1.4.2三角形垂直平分线、尺规作图-【导学练评】 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

1.4.2三角形垂直平分线、尺规作图-【导学练评】北师大版数学八年级下册 学习目标： 1.通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题. 2.借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想. 学习重点： 三角形三边垂直平分线性质定理的证明. 学习难点： 用尺规过直线上（或外）一点作出该直线的垂线； 1、垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 如图, ∵ AC=BC, MN⊥AB,， P是MN上任意一点(已知), ∴ PA=PB (这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一). 2、逆定理: 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上 (这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一) 1、 已知: 线段AB,（如图）.求作: 线段AB的垂直平分线. 作法： 1．分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D． 2．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线． 二、合作交流、新知探究尺规作图： （1）已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗? 能作出 个，所作出的三角形是否全等？ （2）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?这些三角形全等吗？ 能作 个，这些三角形全等吗？ 作法 ①、作底边AB， ②、作底边的垂直平分线PO，取OC等于高。 ③、连接AC、BC，三角形ABC为所求。 （3）如图1-26，已知线段a和h,用尺规作△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h, 作法 ①、作线段BC=a， ②、作线段BC的垂直平分线m,交BC于D。 ③、在直线m作线段DA,使DA=h。 ④、连接AB、AC，△BAC就是要作的三角形。 （4）如图1-27，已知L和直线外一点P,用尺规作直线L的垂线，使它经过点P 作法 ①、任意取一点使P、Q，位于直线L的两侧。 ②、以P为圆心，PQ为半径画弧，相交直线L 于点A、B。 ③、作AB的垂直平分m,直线m就是所要作的 直线。 探究三 三角形的垂直平分线 例题1 1．已知：在△ABC中设AB、BC的垂直平分线交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC． 例题2 2．已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. 一、基础达标1： 3．如图所示，AC=AD，BC=BD， 则下列说法正确的是（　　） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ ACB 4．已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合共有　 　　　种. 5． 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P ，使得PA+PC=BC则下列选项正确的是(　　) A． B． C． D． 6．已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO. 7．如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=3cm，△ABC的面积是6平方厘米，腰AB的垂直平分线EF分别交AB 、AC于点E、F，点D为BC边上的中点，M为EF上的动点． （1）当△BMD周长的最小时，请在图中作出满足条件的△BMD （保留作图痕迹，不要求写出画法）． （2）△BMD周长的最小值是　 　． 二、能力提升1： 8． 如图，点M和点N在∠AOB内部． （1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请说明作图理由． 三、拓展迁移1： 9．如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，求△DFC周长的最小值． 10．阅读下面材料： 数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C． 小艾的作法如下： 如图，(1)在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于D、E 两点；（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F；（3）作直线CF． 所以直线CF就是所求作的垂线． 请回答：小艾这样作图的依据是： 　 　。 线段的垂直平分线 一、尺规作图； 1、已知三角形的底和高求作三角形。 2、过直线外一点，作直线的垂线。 3、作三角形三边的垂直平分线（中垂线） 二、三角形三边的垂直平分线 定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点是三角形的外接圆圆心（外心），这一点到三个顶点的距离相等. 三角形三条边上垂直平分线的交点叫三角形的外接圆圆心外心，这个点到三角形顶点的距离是外接圆半径。 四、基础达标2： 11．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（　　） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 12． 如图所示，AC=AD，BC=BD 那么(　　) A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD C．CD平分∠ACB D．∠ACB=∠ADB=90° 13．下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 　 　（填序号） 14．如图，已知直线m，直线n分别与l交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到m、n的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 15．如图，用直尺和圆规在AC上确定一点P，使PB+PC=AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是(　　） A． B． C． D． 五、能力提升2： 16．小芸在班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法． 六、拓展迁移2： 17．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（ ） A．60° B．55° C．50° D．45° 18．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E． （1）若BC=5，求△ADE的周长． （2）若∠BAD+∠CAE=60°求∠BAC的度数 答案解析部分 1．【答案】证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB． 同理PB=PC． ∴PA=PB=PC． ∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)． 即 边AC的垂直平分线经过点P. 定理： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点， 并且这一点到三个顶点的距离相等. 即PA =PB=PC. 【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质和判定证明即可. 2．【答案】证明： ∵OE平分∠AOB， ∴∠COE=∠DOE， ∵EC⊥OA， ED⊥OB， ∴∠OCE=∠ODE=90°， 又∵OE=OE， ∴△OCE≌△ODE(AAS)， ∴OC=OD， CE=DE， ∴OE是CD的垂直平分线 【解析】【分析】由“AAS”可证△OCE≌△ODE，由全等三角形的性质可得OC=OD， CE=DE，可证OE是CD的垂直平分线. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：∵AC=AD，BC=BD， ∴点A，B都在线段CD的垂直平分线上， ∴AB 垂直平分CD. 故答案为：A. 【分析】根据垂直平分线的判定解答即可. 4．【答案】无数 【解析】【解答】解：根据线段垂直平分线的性质可知：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 故只要D，E，F是线段AB垂直平分线上的点，都可以满足， 所以满足这样的点有无数个。 故答案为：无数. 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可. 5．【答案】D 6．【答案】证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线. 又 ∵AB与CD相交于点O， ∴AO=BO 【解析】【分析】根据题意得到CD为线段AB的垂直平分线，即可得到结论. 7．【答案】（1）解： 如图， 即为所求； ​​​​​​​ （2）5.5 【解析】【解答】解： 点D为BC边上的中点， 的面积是 ∵EF是AB的垂直平分线， D+BD， 周长的最小值是AD+BD=4+1.5=5.5(cm). 故答案为： 5.5cm. 【分析】(1)根据等腰三角形的三线合一即可在图中作出满足条件的 (2)根据垂直平分线的性质得到AM=BM，然后根据三角形的面积求出AD长，即可求出 周长的最小值. 8．【答案】（1）解：如图所示为所作图形 （2）解：作图的理由：点P 在∠AOB的平分线上，又在线段MN的垂直平分线上，∠AOB的平分线和线段MN的垂直平分线的交点即为所求 【解析】【分析】（1）作∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线，交点即为点P； （2）根据线段垂直平分线的判定和角平分线的判定解答即可. 9．【答案】解：如图，过点A，作 于H，连接AD，AF. ∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC， ∴DF+DC=AD+DF， ∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长. ∴AH=12. ∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=10. ∵BF=3FC，∴CF=FH=5， ∴DF+DC的最小值为 13. ∴△CDF周长的最小值为13+5=18 【解析】【分析】过点 A，作 于H，连接AD.由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长. 10．【答案】等腰三角形“三线合一”，两点确定一条直线 【解析】【解答】解：解：分别以点D和点E为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点F，小艾这样作图的依据是等腰三角形的“三线合一”， 作直线CF，依据是：两点确定一条直线. 故答案为：等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线. 【分析】直接利用等腰三角形的性质以及直线的性质分析得出答案. 11．【答案】D 【解析】【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：D． 【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 12．【答案】B 【解析】【解答】解：∵AC=AD，BC=BD，∴点A，B都在线段CD的垂直平分线上， ∴AB 垂直平分CD. 故答案为：B. 【分析】根据垂直平分线的判定解答即可. 13．【答案】①②③ 14．【答案】解：如图所示为所作图形 【解析】【分析】作线段AB的垂直平分线得到线段AB的中点，则中点为P点. 15．【答案】C 【解析】【解答】解：∵点P在AC上， 而PB+PC=AC， ∴点P在线段AB的垂直平分线上， ∴作线段AB的垂直平分线交AC于点P. 故答案为：C. 【分析】要使PB+PC=AC，必有PA=PB，所以选项中只有作AB的中垂线才能满足条件，故此得解. 16．【答案】解：作法： (1)作AB的垂直平分线CD交AB于点O； (2)分别以A、B为圆心，以AO(或BO)的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N； (3)连接OM、ON即可. 【解析】【分析】应先做线段AB的垂直平分线，得到半圆的圆心；三等分平角，那么平分而成的每个角是，根据半径相等，可得到相邻两个半径的端点与圆心组成一个等边三角形.以A为圆心，半径长为半径画弧，就可得到一个另一半径的端点所在的位置，连接它与圆心，就得到一条三等分线，同法做到另一三等分线. 17．【答案】C 18．【答案】（1）解：∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E， ∴DA=DB，EA=EC △ADE的周长=AD+AE+DE=BD+EC+ED=BC=5 （2）解：∵DA=DB，EA=EC ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE ∵∠BAD+∠CAE=60° ∴∠B+∠C=60° ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120° 学科网（北京）股份有限公司 $