第八章 三角恒等变换单元测试卷（基础版）-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第八章 三角恒等变换单元测试卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若，则＝（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，，则 11．函数，下列结论正确的有（   ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，则 D．函数的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则的值为_____. 13．已知，则______. 14．的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，. (1)求，的值； (2)求的值； (3)求的值. 16．已知向量，若． (1)求的单调递减区间； (2)求在区间上的最值． 17．（1）已知，，其中，．求角的正弦值． （2）化简：． 18．已知，，函数． (1)求函数的对称中心和对称轴； (2)求函数在上的单调递减区间； (3)若函数在上有两个零点，求实数t的取值范围． 19．如图，直线，点是，之间的一个定点，过点的直线垂直于直线，，，点，分别为，上的动点，已知．设（），的面积为． (1)若，求梯形的面积； (2)写出的解析式； (3)求的最小值． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 三角恒等变换单元测试卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 2．已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数和差角公式化简求解，同时注意根据三角函数值确定角的范围 【详解】因为，都是锐角，所以，又，则， 注意到，故，， 所以. 3．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和与差的余弦公式及同角三角函数关系求解即可. 【详解】由得， ， 所以， 为使有意义，必有，即， 所以. 4．已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】锐角满足，所以,, 则, 因为，所以 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据二倍角公式可得，， 化简可得，， 代入，可得. 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得 . 7．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合的范围及正弦函数的性质，求出的取值范围． 【详解】， 因为，所以， 要使在上有两个零点，则，解得， 故的取值范围为． 8．若，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式两侧平方相加，应用差角正弦公式化简得，从而有，代入整理得，并将化为求，即可得. 【详解】由题设，则， 所以，可得， 由，则，故， 代入，则， 所以，则， 所以， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，，正确. 10．下列说法正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】利用三角函数的诱导公式和辅助角公式即可得出答案. 【详解】对于A，， 已知，，，代入可得： ，故A错误； 对于B，由于，由辅助角公式可得，故B正确； 对于C，已知，则，由于，根据同角三角函数基本公式可得： ，又因为，根据两角和的余弦公式，可得： ，故C正确； 对于D，已知，根据正切公式，可得， 又因为，所以，根据两角和的正弦公式，可得： ，故D正确. 11．函数，下列结论正确的有（   ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，则 D．函数的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，画出函数图象或整体思想分析可判断选项A和B，方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题可判断选项C，利用同角三角函数的关系化简函数解析式可判断选项D. 【详解】由题， A，由，令， 因为在上单调递增，故函数在上单调递增，A正确； B，，所以函数的图象不关于直线对称，B错误； C，关于x的方程在上实数根的情况转化为，与的交点个数， 作出在上的简图如下， 则有两个不相等的实数根时，故，C正确； D， ， 因为，当时取最大值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则的值为_____. 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简，再利用二倍角的余弦公式计算即可得出结果. 【详解】由可得，则， 因, 故. 13．已知，则______. 【答案】/ 【分析】应用二倍角余弦公式及诱导公式化简已知条件求出，化简目标式即可得. 【详解】由，则， 所以. 14．的值为______． 【答案】 【详解】 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，. (1)求，的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合角的范围，利用同角三角函数关系求解即可； （2）利用正弦二倍角公式求解即可； （3）利用余弦二倍角公式、两角和的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，，所以， 所以. （2）. （3）由， 所以. 16．已知向量，若． (1)求的单调递减区间； (2)求在区间上的最值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数单调性计算即可得； （2）由范围可得范围，从而可得范围，即可得该函数值域，从而可得其最值. 【详解】（1）已知向量， 则 ， 令， 解得， 即的单调递减区间为； （2）由（1）知， 当时，，则， 故，即在区间上的最大值为，最小值为. 17．（1）已知，，其中，．求角的正弦值． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由，得， 又，故， 由同角三角函数关系得. 由，，得，. （2）原式. 因为，所以原式 由辅助角公式可得， 代入得原式. 由和差化积公式可得：， 故原式. 18．已知，，函数． (1)求函数的对称中心和对称轴； (2)求函数在上的单调递减区间； (3)若函数在上有两个零点，求实数t的取值范围． 【答案】(1)对称中心为，；对称轴方程为，. (2) (3) 【分析】（1）先由向量数量积展开并化简，利用三角恒等变换得到，再根据正弦函数性质令求对称中心横坐标，令求对称轴方程，最终得出对称中心与对称轴. （2）先根据正弦函数的单调递减区间列出不等式，解出的一般范围，再与区间 取交集，取 得到 在上的单调递减区间为 . （3）先根据的范围求出的对应区间，计算区间端点及正弦函数最小值处的函数值，再结合函数图像，判断直线 与曲线有两个交点时的范围，最终得. 【详解】（1）由题可知 . 令，，解得， 所以对称中心为，. 令，，解得， 所以对称轴为，. （2）令，， 解得，. 结合，则取，得单调递减区间为. （3）由题可知，则， 令，则，. 因为 所以时，； 时，；时，. 即有两个解，即与有两个交点， 由图可知的取值范围是. 19．如图，直线，点是，之间的一个定点，过点的直线垂直于直线，，，点，分别为，上的动点，已知．设（），的面积为． (1)若，求梯形的面积； (2)写出的解析式； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角形的性质，结合已知条件求出梯形的面积； （2）利用三角形的性质，结合二倍角、辅助角公式和三角形面积公式求出解析式； （3）利用解析式结合正弦函数的性质求的最小值． 【详解】（1）时，在直角三角形中，， ， ， 在直角三角形中，，由， ， ， ． （2）在直角三角形中，，则， ，， ， 在直角三角形中，， ，故， ． （3）由可知，分母为正数， 的最小值对应分母的最大值， 已知，则， 的最大值为1，当，即时取最大值， 此时． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $