ ） A. 12 B. 8 C. 15 D. 13 8. 估算的结果在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 9. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形中，，点在四边形内，且，，连接，若，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（每空2分，共12分） 11. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 12. 如图，菱形的顶点在圆上，连接并延长交圆于点，连接，若，则四边形的面积为_____． 13. 如图，有一圆柱油罐，已知油罐的底面圆的周长是米，高是5米，要从点起环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好到达点的正上方点，则梯子最短_____米． 14. 如图，中，，，，、分别为，的中点，为上一点，且满足，则_____． 15. 如图，在中，，，当______时，四边形是菱形． 16. 不等式对任意的实数x都能成立，则a的条件为________． 三、解答题（88分） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 如图，在矩形中，E，F分别是，边上的两点，若，．求证：． 19. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米． （1）求这块空地的面积． （2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？ 20. 图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中画，使． （2）在图②中画，使，其中点E在边上． （3）在图③中画，使，其中点M在边上（与（2）中的位置不同）． 21. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 22. 如图，在中，平分，交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长和的面积． 23. （综合与实践）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，，． （1）操作发现：操作一：将矩形纸片折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平得到图1，则四边形是什么特殊四边形？（不用说明理由） （2）实践探究：操作二：如图2，在矩形纸片中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①判断与折痕的位置关系，并说明理由； ②求的长． （3）拓展应用：如图3，若M为上任意一点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接，当点A与点距离最小时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $