精品解析：吉林长春市第十七中学2025-2026学年度高二年级下学期数学学科第一学程考试试题

长春市第十七中学 2025—2026学年度高二年级下学期数学学科第一学程考试试题 考试时间：120分钟 满分：150分 出题人：刘妍妍 刘雪峰 审题人：张莉静 郑帅 刘立波 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知动点满足，则动点的轨迹是（ ） A. 射线 B. 直线 C. 椭圆 D. 双曲线的一支 2. 已知等比数列，则（ ） A. 14 B. 32 C. 16 D. 54 3. 椭圆的离心率为（    ） A. B. C. D. 4. 已知数列为等比数列，是方程的两个实数根，则（   ） A. B. C. 4 D. 5. 若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 0 B. C. D. 7. 两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 设抛物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是数列中的项 C. 数列单调递减 D. 数列前7项和最大 11. 已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为 B. 双曲线C的实轴长为6 C. 双曲线C的离心率 D. 过双曲线C的右焦点的直线与圆M交于A，B两点，则弦长 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第__________项. 13. 已知数列满足，则_________. 14. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 四．解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 16. 已知数列的前项和 ， （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 已知数列的首项，且满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和. 18. 已知双曲线C的渐近线为，且过点． （1）求双曲线C的方程； （2）若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长． 19. 已知数列的首项为，且满足，数列满足，且． （1）求，的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第十七中学 2025—2026学年度高二年级下学期数学学科第一学程考试试题 考试时间：120分钟 满分：150分 出题人：刘妍妍 刘雪峰 审题人：张莉静 郑帅 刘立波 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知动点满足，则动点的轨迹是（ ） A. 射线 B. 直线 C. 椭圆 D. 双曲线的一支 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得. 【详解】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线. 故选：A. 2. 已知等比数列，则（ ） A. 14 B. 32 C. 16 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的下标和性质即可得出答案. 【详解】由题意可知. 故选：B 3. 椭圆的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由离心率定义即可求解. 【详解】将原方程，整理得标准形式： ， 因此，，得； 根据椭圆关系，代入得，即， 离心率. 4. 已知数列为等比数列，是方程的两个实数根，则（   ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是方程的两个不同实根， 所以，，所以， 因为是等比数列，所以，所以， 又因为，所以. 5. 若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解. 【详解】因为抛物线的准线为， 由题意可得：，解得. 故选：A. 6. 设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出． 【详解】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列， ， ，解得． 故选：C. 7. 两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得，结合题意计算即可求解. 【详解】. 故选：D. 8. 设抛物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由抛物线的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可知的坐标为的准线的方程为， 由抛物线的定义可知|MF|等于到的距离， 所以的最小值为到的距离，即最小值为. 故选：D 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断. 【详解】依题，，解得故A错误，B正确； 则，，故C错误，D正确. 故选：BD. 10. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是数列中的项 C. 数列单调递减 D. 数列前7项和最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确， 由，得，故B错误， 因为，所以数列单调递减，故C正确， 由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确. 故选：ACD 11. 已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为 B. 双曲线C的实轴长为6 C. 双曲线C的离心率 D. 过双曲线C的右焦点的直线与圆M交于A，B两点，则弦长 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据渐近线与圆相切，求，即可求出渐近线和双曲线方程，即可判断选项. 【详解】双曲线的渐近线方程为，圆的圆心为，半径为1， 所以圆心到渐近线的距离，得（负值舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为，故A正确； 双曲线方程为，双曲线C的实轴长为，故B错误； ，所以双曲线的离心率，故C正确； 因为双曲线的右焦点是圆的圆心，所以弦长为直径，所以，故D正确. 故选：ACD 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第__________项. 【答案】10 【解析】 【详解】因为数列，，，，， 则该数列的通项公式为， 由，解得， 所以是这个数列的第项. 13. 已知数列满足，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由递推公式确定数列周期，即可求解. 【详解】根据递推公式 ， ，​  ， ， ​可得数列是周期为的周期数列， 又， 因此 . 14. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 四．解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离，满足抛物线的定义，根据定义即可求解； （2）利用点差法求出直线的斜率即可. 【小问1详解】 由题意知根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. 【小问2详解】 设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即经检验满足题意. 16. 已知数列的前项和 ， （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和的关系求数列的通项公式 （2）利用裂项相消法求数列前项和 【小问1详解】 因为，， 所以当时，， 当时，， 因为当时，也符合， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以 17. 已知数列的首项，且满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用化简可知，即可得证. （2）由（1）可知，所以，利用分组求和法计算即可求得. 【小问1详解】 由得， 且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知数列是首项为2，公比为3的等比数列. 所以，即:. 所以数列的前n项和为： . 18. 已知双曲线C的渐近线为，且过点． （1）求双曲线C的方程； （2）若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程可设双曲线方程为，代入可求得，整理可得结果； （2）联立直线与双曲线的方程，设，，故可得，，利用列等式可求得，然后利用弦长公式求即可 【小问1详解】 由双曲线渐近线方程为，可设双曲线方程为：， 又双曲线过点， 双曲线的方程为： 【小问2详解】 设，，联立，化为． ∵直线与双曲线C相交于A，B两点，∴，化为． ∴，（*） ∵，∴．∴， 又，，∴， 把（*）代入上式得，化为．满足．∴． 由弦长公式可得 19. 已知数列的首项为，且满足，数列满足，且． （1）求，的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1)利用累乘法可求的通项公式，再利用等差数列的定义求的通项公式；(2)利用错位相减法求和. 【小问1详解】 证明：∵，∴，∴， ∴， 当时，上式成立，∴ 又因为，， 所以， 所以数列是以2为首项，公差为3的等差数列， 所以， 所以． 【小问2详解】 由（1），， 所以，① ，② 所以①②得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $