第八章 向量的数量积与三角恒等变换（高效培优单元自测·提升卷）数学人教B版高一必修第三册

第八章 向量的数量积与三角恒等变换（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知两个单位向量，互相垂直，则（   ） A． B．2 C． D．3 2．（    ） A． B． C． D． 3．若向量，，，则实数（   ） A． B． C．0 D． 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．在平行四边形中，下列关系式不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．函数 的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是（    ）    ①； ②； ③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）； ④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系xOy.设时针长为1，若某时刻时针指向9点到12点之间，且针尖所在点的纵坐标为，则在经过4小时后，时针针尖所在点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，，则（ ） A． B． C． D． 10．已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则 11．如图，在四边形中，，，，且，，则（    ） A． B．实数的值为 C．四边形是梯形 D．若，是线段上的动点，且，则的最小值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知都是锐角，，则______ 13．某校足球社团计划举办校内足球比赛.如图为五人制足球场地，其球门AB长3米，宽1.2米，假设一球员在沿平行于边线GC的EF上跑向底线CD，在距底线CD为3米的处获得进球机会，已知点到FE的距离为3m，则其有效射门角的正切值为________ 14．若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则_______. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 16．（15分）（1）若是第二象限角，是第三象限角，求的值； （2）已知均为锐角，求的值． 17．（15分）在中，，． (1)若，求的值； (2)若的最小值为1，求的值； (3)若，P是所在平面上任意一点，求的最小值． 18．（17分）设是平面内相交成的两条数轴，分别为与x轴、y轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记． (1)在仿射坐标系中若，求的坐标及； (2)由题意在仿射坐标系中，的顶点A，C分别在x轴、y轴上，CE为边OA的中线，过A点作CE的垂线，交CE于B，交OC于D，此时，求的最小值． 19．（17分）某地计划在如图所示的矩形公园举办花展，其中，，的中点为游客中心，为方便市民观赏，现欲规划建造两条观赏绿道和，使得点，分别在边界，上，且. (1)设，求观赏绿道总长度关于的函数解析式和定义域； (2)为节约建造成本，求观赏绿道总长度的最小值. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知两个单位向量，互相垂直，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】详解】依题意得， 则. 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】. 故选：C 3．若向量，，，则实数（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】详解】因为向量，， 所以， 由，可得， 故选：B． 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. ， 因为，所以， 因为，所以，所以. 5．在平行四边形中，下列关系式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】对于A，根据平行四边形定理可知，，A正确； 对于B，根据向量减法可知，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，当且仅当向量和同向时等号成立，在平行四边形中，向量和不共线，所以，故D错误. 故选：D 6．函数 的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】令，则，且， 所以，， 因为， 令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以其最大值. 7．八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是（    ）    ①； ②； ③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）； ④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】详解】由题意可知：， ∴，故①不成立； ∵， ∴，故②成立； ∵在上的投影： ∴在上的投影向量为，成立；故③成立； 如图：    当点在线段上时，此时在上的投影最大， 在中，，∴ ∴ ，故④不正确. 故选：C. 8．如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系xOy.设时针长为1，若某时刻时针指向9点到12点之间，且针尖所在点的纵坐标为，则在经过4小时后，时针针尖所在点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】由题意可知，针尖所在点初始位置在第二象限内，设为点，且在单位圆上，如下图所示：点的纵坐标为， 设轴，垂足为，单位圆交横轴正半轴于点， 设在经过4小时后，时针针尖所在点的坐标为， 则， 在直角三角形中，， 因为，所以， 又因为， 所以点在第一象限内，设，则点坐标为， 设点， 由，或舍去， 设，则，所以 所以时针针尖所在点的坐标为. 故选：C 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 10．已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则 【答案】AD 【分析】详解】因为，，所以，， 对于A选项，若，则，所以，故A正确； 对于B选项，若，则，所以， 又，解得或，故B错误； 对于C选项， ，其中， 当时，取得最大值，故C错误； 对于D选项，若，则，即， 所以， 所以 ，故D正确. 11．如图，在四边形中，，，，且，，则（    ） A． B．实数的值为 C．四边形是梯形 D．若，是线段上的动点，且，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】详解】对于A，，A错误； 对于B，由，得，，此时， ，则，即，B正确； 对于C，由选项B得，即有，则四边形是梯形，C正确； 对于D，取的中点，连接，则 ，由，得点到直线距离等于点到直线距离， 即，所以的最小值为，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：涉及定长的线段两端点为向量终点的向量数量积，取线段的中点，借助向量数量积的计算公式求解是关键. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知都是锐角，，则______ 【答案】 【分析】详解】因为都是锐角， 所以，又因为， 所以， ， 因此 ， 因为是锐角， 所以. 13．某校足球社团计划举办校内足球比赛.如图为五人制足球场地，其球门AB长3米，宽1.2米，假设一球员在沿平行于边线GC的EF上跑向底线CD，在距底线CD为3米的处获得进球机会，已知点到FE的距离为3m，则其有效射门角的正切值为________ 【答案】 【分析】详解】延长交于点，设（为锐角）， 由题意，所以， 因为，故， 所以. 14．若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则_______. 【答案】2 【分析】详解】，， ，即， 在上的投影向量为， 则，整理得：，化简得：， ，， 由可得， 因，则， 由 ， 令， 时，，， ，解得：. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 【答案】(1)-2 (2) (3)，且． 【详解】（1），B，P三点共线，． ，，，． （2），，． （3）若是锐角，则，且，不共线． ，，， 且，解得，且． 16．（15分）（1）若是第二象限角，是第三象限角，求的值； （2）已知均为锐角，求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）， 又是第二象限角，． ，且为第三象限角， ， （2）由，为锐角可得． 由和 可得． 于是 ． 17．（15分）在中，，． (1)若，求的值； (2)若的最小值为1，求的值； (3)若，P是所在平面上任意一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），而，所以． （2）设，，由题意知的最小值为1，也即关于的二次函数，最小值为1，即时， ，解得， 所以，即． （3）以A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，则由题意可知，，，设，所以，，， 则， 配方得， 当，时，y最小值为．    18．（17分）设是平面内相交成的两条数轴，分别为与x轴、y轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记． (1)在仿射坐标系中若，求的坐标及； (2)由题意在仿射坐标系中，的顶点A，C分别在x轴、y轴上，CE为边OA的中线，过A点作CE的垂线，交CE于B，交OC于D，此时，求的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）解：在仿射坐标系中，可得且， 因为，可得 则 所以，所以. （2）解：在仿射坐标系中，可得且， 如图所示，设， 则的中点，所以， 因为，可得，向量， 又因为，所以， 可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为． 19．（17分）某地计划在如图所示的矩形公园举办花展，其中，，的中点为游客中心，为方便市民观赏，现欲规划建造两条观赏绿道和，使得点，分别在边界，上，且. (1)设，求观赏绿道总长度关于的函数解析式和定义域； (2)为节约建造成本，求观赏绿道总长度的最小值. 【答案】(1)，定义域为 ； (2) 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以， ， ， ； 因为，所以， 又因为点在边界上，且， 所以， 又点在边界上，且， 所以，解得， 所以，所以其定义域为 ； （2）由（1）知：， 令 ，因为，所以， ，所以 则 ，易知 在 上递增， 所以当时，取得最大值，取得最小值， 所以当 ，即 时， 取得最小值 . 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $