系统沉淀训练08导数解答题-2026届高三数学三轮冲刺

系统沉淀训练08导数解答题-2026届高三数学三轮冲刺（详解版） 说明：1.本专题的题源精选于2026年高考模拟题或预测题，内容比较多，请选择使用； 2.建议平时数学成绩90分以下的研究每题的第一问，90-120分的重点研究第二问，120-150分的重点研究第二、第三问; 3.每2个题目为一组，考查的知识点或方法标注在题目前面，请选择性使用; 4.主要考查方向与题目一览表 题号 1-2 3-4 5-6 7-8 9-10 11-12 考向 【1】利用导数证明或求解函数单调区间(不含参) 【2】分类讨论法证明或求解函数的单调区间(含参) 【3】已知函数单调区间求参数范围 【4】构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系 【5】利用导数求解函数的极值 【6】利用函数的极值求参数值 题号 13-14 15-16 17-18 19-20 21-22 23-24 考向 【7】利用导数求解函数的最值 【8】利用导数解决函数的极值点问题 【9】利用导数解决恒(能)成立问题 【10】利用导数解决函数的零点，交点或方程的根的问题 【11】利用导数证明不等式 【12】利用导数解决双变量问题 题号 25-26 27-28 29-30 31-32 33-34 考向 【13】参变分离法解决导数问题 【14】构造函数法解决导数问题 【15】利用二次求导法解决导数问题 【16】极值点偏移问题 【17】新定义问题 【1】利用导数证明或求解函数单调区间(不含参) 1．（2026·北京房山·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，分别讨论函数与在上的单调性； (3)证明：当时，． 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增，在上单调递减． (3)证明见解析 【分析】（1）先求出函数在处的函数值和导数值，再根据点斜式方程求出切线方程； （2）分别对和求导，根据导数与函数单调性的关系判断函数的单调性； （3）构造，通过求导判断其单调性，进而证明不等式． 【详解】（1）由，得， 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由（1）知， 令，得；令，得．. 所以在上单调递增，在上单调递减. 由，得， 令，得；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减. （3）因为，所以， ①当时，，由（2）知在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以， ②当时，令， 则，， 由（2）知在上单调递增，所以， 所以， 所以在上单调递减，所以， 即当时， 综上，当时，． 2．（2026·湖北荆州·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； (3)为的导数，若两个不相等的实数满足，求证：.（参考公式：） 【答案】(1) (2)在上单调递增 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，根据点斜式即可求解直线方程， （2）求导，对的范围分为，以及，结合二次求导和导函数的正负，即可求解单调性， （3）先利用导数求证时，有，进而可证明，结合正弦函数的有界性即可求证. 【详解】（1）求导可得 则,， 所求切线方程为，即 （2）求导可得 （a）当时，，则，在单调递增 （b）当时，，则，在单调递增 （c）当时，设， 则，由于均在上单调递增，故在上单调递增， ， 则存在使得满足 则，单调递减，则，单调递增， ， 所以，则，在单调递增； 综上所述：在上单调递增. （3）由题意可得 不妨设，则 先证明当时，有，设， 则，所以在单调递减， ＝0，即当，有， 于是有 所以，故有，又，且不能同时取到等号， 故，从而. 【2】分类讨论法证明或求解函数的单调区间(含参) 3．（2026·福建厦门·二模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增； (2)证明见解析. 【分析】（1）先求出导函数，再对分情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）由（1）可知当时，的最小值为，令，利用导数得到的最小值为， 所以，即证得. 【详解】（1）函数的导数为， 当时，恒成立，故，所以在上单调递增； 当时，令 ，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，当时，在处取得最小值， 因此，对任意，有. 只需证明 ，即 令，. 求导得， ，故在上单调递增. 由知，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 所以在处取得最小值. 因此，即成立，等号当且时取得. 4．（2026·江苏·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 【答案】(1)①当时，，则在上单调递增; ②当时，在上单调递增，在上单调递减. (2)证明见解析 【分析】第1问将讨论函数单调性问题，转化为讨论导函数的正负问题即可，第2问将要证明曲线在直线的下方，转化为函数不等式问题即可， 【详解】（1）（1）因为的定义域为， 的导函数. ①当时，，则在上单调递增. ②当时，令，得； 令，得； 所以，在上单调递增，在上单调递减. （2）（2）因为曲线经过点 所以，解得． 所以． 因为，所以的方程为. 要证除切点外，曲线在直线的下方， 即证：， 只需证：. 设，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 所以当时，， 所以原命题得证. 【3】已知函数单调区间求参数范围 5．（2026·河北张家口·二模）已知函数. (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若时，函数有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）转化问题为在上恒成立，进而分、两种情况讨论求解即可； （2）令，可得，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）因为在上为增函数， 所以在上恒成立. 若，则在上恒成立，满足题意； 若，由对恒成立，知， 则成立，即，解得. 综上所述，实数的取值范围是. （2）若时，由，得， 设，， 则， 由得，由得或， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为与， 又，当时，，时，， 作出函数的图象，如下： 要使函数有3个零点，则与的图象有3个交点， 即，所以的取值范围是. 6．（2026·河北唐山·一模）函数，. (1)若在上单调递减，求a的取值范围； (2)若曲线与在处有相同的切线， （i）求a的值； （ⅱ）若，证明：. 【答案】(1)； (2)（i）；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）求出的导数，由给定区间及单调性建立不等式求解. （2）（i）利用与在处的导数值相等求出；（ⅱ）按分段讨论，结合极值点的偏移方法推理得证. 【详解】（1）函数在上单调递减，则，， 即，，而，当且仅当时取等号，因此， 所以a的取值范围是. （2）（i）由，求导得， 由曲线与在处有相同的切线，得，即， 解得，此时曲线与在处的切线都为，符合题意， 所以. （ⅱ）由（1）及（i）知，函数在上单调递减，且， ，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，而，不符合题意； 当时，，则，，因此，符合题意； 当，的取值集合为，而在的取值集合为， 在的取值集合为，因此能成立， 当时，； 当时，，， 令，求导得， 函数在上单调递增，，即， 因此，而，则，又函数在上单调递增， 于是，即， 所以. 【4】构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系 7．（2026·陕西榆林·一模）已知函数，. (1)若，证明：. (2)若曲线与关于直线对称，关于x的方程恰有三个不等实根，，，其中. （ⅰ）求a的取值范围； （ii）证明：． 附：若，则当时，． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ii）证明见解析 【分析】（1）构造函数，求导分析单调性得最大值，由知该最大值小于0，从而原不等式成立； （2）（i）由对称性得，将方程化为，通过导数讨论的符号及二次判别式，确定当时有3个零点；（ii）利用根的关系及消去，将欲证不等式转化为关于的对数不等式，构造函数并求导证明恒正. 【详解】（1）设， 则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 当时，，所以， 即． （2）（ⅰ）因为曲线与关于直线对称， 所以，则． 令，则， 当时，，在上单调递增， 不存在三个不等实根． 当时，令，其判别式， 若，即，则恒成立，即， 在上单调递减，不存在三个不等实根． 若，即，则存在两个不等正实根，，且， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又因为，且，故，． 又当时，，当时，， 所以在和内各恰有一个零点，又， 所以有三个零点，符合题意． 所以的取值范围是． （ii）由（ⅰ）知． 当时，，所以． 要证明，即证明， 由，得，代入待证不等式， 得，整理得． 设，则， 故在上单调递增，故，即． 故命题得证． 8．（25-26高三上·安徽六安·月考）已知函数，若有两个不同的零点． (1)求实数的取值范围； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，利用导数研究函数单调性及极值，再结合零点个数确定参数范围； （2）结合已知条件对不等式变形转化，构造函数并求导，利用导数确定函数单调性，进而证明结论． 【详解】（1）的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数单调递增，最多有1个零点，不符合题意； 当时，令，解得，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 在处取得极大值（最大值）， 有两个不同的零点， 极大值，即，解得，即，，， 实数的取值范围为． （2）是的零点， ，，即，， ①，②， 把②代入①得． 不妨设，令，则，， ， 要证明，即证明（其中）， 令 ，求导得， 再求导得：在时恒成立，当时，在上单调递增， ， 当时，恒成立，在上单调递增， ， 当时，，即成立， 得证． 【5】利用导数求解函数的极值 9．（2026·江西宜春·一模）已知函数，. (1)讨论函数的极值； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值. (2) 【分析】（1）求导，结合，讨论函数单调性，利用极值的定义即可求解； （2）通过分离参数，构造函数令，求导确定单调性，求得最值，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，恒成立，     即函数在上单调递增，所以函数无极值； 当时，由得；由得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，无极小值， 综上：当时，函数无极值； 当时，函数的极大值为，无极小值. （2）依题可知：不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，则， 所以函数在上单调递减，则， 即函数在上单调递减，所以， 所以， 即实数的取值范围是. 10．（2026·河北保定·一模）已知函数 (1)当 时，求的极值. (2)已知. （i）证明: ； （ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1)极大值，极小值 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）先对函数求导得到，通过导数的正负判断单调性，进而确定极值点并计算极值； （2）（i）通过构造辅助函数并分析导数符号证明不等式； （ii）分离参数后构造函数，利用导数分析单调性求最值，从而确定参数范围. 【详解】（1）时，，， 令，得，解得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值. （2）时，. （i）要证，，即证， 令，则， 令，则，即化为， 因为，所以，所以，即，在单调递增， 又，所以，即. （ii）由得， 当时，显然成立； 当时，不等式可化为，令，则 则， 令， 当时，，由得，又， 所以，所以，在单调递增，所以对，； 下面证明当时，，即，也即证： 令，则， 因为，所以，所以，所以， 所以在单调递增，所以，即， 所以. 综上，时，，所以，即实数的取值范围为. 【6】利用函数的极值求参数值 11．（2026·广东·一模）设函数，已知是函数的极值点． (1)求的值； (2)设函数，证明：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）由极值点处导数为0即可求解出参数，代回检验得解； （2）由（1）得，要证，即证，即证，构造函数，利用导数证明. 【详解】（1）因为，所以， 则， 因为是函数的极值点， 所以，解得， 当时，，， 当时，，则，，故， 所以函数在上单调递增； 当时，，则，，故， 所以函数在上单调递减； 综上，是函数的极值点，符合题意，故. （2）由（1）得，所以， 由（1）可知，是函数的最小值点，所以对任意的，， 要证，即证， 即证，只需证， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 综上，在上恒成立. 12．（2025·辽宁·二模）已知函数，为的导函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的两个极值点分别为和，且. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义结合题意求解即可； （2）（i）由题意得是方程的两个正根，进一步转化为与有两个不同的交点，然后利用导数求出的单调区间和极值分析求解即可；（ii）由（i）可知，由得，则可得，令，利用导数求出其单调区间和最值，从而可证得结论. 【详解】（1）当时，， 则，， 求导得，则， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）（i），且定义域. 因为若有两个极值点，所以是方程的两个正根， 即 令，则， 所以，当时，；当时，， 因此，当时，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，有最小值， 当时，， 又因为当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 所以当时，的图象与直线有两个不同的交点， 所以实数的取值范围为. （ii）由（i）可知，且时，， 又，所以， 令， 单调递增， 且，所以时，时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 即 ， 又因为，所以， 所以，即. 【7】利用导数求解函数的最值 13．（2026·河北沧州·一模）已知函数． (1)求函数的最大值； (2)已知为数列的前项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再根据函数单调性确定函数的最大值； （2）根据（1）建立不等式，再通过累加法可证明不等式. 【详解】（1）因为，其定义域为，又，且， 令，可得， 令，解得，令，解得， 故在单调递增，在单调递减. 则，即函数的最大值为 （2）由（1）知，当时，，即， 令，则， 即， 所以， 即， 即，得证. 14．（2026·广东东莞·模拟预测）已知函数 (1)判断是否为周期函数，并说明理由； (2)求的最大值和最小值； (3)设证明： 【答案】(1)是周期函数，利用周期函数定义判断； (2)最大值为​​​，最小值为； (3)证明见解析. 【分析】（1）由周期函数的概念结合正弦函数的周期性即可判断； （2）由（1）确定函数在一个周期上的单调性，即可求解； （3）由（2）令，得： ，​​通过累加即可求证； 【详解】（1）是周期函数， 理由如下： 由三角函数周期性知：，， 因此： ， 即是的一个周期，故是周期函数； （2）由（1）可知求在上的最值即可. 对求导得： ， 令，得​或， 在一个周期内，当时，， 当时，，当时，， 故在，单调递增，在单调递减， 又，， ，， 所以的最大值为​​​，最小值为； （3）记， 由（2）知对任意实数，都有， 对，令，得： ，​​ 将上述个不等式累加，左边整理得： 右边为​​， 因此：， 整理得：， 由，，得， 因此：，得证. 【8】利用导数解决函数的极值点问题 15．（2026·安徽合肥·二模）已知函数． (1)当时，证明：； (2)若存在两个极值点，记． （i）求的取值范围； （ii）若，求直线斜率的最小值． 【答案】(1)证明见详解 (2)（i）（ii） 【分析】（1）通过分析得到要证，即证，令，求其二阶导数即可证明； （2）（i）将题干转化为存在两个极值点等价于在上有两个不同的根，令，求导判断单调性即可证明； （ii）设，根据题意得到，再令，通过求导求出其最大值即可求出直线斜率的最小值. 【详解】（1）当时，，要证，即证， 令，则， 令，则， ，，故在上单调递增，， ，即，故在上单调递增，， ，得证. （2）（i）求导得，存在两个极值点等价于在上有两个不同的根， 在上有两个不同的根， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故的最小值为，且当时，；当时，， 因此要使在上有两个不同的根，需要， 故的取值范围为. （ii）由题得，， 把代入，得，同理得， 直线斜率为， 设，即，又， ，解得，即， 则，即， ， 令，则， 令，则，故在上单调递增， ，即，故在上单调递增， 的最大值为， 要使直线斜率取最小值，即求的最大值， 故直线斜率的最小值为. 16．（2026·河北承德·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值． 【答案】(1) (2)当时，，单调递减；当时，，单调递增． (3)2． 【分析】（1）当时，求出，求出切线的斜率，然后求解切线方程； （2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性； （3）由（2）知时不符合题意，当时，存在，使，满足令，则，令，利用导数研究该函数的最值即可求解． 【详解】（1）当时，，则， 则，所以曲线在点处的切线方程为． （2）， 令，则， 若，则，所以在上单调递增，所以， 若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，故， 因此当时，，单调递减；当时，，单调递增． （3）由（2）知时不符合题意； 当时，易知在上单调递减，在上单调递增，，且，，当时，，故存在，使，又，故， 则当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，故，为的两个极小值点，且满足则令，得 则， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，， 故在内存在唯一零点，即，且当时，，，则单调递减；当时，，，则单调递增， 故， 由，得， 故整数的最大值为2． 【9】利用导数解决恒能成立问题 17．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若不等式恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程求解即得； （2）通过导函数的符号判断函数的单调性即可； （3）依题将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值为，解对数不等式即可求得参数的范围. 【详解】（1）当时，，则， 得.又， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，，得， 令，得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）恒成立，即恒成立， 即恒成立. 令，则， 当时，则，函数在上单调递增， 因为，不符合题意； 当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为， 由和，解得. 综上可得，的最大值为. 18．（2026·浙江金华·二模）已知函数，． (1)求函数的极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1)极小值为 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和极值； （2）求导，分类讨论两根大小，结合导数的符号分析函数的单调性； （3）分析可得，令，，分类讨论的符号，结合恒（能）成立问题分析求解. 【详解】（1）因为的定义域为，且， 当时，；当时，； 可知在上单调递增，在单调递减， 所以的极小值为． （2）因为的定义域为，且， 令，解得或， 当，即时，则， 可知在上单调递减； 当，即时，令，解得；令，解得或； 可知在上单调递增，在，上单调递减； 当，即时，令，解得；令，解得或； 可知在上单调递增，在，上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减. （3）因为，即，可得， 令，， ①当时，若，则，不合题意； 若，方程满足， 且，可知方程有一正一负两个实根， 取其正根为，则，不合题意； 综上所述：当时，不存在实数a，使得恒成立； ②当时，不妨取，则， 记，则， 令，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即， 可知在单调递减，则， 即对，都存在，使得在恒成立， 综上所述：实数b的取值范围为． 【10】利用导数解决函数的零点，交点或方程的根的问题 19．（2026·湖北·二模）函数. (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数有两个零点、，且，求的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2) (3) 【分析】（1）求得，令，利用导数求得在单调递增，得到在单调递增，结合，即可求解； （2）根据题意，转化为有解，令，得到有解，构造函数，求得，得到的单调性和最小值，再结合函数为单调递增，即可求解. （3）根据题意，转化为有两个不同的解，由（2）得到，求得化简得到，令，求得，令，利用导数求得为增函数，得到，得到在递增，求得，即可得到答案. 【详解】（1）解：当时，，可得， 令，可得， 因为和在为单调递增函数，可得在单调递增， 所以，所以在单调递增， 又因为， 所以当时，；时，； 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）解：由不等式，可得， 即， 因为存在，使得成立，即在上有解， 令，则有解， 构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在递增，所以，即， 又因为函数在单调递增， 所以当时，可得，即， 所以实数的取值范围为. （3）解：函数有两个零点，即有两个不同的解， 即有两个不同的解， 令，且为单调递增函数，可得， 当时，的两个解为，即，则，即， 令，则，且，所以，， 所以， 构造函数，可得， 令， 则， 所以在单调递增，则， 所以恒成立，所以在单调递增， 可得， 又因为时，，所以. 20．（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数…是自然对数的底数，）． (1)讨论的单调性； (2)讨论关于x的方程根的个数． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)当时，关于x的方程根的个数为0；当时，关于x的方程根的个数为1；当时，关于x的方程根的个数为2． 【分析】（1）对函数求导，判断导数与0的大小关系，得出单调区间； （2）将方程转化为，令，讨论和时的单调性，再对的范围进行分析，讨论得到的零点个数，即可得出答案. 【详解】（1）解法一:， 当时，；当时． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 解法二：， 由，解得， 当时，，单调递减， 所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是； （2） 解法一:    通过图象可对c进行讨论： 当即，时，函数，的图象有两个交点， 即方程有两个根． 当即，时，函数，的图象有一个交点， 即方程有一个根． 显然当时，方程没有根． 解法二：令， （1）当时，，则， 所以，， 因为，，所以， 因此在上单调递增． （2）当时，，则， 所以，， 因为，， 又，所以，所以， 因此在上单调递减． 综合（1）（2）可知当时，， 当，即时，没有零点， 故关于x的方程根的个数为0； 当，即时，只有一个零点， 故关于x的方程根的个数为1； 当，即时， ①当时，由（1）知， 要使，只需使，即． ②当时，由（1）知； 要使，只需使，即； 所以当时，有两个零点，故关于x的方程根的个数为2； 综上所述： 当时，关于x的方程根的个数为0； 当时，关于x的方程根的个数为1； 当时，关于x的方程根的个数为2． 【11】利用导数证明不等式 21．（2026·河南·模拟预测）已知函数有两个极值点，． (1)求实数a的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求出导函数，再换元结合二次方程有两个正根列式求解即可； （2）应用韦达定理化简，再构造函数，求出导函数由导函数的正负得出单调性结合最值即可证明. 【详解】（1）由题可知． 由题可知在上有两个变号零点，， 设，，，则，是方程的两个不等正根， 所以，解得， 所以a的取值范围是． （2）由，， 可得，， 所以． 设，，则， 令，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，故． 22．（2026·辽宁·一模）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，证明：对任意，都有； (3)证明：，. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当对任意的，当时，要证，只需证明，变形为，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，即可证得结论成立； （3）由（2）得出，令，可得出，证明出，令，可得出，结合不等式的性质得出，再利用累加法可证得结论成立. 【详解】（1）当时，， 则， 所以，， 故当时，在点处的切线方程为. （2）对任意的，当时，， 故只需证对任意的恒成立，整理得， 构造函数，其中， 则 ， 所以函数在上为减函数，故当时，，即， 故对任意的，， 故当时，对任意，都有. （3）由（2）知，当时，，即， 令，则， 因为，所以， 构造函数，其中，则， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 令，得，即， 整理得， 则， 即， 所以，，，， 累加得 ， 故，. 【12】利用导数解决双变量问题 23．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知函数，． (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，函数，且存在，使得，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由函数的单调性转化为在区间恒成立，转化为最值问题求解； （2）首先利用导数判断函数和的单调性和最值，再根据，确定和的范围，再根据，，和三种情况，证明不等式. 【详解】（1）由条件可知，在上恒成立， 则在上恒成立，则，， 因为时，，当且仅当等号成立，所以， 所以； （2）时，， 恒成立，所以在单调递减， 且，时，，当时，， 由，得，，， 所以在区间上单调递减，在上单调递增，， 所以， 若存在，使得，则， 当时，，，满足， 当时，，，有两种情况，或， 要证明，即证明，其中， 当时，在单调递增，因此要证明，等价于证明， 因为，即证明， 令，， ， 当时，，， 令，， 所以在上单调递减，，因此， 所以在上单调递增，所以， 即在区间恒成立， 因此，又因为，所以， 又因为在区间单调递增， 所以，即，结论成立， 当时，因为，所以，所以不等式显然成立， 综上可知，时，，当时，成立， 所以无论何种情况，，得证. 24．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数在区间内极值点的个数． (2)设函数，若函数存在两个不同的零点，且． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析. (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数，分情况和讨论极值点； （2）（i）利用导数研究单调性，从而得，由函数存在两个不同的零点可得，得解； （ii）根据零点的分布和大小情况进行考虑入手即可. 【详解】（1）因为，所以． 若，当时，恒成立， 则函数在上单调递增，无极值点． 若，当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 故是函数的极小值点，且函数无极大值点． 综上可知，当时，函数在区间内极值点的个数为0； 当时，函数在区间内极值点的个数为1． （2）（i）由题意知， 所以． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为函数存在两个不同的零点，所以，即， 所以实数a的取值范围为． （ii）下面找两个点m，，使得， 注意到，且，于是考虑找点， 下面我们证明：． ①要证，即证，设，要证明， 即设，则，则 所以在上单调递增，得， 所以在上单调递增， 故，即 因此． 设，则， 所以在上单调递增，所以， 因此，又，故，即， 又，所以．．             ②， 设，则， 易知在上单调递增，在上单调递减， 所以，即． 因为，即，所以，且， 因此， 因为，所以，所以， 即得证． 【13】参变分离法解决导数问题 25．（2025·广东佛山·三模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过坐标原点，求的值； (2)若存在两个极值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值点求参数、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）解法1：根据题意分离常数得与的图象有2个交点，利用导数作出的图象，数形结合求解即可；解法2：半分离可得与的图象有两个交点，根据，结合图象求解即可. 【详解】（1）由题意可得 ，则 因为切线经过坐标原点，所以，所以； （2）解法1：令，因为存在2个极值点，所以方程有2个变号零点， 即与的图象有2个交点 令 令，求得 当，，单调递减，当，，单调递增， 又因为当时，，且，当时，，作出图象如下： 结合图象，方程有2个变号零点的条件是 即存在2个极值点的条件是 解法2（半分离）：令，因为存在2个极值点， 所以方程有2个变号零点，即与的图象有两个交点， 先分析两个函数图象相切的情况，设是函数的切点，有 ，所以 作出图象如下： 由图象可知，要使得有两个交点，，即. 26．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数是函数的导函数，且． (1)求； (2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数证明不等式、由函数在区间上的单调性求参数、零点存在性定理的应用 【分析】（1）根据导函数结合，求出原函数即可； （2）根据题设函数的单调性，得出导函数在内恒成立，分离参数，利用新设函数的导函数分析其单调性，即可求得的取值范围； （3）通过二次求导结合零点存在定理分析导函数的单调性，从而求出函数的最值证得，再利用放缩法可证得不等式. 【详解】（1）由题意，设，（为常数）， 又，所以，则． （2）由题意，在内恒成立． ，，． 令，则， 在区间上单调递增， ，即. 所以实数a的取值范围是． （3）设， 又，则，所以在区间上单调递增． ，，即， ，使，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又， ，此时且， ∴， 又，，则， 综上，． 【14】构造函数法解决导数问题 27．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若函数有两个零点和，且，求证：； (3)设函数，，若与的图象有两个交点，，试比较与的大小.（参考数据：，） 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用、求已知函数的极值 【分析】（1）根据导数与极值的关系求解即可. （2）根据导数与最值的关系求出函数的最值点，分别求出直线、方程，可得到与直线的交点横坐标及差值，再比较与差值的大小即可. （3）根据与的图象有两个交点得到，通过构造函数及导数与最值的关系得到，结合基本不等式得到，再通过构造函数及导数与单调性的关系求解即可. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，. 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取极小值，极小值为，无极大值. （2）有两个零点，即方程有两个不同实根和，. 设，则. 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，. 的大致图象如图所示， 可知函数的最低点为，， 直线的方程为，直线的方程为. 则直线与函数的图象交点的横坐标分别是和， 设与直线和的交点的横坐标分别是和，. 解方程可得，，. 当时，， 所以函数的图象在线段的下方. 当时，. 令，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，所以，其中， 故函数的图象在线段的下方. 所以根据单调性，可得，，所以， 故. （3）由得，即， 所以，， 两式相加，得； 两式相减，得， 所以， 所以， 即. 不妨令，记，则， 令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，即，所以. 又， 所以，即. 令，则时，， 所以在上单调递增. 又， 所以， 所以，即. 28．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数，其中. (1)当时，求在区间上的最大值； (2)若在上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围； (3)设为在内的极小值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、根据极值点求参数 【分析】（1）利用导数求函数最大值即可； （2）先分析的单调性，再分类讨论分析的零点，据此分析的单调性得出是否存在唯一极值即可； （3）原不等式可转化为证明，构造函数，利用导数求函数的最值即可得证. 【详解】（1）当时，，， 时，，故，单调递增， 故. （2）由题，，令，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. ①当时，，则在上恒成立，此时单调递减，不存在极值点； ②当时，， 由零点存在性定理知，存在，当时，单调递减， 当时，单调递增，当时，单调递减，此时有唯一极小值点，极大值点； ③当时，， 存在唯一，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减，此时在上有唯一极大值点； ④当时，恒成立，在上单调递增，此时无极值点. 综上，实数的取值范围为. （3）由题知，，即， 要证，即证， 令，则， 令 ，得， 再令，， 当时，，则单调递减， 所以，单调递减， 所以，从而，可得单调递减， 所以有， 则有， 因此. 【15】利用二次求导法解决导数问题 29．（2026·河北保定·一模）已知函数． (1)当时，求这个函数图象在处的切线方程； (2)证明：当时，，使得成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程. （2）方法1：设，通过二次求导判断函数的单调性，结合基本不等式求函数的最大值. 方法2：令，通过二次求导判断函数的单调性，结合基本不等式求函数的最大值. 【详解】（1）当时， ∵，∴， 即切线方程为. （2）方法1：当，时， 令，， 令，则， 令，即在单调递增， 令，即在单调递减； ∵， ∴，使，即 ∴在单调递减，在单调递增， ， ∴当时，，使得成立． 方法2：当，时， 令，， 令，则， 令，即在单调递增， 令，即在单调递减； ∵，， ∴，使，即 ∴在单调递减，在单调递增， ， ∴当时，，使得成立． 30．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数 (1)设，讨论的单调性； (2)设，若有解，求的取值范围． 【答案】(1)在定义域单调递增 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）通过导函数与基本不等式求解； （2）计算，的导函数，的导函数，分析出与都是增函数，以与0的大小关系进行分类讨论求解. 【详解】（1）． 所以， 所以在定义域单调递增； （2）因为， 所以函数为偶函数， 由对称性可将问题转化为存在， 使有解；而；； 令，则， 令，则 因为，所以，故在上为增函数； 当时，，所以在上为增函数； 故，所以在上为增函数， 故，不符合题意； 当时，，且， 又 在上为增函数，故，使，当时，， 函数在上单调递减，当时，， 所以函数在上单调递减，当时，，符合题意， 综上所述的取值范围是． 【16】极值点偏移问题 31．（2026·湖南·二模）已知函数，圆．设圆C与曲线交于A、B两点． (1)求 在处的切线方程； (2)证明：直线AB的斜率恒大于1； (3)若线段AB的中点为m，试判断点m的横坐标与1的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点m的横坐标大于1，证明见解析 【分析】(1)根据导数的几何意义求斜率，再根据点斜式求切线方程即可； (2) 将要证的直线AB的斜率恒大于1，转化成证明含的不等式，构造函数利用单调性证明即可； (3)将要证明的m的横坐标大于1，转化成，构造函数，利用单调性即证明. 【详解】（1）由，可得， 则在点处的切线方程为，即． （2）设， 不妨设，要证直线AB的斜率恒大于1，即证， 即证，即证①， 考查函数，，因， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 从而， 从而有，,所以， 要证①式，需证， 又， 即证： 化简得， 令， 令， 则， 由可得;由可得, 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上单调递减， 所以，原命题得证． （3）点m的横坐标大于1，证明如下： 设，且．由A，B在圆上得： ， 构造函数，则． ， 当时，，且，故； 当时，，且，故； 所以在单调递减，在单调递增，所以， 令， 则， 所以在单调递增，所以， 当时，， 所以， 所以， 即，又，所以， 又在单调递增，所以，即， 所以点m的横坐标大于1． 32．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数，其中. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)在数学上，我们把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，若曲线与轴相切，且切点为格点． （i）求的值； （ii）若，且，证明：. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析 【分析】（1）由恒成立，分参配方即可求解； （2）（i）由题意列出方程组，消去得，求导分析的整数零点，即可求； （ii）求导分析单调性，得出，构造函数证明，构造函数证明，由不等式的性质即可证明. 【详解】（1）， 由题意恒成立，则， 则. （2）（i）由题意，存在使得， 消去得， 设， 则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 极大值，当时， 极小值， ， 则在存在1个零点， 综上的整数零点只有0， 则. （ii）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 设， 则， 由基本不等式，则，单调递增， 则时，， 则， 由于，在单调递增， 则， 设， 则 则，单调递增， 当时，， 则， 即， 由于，在单调递增， 则， 由，可得， 则， 即. 【17】新定义问题 33．（2026·云南昭通·二模）帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：．注：已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数的值； (2)当时，试比较与的大小，并证明； (3)已知正项数列满足：，证明：． 【答案】(1)； (2)，证明见详解； (3)证明见详解. 【分析】（1）先对和进行两次求导，根据帕德近似定义，可得，，列方程即可求解； （2）由（1）得，令，求导可得，又，问题得证； （3）先构造并证明不等式，将、指数形式的关系放缩成不含指数的形式，即证明，利用（2）中的不等式，继续将、指数形式的关系放缩成不含指数的形式，即证明不等式的右边，继续利用、的关系，放缩并处理不等式，再利用不等式的特征构造函数证明不等式的左边. 【详解】（1）由题意，，， 则，， ， ， 又，， 所以，解得，， 所以； （2）当时，， 证明如下：由（1）得，，所以， 当时，，， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以， 即当时，，得证； （3）设，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即， 即，当且仅当时等号成立， 由题意，正项数列，，则，， 所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以， 即，所以， 又数列为正项数列，，所以， 又由（2）可得，所以， 又因为，所以，即， 所以，即， 所以，则，所以， 又，也符合上式，所以， 要证即证，即证， 又，所以， 又，所以，即，所以， 令，则， 所以单调递增，所以成立， 所以成立， 所以成立，所以成立，所以，得证. 综上所述，可得. 34．（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1），，利用导数判断其单调性后可证函数，与“具有性质”. （2）根据函数具有性质得，令，，利用极值点偏移的方法可证，故可得原不等式成立； （3）令， ，利用导数可证在前者为减函数，后者为增函数，再结合不等式的性质可证函数与“具有性质”. 【详解】（1）令，， 所以，所以在上单调递增， 不妨设，所以，即， 即， 所以， 所以函数，与“具有性质”. （2）证明：由函数在上有两个零点，，得， 又函数与“具有性质”， 则， 即，即， 令，，即. 记，即，又， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 要证，即证，不妨设， 即证，只需证，即证. 设，即， 所以， 所以函数在上单调递减，且， 又，则，即，则得证， 故. （3）证明：不妨设，所以，所以， 所以，令，， 所以，所以在上单调递减， 又，所以，即， 所以； 当时，， 令，，所以， 令，所以， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 综上，，即， 即函数与“具有性质”. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 系统沉淀训练08导数解答题-2026届高三数学三轮冲刺（学生版） 说明：1.本专题的题源精选于2026年高考模拟题或预测题，内容比较多，请选择使用； 2.建议平时数学成绩90分以下的研究每题的第一问，90-120分的重点研究第二问，120-150分的重点研究第二、第三问; 3.每2个题目为一组，考查的知识点或方法标注在题目前面，请选择性使用; 4.主要考查方向与题目一览表 题号 1-2 3-4 5-6 7-8 9-10 11-12 考向 【1】利用导数证明或求解函数单调区间(不含参) 【2】分类讨论法证明或求解函数的单调区间(含参) 【3】已知函数单调区间求参数范围 【4】构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系 【5】利用导数求解函数的极值 【6】利用函数的极值求参数值 题号 13-14 15-16 17-18 19-20 21-22 23-24 考向 【7】利用导数求解函数的最值 【8】利用导数解决函数的极值点问题 【9】利用导数解决恒(能)成立问题 【10】利用导数解决函数的零点，交点或方程的根的问题 【11】利用导数证明不等式 【12】利用导数解决双变量问题 题号 25-26 27-28 29-30 31-32 33-34 考向 【13】参变分离法解决导数问题 【14】构造函数法解决导数问题 【15】利用二次求导法解决导数问题 【16】极值点偏移问题 【17】新定义问题 【1】利用导数证明或求解函数单调区间(不含参) 一、解答题 1．（2026·北京房山·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，分别讨论函数与在上的单调性； (3)证明：当时，． 2．（2026·湖北荆州·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； (3)为的导数，若两个不相等的实数满足，求证：.（参考公式：） 【2】分类讨论法证明或求解函数的单调区间(含参) 3．（2026·福建厦门·二模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 4．（2026·江苏·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 【3】已知函数单调区间求参数范围 5．（2026·河北张家口·二模）已知函数. (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若时，函数有3个零点，求实数的取值范围. 6．（2026·河北唐山·一模）函数，. (1)若在上单调递减，求a的取值范围； (2)若曲线与在处有相同的切线， （i）求a的值； （ⅱ）若，证明：. 【4】构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系 7．（2026·陕西榆林·一模）已知函数，. (1)若，证明：. (2)若曲线与关于直线对称，关于x的方程恰有三个不等实根，，，其中. （ⅰ）求a的取值范围； （ii）证明：． 附：若，则当时，． 8．（25-26高三上·安徽六安·月考）已知函数，若有两个不同的零点． (1)求实数的取值范围； (2)求证：． 【5】利用导数求解函数的极值 9．（2026·江西宜春·一模）已知函数，. (1)讨论函数的极值； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围. 10．（2026·河北保定·一模）已知函数 (1)当 时，求的极值. (2)已知. （i）证明: ； （ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围. 【6】利用函数的极值求参数值 11．（2026·广东·一模）设函数，已知是函数的极值点． (1)求的值； (2)设函数，证明：． 12．（2025·辽宁·二模）已知函数，为的导函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的两个极值点分别为和，且. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【7】利用导数求解函数的最值 13．（2026·河北沧州·一模）已知函数． (1)求函数的最大值； (2)已知为数列的前项和，证明：． 14．（2026·广东东莞·模拟预测）已知函数 (1)判断是否为周期函数，并说明理由； (2)求的最大值和最小值； (3)设证明： 【8】利用导数解决函数的极值点问题 15．（2026·安徽合肥·二模）已知函数． (1)当时，证明：； (2)若存在两个极值点，记． （i）求的取值范围； （ii）若，求直线斜率的最小值． 16．（2026·河北承德·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值． 【9】利用导数解决恒能成立问题 17．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若不等式恒成立，求的最大值. 18．（2026·浙江金华·二模）已知函数，． (1)求函数的极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围． 【10】利用导数解决函数的零点，交点或方程的根的问题 19．（2026·湖北·二模）函数. (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数有两个零点、，且，求的取值范围. 20．（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数…是自然对数的底数，）． (1)讨论的单调性； (2)讨论关于x的方程根的个数． 【11】利用导数证明不等式 21．（2026·河南·模拟预测）已知函数有两个极值点，． (1)求实数a的取值范围； (2)证明：． 22．（2026·辽宁·一模）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，证明：对任意，都有； (3)证明：，. 【12】利用导数解决双变量问题 23．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知函数，． (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，函数，且存在，使得，求证：． 24．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数在区间内极值点的个数． (2)设函数，若函数存在两个不同的零点，且． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 【13】参变分离法解决导数问题 25．（2025·广东佛山·三模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过坐标原点，求的值； (2)若存在两个极值点，求的取值范围． 26．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数是函数的导函数，且． (1)求； (2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，证明：． 【14】构造函数法解决导数问题 27．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若函数有两个零点和，且，求证：； (3)设函数，，若与的图象有两个交点，，试比较与的大小.（参考数据：，） 28．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数，其中. (1)当时，求在区间上的最大值； (2)若在上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围； (3)设为在内的极小值点，求证：. 【15】利用二次求导法解决导数问题 29．（2026·河北保定·一模）已知函数． (1)当时，求这个函数图象在处的切线方程； (2)证明：当时，，使得成立． 30．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数 (1)设，讨论的单调性； (2)设，若有解，求的取值范围． 【16】极值点偏移问题 31．（2026·湖南·二模）已知函数，圆．设圆C与曲线交于A、B两点． (1)求 在处的切线方程； (2)证明：直线AB的斜率恒大于1； (3)若线段AB的中点为m，试判断点m的横坐标与1的大小关系，并证明你的结论． 32．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数，其中. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)在数学上，我们把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，若曲线与轴相切，且切点为格点． （i）求的值； （ii）若，且，证明：. 【17】新定义问题 33．（2026·云南昭通·二模）帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：．注：已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数的值； (2)当时，试比较与的大小，并证明； (3)已知正项数列满足：，证明：． 34．（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $