精品解析：山东省青岛市市南区海信学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试卷

八年级数学阶段性素养提升 一、选择题（共7小题） 1. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（ ） A. 至少有一个内角是直角 B. 至少有两个内角是直角 C. 至多有一个内角是直角 D. 至多有两个内角是直角 3. 若三边分别是a，b，c，则下列条件能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ，， 4. 如图，点的坐标是，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标不可能是（ ） A. （2，0） B. （4，0） C （－，0） D. （3，0） 5. 如图，三条公路两两相交，现计划在中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是（ ） A. 三条中线交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 6. 如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ） A. x≥4 B. x≤4 C. x≥1 D. x≤1 7. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（ ） A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 8. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于F，交于E，过点O作于D，下列四个结论： ①；②；③当时，E，F分别是，的中点：④若，，则．其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（共8小题） 9. 命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是______ 10. 若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围______． 11. 若等腰三角形的周长是，一条边长为，则它的腰长为______． 12. 如图，在中，，在边的右侧作等边，连接，则的度数为_____________． 13. 如图，直线y1＝mx经过P(2，1)和Q(－4，－2)两点，且与直线y2＝kx＋b交于点P，则不等式kx＋b＞mx＞－2的解集为_________________． 14. 若不等式组恰有四个整数解，则的取值范围是______． 15. 一种苹果的进价是每千克1.9元，销售中估计有5%的苹果正常损耗，商家把售价至少定为_____元，才能避免亏本． 16. 如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，BM为的角平分线，l与BM相交于点P．若，，则的度数为________________． 三、解答题（共6小题） 17. 已知：△ABC中，边BC上一点D 求作：等腰△PBD，使BD为等腰△PBD的底边，且点P到AC，BC两边的距离相等． 18. 解下列不等式，并把（1）解集表示在数轴上． （1）4x+5≥6x-3． （2） （3）解下列不等式组 （4）解不等式组，并写出它所有整数解． 19. 川剧脸谱是川剧表演艺术中重要的组成部分，是历代川剧艺人共同创造并传承下来的艺术瑰宝．成都某商家准备购进甲、乙两种川剧变脸玩具，若购进甲种川剧变脸玩具20个，乙种川剧变脸玩具18个，需花费630元；若购进甲种川剧变脸玩具12个，乙种川剧变脸玩具22个，需花费546元． （1）求甲、乙两种川剧变脸玩具的单价； （2）该商家将甲、乙两种川剧变脸玩具的售价分别定为30元/个、25元/个，根据销售情况，该商家决定再购进甲、乙两种川剧变脸玩具共100个，计划购买成本不超过1620元，且购进的甲种川剧变脸玩具的数量不少于乙种川剧变脸玩具数量的．当两种川剧变脸玩具销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 20. 如图，在中，，，垂直平分线分别交和于点D，E，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 21. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动、且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）出发1秒后，求的周长； （2）当t为几秒时，平分； （3）问t为何值时，为等腰三角形？ 22. 如图，在中，是的平分线，于，于，试猜想与之间有什么关系？并证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学阶段性素养提升 一、选择题（共7小题） 1. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，即可求解． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、当时，，则，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（ ） A. 至少有一个内角是直角 B. 至少有两个内角是直角 C. 至多有一个内角是直角 D. 至多有两个内角是直角 【答案】B 【解析】 【分析】本题只需根据在反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，可据此进行分析，得出答案. 【详解】根据反证法的步骤,则可假设为三角形中有两个或三个角是直角. 故选B. 【点睛】本题考查的知识点是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，反证法的步骤是：1.假设结论不成立；2.从假设出发推出矛盾；3.假设不成立，则结论成立. 3. 若的三边分别是a，b，c，则下列条件能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，利用三角形内角和定理求出中最大的内角度数即可判断A、B；利用勾股定理的逆定理：三角形中两较小边的平方和等于最大边的平方，那么该三角形是直角三角形，即可判定C、D． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴不能判断是直角三角形，不符合题意； B、∵，， ∴， ∴不能判断是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴不能判断直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴能判断是直角三角形，符合题意； 故选D． 4. 如图，点的坐标是，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标不可能是（ ） A. （2，0） B. （4，0） C. （－，0） D. （3，0） 【答案】D 【解析】 【详解】解：（1）当点P在x轴正半轴上， ①以OA为腰时， ∵A的坐标是（2，2）， ∴∠AOP=45°，OA=， ∴P的坐标是（4，0）或（，0）； ②以OA为底边时， ∵点A的坐标是（2，2）， ∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP=AP； （2）当点P在x轴负半轴上， ③以OA为腰时， ∵A的坐标是（2，2）， ∴OA= ， ∴OA=AP= ∴P的坐标是（-，0）． 故选：D． 5. 如图，三条公路两两相交，现计划在中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内心的性质解答即可． 【详解】△ABC三个内角的平分线交于一点，且到三边的距离相等，所以探照灯的位置是三条角平分线的交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形内心的性质，即三角形的三个内角的平分线交于一点，且到三边的距离相等． 6. 如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ） A x≥4 B. x≤4 C. x≥1 D. x≤1 【答案】D 【解析】 【详解】根据函数图像可得：当时，，即.故选D 考点：一次函数与不等式 7. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（ ） A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键．先利用题中作法得出和垂直平分，再利用线段垂直平分线的性质得出，最后利用线段的和差即可解决． 【详解】解：由作图可知， 分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点． 垂直平分， ， 的周长为， ，， 的周长为， 故选：D． 8. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于F，交于E，过点O作于D，下列四个结论： ①；②；③当时，E，F分别是，的中点：④若，，则．其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形三边关系、平行线的性质，根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质定理判断④． 【详解】解：∵在中，和的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴，故②正确； 当时，， ∴、不是、的中点，故③错误； 作于， ， ∵和的平分线相交于点O， ∴点在的平分线上， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的是①②④， 故选：C． 二、填空题（共8小题） 9. 命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是______ 【答案】如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，找出已知命题的题设和结论，即可写出其逆命题． 【详解】解：“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的题设为：如图一个三角形是等腰三角形，结论为：那么它底边上的高线和中线互相重合 ∴该命题的逆命题为：如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形 故答案为：如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形． 【点睛】此题考查的是写一个命题的逆命题，掌握逆命题的定义是解决此题的关键． 10. 若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及解集的确定，解题的关键是分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的已知解集确定参数a的取值范围． 先分别解不等式组中的两个不等式，得到各自的解集；再根据不等式组的解集为结合“同小取小”的原则，确定两个解集的公共部分与已知解集的关系，进而求出α的取值范围． 【详解】解：解不等式组 ①两边同乘6去分母： 展开： 移项： 合并同类项： 系数化为1（不等号方向改变）： ②移项： 合并同类项： 系数化为1（不等号方向改变）： 不等式组的解集为两个不等式解集的公共部分，即x 和的公共部分． 已知不等式组的解集是根据“同小取小”原则，可得． 故答案为：． 11. 若等腰三角形的周长是，一条边长为，则它的腰长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，涉及三角形三边关系、等腰三角形是有两条边相等等知识，利用等腰三角形性质结合题中条件即可求解，熟记等腰三角形性质，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：等腰三角形的周长是，一条边长为， 分两种情况：①底边长为；②腰长为；则： 当底边长为时，设腰长为，得，解得，符合题意，故腰长为； 当腰长为时，底边长为，三边长不能构成三角形，不符合题意； 故答案为：． 12. 如图，在中，，在边的右侧作等边，连接，则的度数为_____________． 【答案】30 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，由是等边三角形，得到，于是得到，由于，于是得到，即可得到结论． 【详解】解：，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； 故答案为：30． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 13. 如图，直线y1＝mx经过P(2，1)和Q(－4，－2)两点，且与直线y2＝kx＋b交于点P，则不等式kx＋b＞mx＞－2的解集为_________________． 【答案】－4＜x＜2 【解析】 【分析】将P（2，1）代入解析式y1=mx，先求出m的值为，将Q点纵坐标y=2代入解析式y=x，求出y1=mx的横坐标x=-4，即可． 【详解】解：观察图象得：当y2＞y1＞-2时，x的取值范围为-4＜x＜2． ∴不等式kx+b＞mx＞-2的解集为-4＜x＜2． 故答案为-4＜x＜2． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求出函数图象的交点坐标及函数与x轴的交点坐标是解题的关键． 14. 若不等式组恰有四个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组以及不等式组的整数解，正确解得该不等式组是解题关键．先求出不等式的解集，根据题意得出关于的不等式组，求出关于的不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， ∴该不等式组的解集为， ∵该不等式组恰有四个整数解，即， ∴，即． 故答案为：． 15. 一种苹果的进价是每千克1.9元，销售中估计有5%的苹果正常损耗，商家把售价至少定为_____元，才能避免亏本． 【答案】2 【解析】 【分析】设商家把售价应该定为每千克x元，因为销售中估计有5%的苹果正常损耗，故每千克苹果损耗后的价格为x（1﹣5%），根据题意列出不等式即可． 【详解】解：设商家把售价应该定为每千克x元， 根据题意得：x（1﹣5%）≥1.9， 解得，x≥2， 故为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克2元． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，准确计算是解题的关键． 16. 如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，BM为的角平分线，l与BM相交于点P．若，，则的度数为________________． 【答案】##32度 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得,根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得,再根据等边对等角可得,然后利用三角形的内角和等于列出方程求解即可. 【详解】 直线BM为的角平分线, . 直线l为BC的中垂线, , , , 在中,, 即, 解得 故答案为：32° 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线性质定理,角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识点,熟练掌握定理是解答本题的关键. 三、解答题（共6小题） 17. 已知：△ABC中，边BC上一点D 求作：等腰△PBD，使BD为等腰△PBD的底边，且点P到AC，BC两边的距离相等． 【答案】图见解析；作BD的垂直平分线，作∠ACB的角平分线 【解析】 【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题． 【详解】∵点P到AC，BC两边的距离相等， ∴点P在∠ACB的平分线上； ∵线段BD为等腰△PBD的底边， ∴PB=PD， ∴点P在线段BD的垂直平分线上， ∴点P是∠ACB的平分线与线段BD的垂直平分线的交点， 如图所示： 【点睛】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 18. 解下列不等式，并把（1）解集表示在数轴上． （1）4x+5≥6x-3． （2） （3）解下列不等式组 （4）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】（1）x≤4，数轴见解析；（2）x≤-1；（3）1≤x＜4；（4）＜x≤1，-2，-1，0，1 【解析】 【分析】（1）移项、合并同类项，把x的系数化为1，再在数轴上表示出来即可； （2）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1； （3）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集 （4）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集． 【详解】解：（1）移项得，4x-6x≥-3-5， 合并同类项得，-2x≥-8， 把x的系数化为1得，x≤4． 在数轴上表示为： ； （2） 去分母得，2（2x-1）-3（5x+1）≥6 去括号得，4x-2-15x-3≥6， 移项得，4x-15x≥6+2+3， 合并同类项得，-11x≥11， 把x的系数化为1得，x≤-1． （3） 由①得，x≥1， 由②得，x＜4， 故不等式组的解集为：1≤x＜4． （4） 由①得，x＞-， 由②得，x≤1， 所以不等式组解集为：-＜x≤1， 故它的所有整数解为：-2，-1，0、1． 【点睛】本题考查是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19. 川剧脸谱是川剧表演艺术中重要的组成部分，是历代川剧艺人共同创造并传承下来的艺术瑰宝．成都某商家准备购进甲、乙两种川剧变脸玩具，若购进甲种川剧变脸玩具20个，乙种川剧变脸玩具18个，需花费630元；若购进甲种川剧变脸玩具12个，乙种川剧变脸玩具22个，需花费546元． （1）求甲、乙两种川剧变脸玩具的单价； （2）该商家将甲、乙两种川剧变脸玩具的售价分别定为30元/个、25元/个，根据销售情况，该商家决定再购进甲、乙两种川剧变脸玩具共100个，计划购买成本不超过1620元，且购进的甲种川剧变脸玩具的数量不少于乙种川剧变脸玩具数量的．当两种川剧变脸玩具销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 【答案】（1）甲种川剧变脸玩具的单价是18元，乙种川剧变脸玩具的单价是15元； （2）销售的最大利润是1080元，相应的进货方案为：购进40个甲种川剧变脸玩具，60个乙种川剧变脸玩具． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设甲种川剧变脸玩具的单价是元，乙种川剧变脸玩具的单价是元，根据“购进甲种川剧变脸玩具20个，乙种用剧变脸玩具18个，需花费630元；购进甲种川剧变脸玩具12个，乙种川剧变脸玩具22个，需花费546元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设再次购进个甲种川剧变脸玩具，则购进个乙种川剧变脸玩具，根据“购买成本不超过1620元，且购进的甲种川剧变脸玩具的数量不少于乙种川剧变脸玩具数量的”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设再次购进的甲、乙两种川剧变脸玩具全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每个甲种川剧变脸玩具的销售利润购进甲种川剧变脸玩具的数量每个乙种川剧变脸玩具的销售利润购进乙种川剧变脸玩具的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设甲种川剧变脸玩具的单价是元，乙种川剧变脸玩具的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种川剧变脸玩具的单价是18元，乙种川剧变脸玩具的单价是15元； 【小问2详解】 解：设再次购进个甲种川剧变脸玩具，则购进个乙种川剧变脸玩具， 根据题意得：， 解得：， 设再次购进的甲、乙两种川剧变脸玩具全部售出后获得的总利润为元，则， 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为， 此时． 答：销售的最大利润是1080元，相应的进货方案为：购进40个甲种川剧变脸玩具，60个乙种川剧变脸玩具． 20. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得，再根据角的和差得，结合得，即可得证； （2）连接，证明，则，而，即可得解． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ∴在中，， ； 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下： 连接，如图所示： 是的垂直平分线， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义及性质，等边三角形的判定，含的直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 21. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动、且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）出发1秒后，求的周长； （2）当t为几秒时，平分； （3）问t为何值时，为等腰三角形？ 【答案】（1） （2） （3）当为或或或时，为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）分别求出，的长，即可求解； （2）过作，设，根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可； （3）分四种情形：如图3，当时，为等腰三角形，如图4，当时，为等腰三角形，如图5，若点在上，，如图6，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图1， ，，， ， 动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， 出发1秒后，则， ， 由勾股定理得：， 的周长为：； 小问2详解】 解：如图2，过作， 点恰好在的角平分线上，且，，， ，， ， ，． 设，则，， 中，， 即， 解得， ， ， ； 【小问3详解】 解：①如图3，若在边上时，， 此时用的时间为，为等腰三角形； ②若在边上时，有三种情况： 如图4，若使，此时，运动的路程为， 所以用的时间为，为等腰三角形； 如图5，若，作于点， ， ， ， 在中，， ， 运动的路程为， 则用的时间为，为等腰三角形； 如图6，若，此时应该为斜边的中点，运动的路程为， 则所用的时间为，为等腰三角形； 综上所述，当为或或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．解题时注意，需要作辅助线构造直角三角形． 22. 如图，在中，是的平分线，于，于，试猜想与之间有什么关系？并证明你的猜想． 【答案】垂直平分，证明见解析 【解析】 【分析】根据角平分线性质得出，推出在的垂直平分线上，，求出，推出，得出在的垂直平分线上，根据两点确定一条直线得出即可． 【详解】，平分， 证明：是的平分线，，， ， ， ，， ， ， 即， ， 在的垂直平分线上， ， 在的垂直平分线上， 即是的垂直平分线， ，平分． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定，两点确定一条直线等知识点，熟练掌握和运用这些性质定理是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $