第8章 向量的数量积与三角恒等变换 单元检测卷 A卷 基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂单元双测卷（人教B版）

数学B版· (2)由x【-牙·]可得2x+受∈[百，] 当2x+=-若，即x=- 3 时，f(x)mn= ()-1 当2x+冬=受，即x=登时fxms=f(臣)=2 21.解：(1)描出所给点如图所示. y 0 051015202530i (2)由(1)知选择y=Asin(wt十9)+b较合适. 令A>0,w>0,gp<π. 由图知，A=0,46=1.T=12,所以w=要=吾 起1=0y=1代入y=0.4sim(行1+9）+1，得9=0. 故所求拟合模型的解析式为y=0.4sin否+1(0≤1 ≤24). (3)由y=0.4sin吾1十1≥0.8，得sim若≥-合 则晋+2x≤晋<号+2x∈Z, 即12k-1≤t≤12k+7(k∈Z), 注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23 ≤t≤24. 再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较 恰当. 2,解，1)观容因像，得A=2,T=(号-吾)×号-元 所以w=牙=2， 所以f(x)=2sin(2x十9). 因为画数经过点（昏，2）： 所以2sin(2×音+9）=2， 即sim(号+9)=1. 又因为9<受所以g=晋 所以函教的解析式为x)=2sim(2x+晋)】 (2)因为0<x<π，所以f(x)=m的根的情况，相当 于fx)=2sin(2x+若)与gr)=m的交点个数情 况，且0<x<π，所以在同一坐标系中画出y=2sin (2x+若)和y=mm∈R)的图像. y=m 05 612 2 必修第三册 由图可知，当-2<m<1或1<m<2时，直线y=m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的 实数根.所以m的取值范围为一2<m<1或1<m <2. 当一2<m<1时，此时两交点关于直线x=号x对 称，两根和为号x: 当1<m<2时，此时两交点关子直线x=吾对称，两 根和为于 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 单元检测卷 (A卷) 1.C[(os若-sim看)(os晋+sin若) =cos2-sin2=c0s=子] 2.B[向量a=(1,m),b=(3,w3),由a·b=6,可得3十 √5m=6,解得m=√5.] 3.C[向量a,b的夹角为120°，且|a=2,|b1=4,则b 在a上的投影的数量为：卢=bc0s120°=一2.] a 4.B [''sin(a+45)=(sin a+cos a)5 25 .'sin a+cos a=- 10 5 两边平方得1+sin2a= m2a 5.B[sin40°(tan10°-√3) sin 40(sin 10-3cos 10) cos10° =sin40°·2sin(10°-60°)_-2sin40°.cos40 cos10° cos 10 sin80° c0s10 -1.] 6.A[在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3,AC=4,点M 满足B=2元，可得Ai=子A店+号花，别A店· 防=店·（号店+号）=号+号·花 =3+号×3×4×分=7.] 7.D[|a+b|=√(1+cos0)2+sin0=√2+2cos0. 因为0【音号】片以co8c[0.1山 所以a+b∈[2,2].] 8.A[设e=(1,0),b=(x,y), 则b2-4e·b+3=0→x2+y2-4x+3=0→(x-2)2 +y2=1 参考 如图所示，a=OA,b=OB,(其中A为射线OA上动 点，B为圆C上动点，∠A0r=子) ∴.|a-bmim=|CD|-1=3-1.(其中CD⊥OA.) y aA CA B 3e\F 9.ABC[D错误，(a·b)2=(a|b|·cos9)2=a2· b2·cos20.] 10.AC[因为0<<登，所以0叶登∈（货） 又sin0+cos0=厄sin(0+F）} 所以号<sm(+)1, 所以1<sin0+cos√2.] 11.BC[(2a-b)·b=2a·b-1b12=2(-1+2) (1+n2)=n2-3=0,.n=±√5.] 12.ABC [fx)=co(2x-号)+s(2x+受-晋) =cos(2x-5）-sim(2x-) =icas(（2x-8), f(x)max=2,故A正确， T侣-警-：故B正确， fx)的递减区间为2kr≤21一音≤2kx+π(k∈Z》, 南k+≤r<kx+票∈z. =0时务<<紧所以C正晚 将画数y=Do2x向左平移哥个单位得 y=Eo[2(+)]≠fx.D不正确.] 13.解析：sin(后-a）一cosa=子 π .sin 6cos a-cos 6 sin a-cosa 1 2 =-sn(e+音)日…m(e+晋）寸 cos(2a+受)=1-2sim2(e+若)=1-2× 答案：日 14.解析：：5-tan15=am60°-tan15 3tan 15+1 1Ftan 60"tan 15-tan 45 =1, Stan 1511. √5-tan15° 答案：1 答案 15.解析：向量b在向量a方向上的投影数量为|bcos (a,b)=10×cos120°=-5，向量a在向量b方向上 的投影数量为acos(a,b)=2×cos120°=-1. 答案：-5-1 1 2sin 2a 16.解析：原式=tan(90°-2a)· cos 2a =sin(90°-2a),zsin2a cos 2a,sin 2a1 cos(90-2a)cos 2a sin 2a 2cos 2a 2 答案： 17.解：(1)AB=(-3,-1),AC=(1,-5), .AB·AC=-3×1+(-1)×(-5)=2. :AB+AC=(-2,-6),.|AB+AC1=√4+36= 2√10. (或|AB+AC=√AB2+IAC2+2AB·AC =√10+26+2×2=2√10) (2)AB-t0C=(-3-2t,-1+t),0C=(2,-1), 且(AB-tOC)⊥O0,.(AB-tOC)·OC=0, ∴.(-3-2t)×2+(-1+t)·(-1)=0, ∴.t=-1. 18.解：Dco(5+a）o(3-a） =ms(后+ain(俗+e）=专m(a+)= 即sim(2a+)-2ae(肾，受)片 2a+(等)m(a+晋）=要， <.sin2a-sin(2a =in(2a+)os-os(a+）小sin号=2 2a∈（答，受）2a(x月 又由(1)知sin2a= 2cos 2a= 1 21 ∴.tana 1 sin a cos asina-cos2a tan a cos a sin a sin acos a -2cos 2a=-2X-1 2 =2√5. sin 2a 19.解：(1)由题意得a-b2=2, 即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2. 又因为a2=b2=a2=|b12=1, 所以2-2a·b=2,即a·b=0,故a⊥b. (2)因为a+b=(cosa+cosB,sina+sin3)=(0,1), 所以计多得caa-csg 由0<π，得0<π-<π，又0<a<π，故a=x-B. 代入sina十sinB=l,得sina=sinB=2, 1 而>8，所以a=晋g=吾 数学B版· 20.解：法-1)因为0a<受na-号. 21 所以cosa= 2 所以f(a)= 9×+9) (2)因为fr)=sin rcos+cos2r-司 =sn2r+1+g2- 2 号n(2:+) 所以T-晋=元 由2x-受<2x+于≤2x+受，k∈Z得 kx一晋≤<km十晋，k∈Z 所以f)的单调逅增区同为[x-誓x十吾]k ∈Z. 法二f)=sinx0sx十cos2r-号 =im2x+1+g2- 2 2 sin cosr ①)因为0Ca<吾sina- 2 所以a=元」 4 (2)T2=元 由2kx-受<2x+牙≤2x+受，k∈Z得 kx-3晋<r≤kx+吾，k∈Z 8 所以)的单调说增区间为[x一晋，x十吾]k ∈Z. 21l.证明：(1)因为sin(a十3)=sin acos B+cos asin月， sin(a-3)=sin acos3-cos asin B,将上式左右两边 分别相减， sin(a+B)-sin(a-B)=2cos asin B, 即os in=zsin(a+倒-sna-D]. (2)若a=b,则c·d=(a十b)·(a-b)=a2-b2 =|a2-|b2=0,所以c⊥d.若c⊥d,则c·d=0,即 (a+b)·(a-b)=a2-b2=a|2-b2=0,所以a =1bl. 综上，a=b台c⊥d. 必修第三册 2.解：)因为fx)=sin(or-若）十sin(ar-） 所以f(x)=sin2● 2cos w.r-cos w.r 9m 3 2cos wr 由题技知f(信)0， 所以5-吾=k,k∈乙 故w=6k十2，k∈Z, 又0<w<3,所以w=2. (2)由1)得fx)=5sin(（2x-音） 所以gx)=in（+T-牙）-5sin(（-)月 因为[] 所以[] 即x=一 时gx)取得最小位一是 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 单元检测卷 (B卷) 1.B[sin163°sin223°+sin253°sin313 =sin(90°+73)sin(270°-47°)+sin(180°+73)sin (360°-47°) =cos73°(-cos47°)-sin73°(-sin47) =-(cos73°cos47°-sin73sin47°) =-c0s(73°+47) =-c0s120=7] 2.C[2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0), .(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1, 故选C.] 品.A[:na=寻a∈（受小 cosa=-√1-sin2a=- cos a tan(x-)-2=-tan 8.tan8-- 2 tan a-tan B 4.C[因为y=sin3z+cos3x=Esin(3z+T) =反m[(+登)小又y=Es3x=反 sim(3z+）) -反m[3(+否)门，所以应由y=Ecos3x的图像 向右平移登个单位得到.] 56数 新高考 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 ( 学 单元检测卷 同步单元双测卷 A卷·基础达标卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40 8.(2018·浙江卷)已知a,b,e是平面向量，e是单 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.) 位向量.若非零向量a与e的夹角为号，向量b 满足b2一4e·b+3=0,则a-b的最小值是 整 ( A.- B.-2 A.5-1 B.5+1 C.2 D.2-√5 C.2 B. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20 如 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 2.已知向量a=(1,m),b=(3,√3)，若a·b=6,则 求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选 实数m= 错的得0分.) A.0 B.3 9.下面给出的关系式中正确的是 h C.3 D.0或√3 A.0·a=0 3.已知向量a,b的夹角为120°，且|a=2,b|= B.a·b=b·a 4,则b在a上的投影的数量等于 C.a2=al2 A.-4 B.-3 D.(a·b)2=a2·b C.-2 D.-1 10.已知0是锐角，那么下列各值中，sin0+cos0 4.已知sin(a+45°) 5,则sin2a= 能取的值是 A.-5 c D.专 c n 11.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与 5.sin40°(tan10°-√3)= b垂直，则n= ) A B.-1 A.1 B.√5 C® 2 D.③ C.-√5 D.2 3 期 12.关于函数f(x)=cos 2 cos 6.在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3,AC=4,点 M满足BM=2M元，则AB·AM等于 (2+晋)下列说法正确的是 A.7 B.8 C.9 D.10 A.y=f(x)的最大值为√2 B.y=f(x)是以元为最小正周期的周期函数 7.已知向量a=(1,0),b=(cos0,sin0),0∈ [-乏，受引则a十的取值范围是 C.y=f(x)在区间 元13π 24’24 上单调递减 A.[0,√2] B.(1,W2] D.将函数y=2c0s2x的图像向左平移无个 C.[1,2] D.[√2,2] 单位后，将与已知函数的图像重合 25 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共 20分.) 18.12分尼知os(晋+ojom(管a-子e 13.已知sm(答-a-asa=号，则s(2a+5) ( (1)求sin2a的值， 14.an15°+1的值是 ()②求1 tan ai。的值 tan a √5-tan15° 15.已知a|=2,b=10,(a,b>=120°，则向量b 在向量a方向上的投影数量是 ,向量 a在向量b方向上的投影数量是 ·sin acos a 16.化简am45-。）'eosa-na 2tan(45°-a) 四、解答题（本题共6小题，共20分.解答应写出 文字说明.证明过程或演讲算步骤.) 17.(10分)在平面直角坐标系2Oy中，已知点A (1,4),B(-2,3),C(2,-1) (1)求AB.AC及AB+AC。 (2)设实数t满足(AB-tOC)LOC,求t的值. 26 19.(12分)已知向量a=(cosa,sina),b=(cos3, 20.(12分)已知函数f(x)=cosx(sinx一c0sx) sin3),0<3a<x. 1 -2 (1)若a-b=√2，求证：a⊥b; (2)设c=(0,1),若a十b=c,求a,3的值. 1若0<a<受：且sna=竖求a)的值： (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增 区间. 27 21.(12分)(1)求证：cos asin月=号[sim(a十 22.(12分)设函数f(z)=sin(oa-若)十sin sin(a-B)]. (2)已知a,b,c,d为非零向量，且a十b=c,a一 ax-)其中0<a<3.已知f(倍)=0， b=d.求证：a=|b台c⊥d. (1)求w; (2)将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标伸 长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图 像向左平移不个单位，得到函数y=g()的图 像，求g)在[一至，]上的最小值。 时 28