第八章 三角恒等变换 单元测试卷（提升版）-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第八章 三角恒等变换单元测试卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角的三角函数关系及两角和与差的余弦公式求解即可. 【详解】由题意得，所以， 即，又， 所以，，所以． 2．若，并且､均为钝角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由均为钝角，且，得， 而， 则， 所以 . 3．若，是第三象限角，且，，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】运用同角三角函数关系求得，运用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】因为，所以， 因为若是第三象限角，所以， 解得，. 同理因为，所以， 因为若是第三象限角，所以， 解得，. 而 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式化简可得结果. 【详解】因为，所以， ， 故. 5．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换将原式化简为只含的形式，再代入已知条件计算. 【详解】， 6．已知，若恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由降幂公式及辅助角公式化简，结合恒成立，得出及的取值，再根据诱导公式计算即可． 【详解】，其中，， 所以当时，， 若恒成立，则， 此时，则，，即，， ． 7．已知，，当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将展开，整理为的形式，利用最大值求出，再根据取最大值时的三角函数关系求出. 【详解】 其最大值为. 所以，化简可得，因为，所以. 将代入，得 ，其中，， 当取最大值时，有，即，. 故： ，. 因此：，所以的值为. 故选：B 8．若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以． 令， 记，，则， 设，因为，所以，， 当时，，此时，将其代回验算，，当时，，与上面一致． 因为恒成立，故实数的取值范围为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式的值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】选项A. 利用两角和的正弦公式求解；选项B. 利用二倍角的余弦公式求解； 选项C. 利用两角和的正切公式和诱导公式求解；选项D. 利用平方差公式，同角关系式和二倍角的余弦公式求解. 【详解】选项A. ，故选项A正确；     选项B. ，故选项B正确； 选项C. ，故选项C错误； 选项D. ，故选项D正确. 10．已知，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的最大值为3 C．关于对称 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用二倍角公式化简可得，之后逐项分析即可. 【详解】， 所以，所以A正确； 因为，所以的最大值为，所以B错误； 令，所以，所以函数图象关于点对称，所以关于对称，所以C正确； ，所以，即， 所以或，即或， 当，， 当，，所以D错误. 11．已知函数为常数，且，若函数的最大值等于，则下列选项正确的是（    ） A．若是函数的两个相邻零点，则 B． C．将函数的图象向右平移个单位长度后，图象关于原点对称 D．若函数在区间上恰有3个零点，则 【答案】BC 【分析】先将函数化为的形式，再由“函数的最大值等于”确定参数关系，最后逐项判断各选项． 【详解】设，其中. 因为函数的最大值为，且已知其最大值等于，所以. 即，所以. 故，即，可取. 于是，从而 ，且. 所以. 对于 A．由，得. 所以零点为. 设两个相邻零点分别为， 则. 于是. 所以它不恒等于．故 A 错误； 对于 B．，而. 所以，故 B 正确； 对于 C．将函数的图象向右平移个单位长度后， 所得函数为. 因为函数为奇函数，所以其图象关于原点对称．故 C 正确； 对于 D．令，则， 即，所以. 要使在区间上恰有 3 个零点，就应满足： 第 1 个零点第 2 个零点第 3 个零点， 但第 4 个零点，于是条件化为， 即，因此，故 D 错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，若，，则______. 【答案】 【分析】借助同角三角函数基本关系计算可得，再结合角的范围，利用两角和的正切公式计算即可得. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，又，所以， 又因为，所以，所以， 又， 所以. 13．已知函数的两个相邻零点之差的绝对值小于，都有，且，则实数的最小值为______ . 【答案】13 【详解】由两个相邻零点之差的绝对值小于可知：， 又由都有可得：又为函数的对称轴， 即有恒等式成立，则当时，有， 又因为，所以， 即， 所以, 再由都有，可得又为函数的最大值点， 所以，可得， 因为，所以当时，实数取到最小值为 14．已知，且．若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据两角和的正切公式及条件，利用换元法，转化为利用基本不等式求代数式的最值. 【详解】, ， 设，则，所以， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，且， (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对已知等式两边平方求得sin 2α的值，再联立方程组求出sinα， cosα并得到cos 2α的值，最后结合两角差的正弦公式即可得出答案； （2）由两角和与差的正弦、余弦公式化简所求式，再利用弦的齐次式化成正切式，将的值代入计算即得. 【详解】（1）对两边平方可得，解得， 因，则， 联立，解得， 所以，， 则. （2）由题意， 由（1）得，且， 则. 16．若函数的最大值为3. (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先对函数中的三角部分进行化简，根据题意可建立关于的方程，求解得到值 （2）将拆分为或两个不等式，再结合化简后的函数表达式，利用正弦函数的图象与性质分别求解这两个不等式，最后取并集得到解集 【详解】（1） 因为的最大值为3，所以， ，解得， 的单调递减区间为 （2）， 可得或即或， 所以或， 解得或， 所以解集为或. 17．已知向量，，函数. (1)求的最小正周期； (2)若时，方程有解，求实数的取值范围； (3)若对任意恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角恒等变换化简，由正弦型三角函数的周期公式求解； （2），利用正弦型函数的值域求出的取值范围，将原方程有解转化为在时有解，求解即可； （3）利用换元法化简不等式，求解后得出，转化为为的子集求解即可. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）令， 因为，所以，所以， 则原问题转化为在上有解， 即在时有解， 因为在上单调递增，所以， 所以. （3）因为， 所以由对任意恒成立， 可得对都成立， 令，则， 所以不等式可化为， 可得， 解得，解得， 即，解得， 所以， 所以的最大值为. 18．已知向量；，函数 (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)将函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数， （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）当时，求函数有两个解．求m取值范围； 【答案】(1)， (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先利用平面向量数量积的坐标表示以及辅助角公式对函数解析式进行化简，再根据周期的计算公式以及单调区间的求法即可求解； （2）（ⅰ）根据三角函数图形伸缩、平移变换的规律得到； （ⅱ）根据题意有两个解，根据正弦函数图象可得解. 【详解】（1）已知向量；， 则 , 所以最小正周期， 令，可得， 所以的单调递减区间是. （2）（ⅰ）将函数的图象先向左平移个单位， 得， 再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到函数； （ⅱ）当时，， 由有两个解，可得有两个解， 根据，由正弦函数图象可得， 得. 19．已知. (1)证明函数是周期函数，并写出它的最小正周期； (2)求函数的值域； (3)若关于的方程在区间内恰有2026个根，求出的范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)，其中为方程在内的根 【分析】（1）利用周期的定义，结合诱导公式进行求解即可； （2）因为函数有周期性，所以可先在一个最小正周期区间内求值域；讨论x的范围，利用换元化简，把原函数转化为关于参数t的二次函数，再利用二次函数性质求值域； （3）先在一个周期内求的根的个数，结合函数周期，分析区间内包含的周期个数，再根据总根的个数，进而确定n的范围. 【详解】（1） ， 所以为函数的一个周期，即函数是周期函数， 若函数的最小正周期为，且， 则，故， 所以， ， 所以，故， 但，矛盾， 所以的最小正周期为． （2）因为函数的最小正周期为，所以只需求在上的值域； 当时，， 令，则，， 则即变为， 这是图象开口向上的二次函数，对称轴为 ​， 而，故时，； 时，， 即此时的值域为； 当时，， 令，则，， 则即变为， 这是图象开口向下的二次函数，对称轴为 ​， 而，故时，； 时，， 即此时的值域为； 综合可得的值域为； （3）当时，， 设，， 于是， 令，解得或，均在区间内， 当时，，解得； 当时，，，存在，或， 即此时有4个根； 当时，． 设，，则， 于是， 令，解得或，不在区间内， 综上讨论可得在上有4个根，而， 在内有2025个根，最后一个根应位于， 故在区间内恰有2026个根，n的取值范围为， 其中为方程在内的根. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 三角恒等变换单元测试卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．若，并且､均为钝角，且，则（    ） A． B． C． D． 3．若，是第三象限角，且，，则（   ） A． B．0 C． D．1 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．已知，若恒成立，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 8．若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式的值为的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的最大值为3 C．关于对称 D．若，则 11．已知函数为常数，且，若函数的最大值等于，则下列选项正确的是（    ） A．若是函数的两个相邻零点，则 B． C．将函数的图象向右平移个单位长度后，图象关于原点对称 D．若函数在区间上恰有3个零点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，若，，则______. 13．已知函数的两个相邻零点之差的绝对值小于，都有，且，则实数的最小值为______ . 14．已知，且．若，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，且， (1)求的值； (2)若，求的值. 16．若函数的最大值为3. (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)求不等式的解集. 17．已知向量，，函数. (1)求的最小正周期； (2)若时，方程有解，求实数的取值范围； (3)若对任意恒成立，求的最大值. 18．已知向量；，函数 (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)将函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数， （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）当时，求函数有两个解．求m取值范围； 19．已知. (1)证明函数是周期函数，并写出它的最小正周期； (2)求函数的值域； (3)若关于的方程在区间内恰有2026个根，求出的范围. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $