1.5.1 角平分线-【导学练评】 2025--2026学年北师大版数学八年级下册

1.5.1角平分线-【导学练评】北师大版数学八年级下册 学习目标： 1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.并理解性质定理和判定定理是互逆定理。 2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理. 3.能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题， 体会转化的思想. 学习重点： 正确证明角平分线性质定理及判定定理. 学习难点： 正确证明角平分线判定定理. 1、拿出课前准备的纸，在纸上任意画出一个角。 折痕OC和∠AOB有什么关系？ 折痕OC把∠AOB分成两个相等的角∠AOC和∠BOC。 折痕OC叫做∠AOB的角平分线。 2、画∠AOB的平分线 ①、以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N ②、分别以M、N为圆心，大于MN的一半为半径画弧，两弧相交于C ③、连接OC，OC就是∠AOB的平分线 3、你能准确地说出角平分线的性质定理和判定定理 性质定理： . 判定定理： . 探究一：证明性质定理 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴ ∠PDO=∠PEO=90 ° ∵ ∠1=∠2，OP=OP， ∴ △PDO≌△PEO（ ） ∴ PD=PE（ ）. 【强调】 角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 几何语言 ∵ OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA 于D, PE⊥OB于E 　∴ PD=PE 探究二：证明判定定理 角平分线性质的逆定理是： . 已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE. 求证：OP 平分∠AOB. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴ ∠ODP = ∠OEP = 90 ° . ∵ PD = PE，OP = OP， ∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）. ∴ ∠1 =∠2（ ）. ∴ OP 平分 ∠AOB. 【强调】：角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 几何语言： ∵PD⊥OA，PE⊥OB， PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上（或∠AOC＝∠BOC)． 例题1 1．在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长. 例题2 2．如图，在△ABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F． （1）求证：DE=DF； （2）若∠BDE =40°，求∠BAC的度数． 例题3 3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，作AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，求证：BE平分∠ABC 一、基础达标1： 4．下列命题是真命题的是（　　) A．同旁内角互补 B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形 C．两边及一角对应相等的两个三角形全等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 5．在△ABC中，AB=AC，∠B的角平分线与AC边所夹的锐角为60°，则∠A=　 　. 6．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　) A．3 B．4 C．2 D．6 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是（　　) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm 9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　） ①AD是∠ABC的平分线； ②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④ A．1 B．2 C．3 D．4 二、能力提升1： 10．如图，已知AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF相交于点D.下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上． 其中正确的是（　　) A．①②③ B．②③ C．①③ D．① 11．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.下列结论不正确的是（　　) A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90° C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55° 三、拓展迁移1： 12．如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC． （1）求证：CE平分∠BCD； （2）求证：AD+BC=CD． 13．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE//AB，交BC于点E，PF//AC，交BC于点F．求证：点D到PE和PF的距离相等． 1、角平分线的尺规作图 2、角平分线的性质定理；角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 3、角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 4、角平分线的性质定理和判定定理是互逆定理。 四、基础达标2： 14．如图AD是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E，交AD于点F，∠1＝30°，∠BAD的度数（　　） A．20° B．30° C．60° D．120° 15．如图，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，DF⊥AB交AB于F，DE⊥DF交AC于E，若AE＝8，则DF等于（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 17．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　） A．24 B．30 C．36 D．42 18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是 　 　． 19．如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P，求证PA是∠CAB的平分线 五、能力提升2： 20．如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（　　）处． A．1 B．2 C．3 D．4 六、拓展迁移2： 21．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上． （1）求证：DC=DE； （2）若AC=4，AB=5，且△ABC的面积等于6，求DE的长． 22．已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上． （1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之； （2）如图，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】解：∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E， F，且DE=DF， ∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵ ∠BAC=60°， ∴ ∠BAD=30°. 在Rt △ ADE中， ∠AED=90°，AD=10， ∴AD= 2 ED= DE=10÷2=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 【解析】【分析】根据角平分线的判定可得AD平分∠BAC，即可得到∠BAD=30°，然后根据30°的直角三角形的性质解答即可. 2．【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°， ∵D是BC的中点， ∴BD= CD． 又∵∠B=∠C， 在△BED和△CFD中， ∠BED=∠CFD，∠B=∠C， BD= CD， ∴△BED≌△CFD(AAS)， ∴DE= DF （2）解：由(1)∠BED =90°， ∴∠B+∠BDE= 90°， 又∵∠BDE =40°， ∴∠B= 50°， 又∵∠B=∠C， ∴∠C= 50°， 在△ABC中， ∵∠BAC+∠B+∠C= 180°， ∴∠BAC= 180°-∠B-∠C= 80° 【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠BED=∠CFD=90°，由线段中点的概念可得BD=CD，然后证明△BED≌△CFD，据此可得结论； （2） 首先根据已知条件以及直角三角形两锐角互余的性质可得∠B的度数，进而得到∠C的度数，然后根据三角形内角和定理求解即可. 3．【答案】证明： 中 ∵AB的垂直平分线，交AB于D点，交AC于E点， ， ∴BE平分 【解析】【分析】首先利用直角三角形的性质求得 的度数，然后利用线段的垂直平分线的性质得到 的度数，从而问题得证. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，错误； B、等腰三角形有锐角三角形，也有钝角三角形，错误； C、 两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等 ，错误； D、 角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，正确； 故答案为：D. 【分析】根据平行线的性质判断A；利用等腰三角形的性质和三角形内角和分析判断B；根据全等三角形的判定定理判断C；根据角平分线的性质定理判断D. 5．【答案】20°或100° 【解析】【解答】解：设∠B的角平分线交AC于点E，当∠BEC=60°时，如图1， ∵AB=AC， ∵∠ABE+∠A=∠BEC， ∴∠A=20°； 当∠AEB=60°时，如图2， ∵AB=AC， ∵∠ABE+∠A+∠BEC=180°， ∴∠A=100°， 综上所述， ∠A的度数为20°或100°. 故答案为：20°或100°. 【分析】根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得到 -∠A)，当∠BEC=60°时，根据三角形外角的性质得到 当∠AEB=60°时，根据三角形内角和定理得到 解方程求出∠A的度数即可. 6．【答案】A 【解析】【解答】点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上的是M点． 故答案为：A． 【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 7．【答案】A 【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAB， DE⊥AC， ∠B =90°， ∴DE=BD=3， 故答案为：A. 【分析】根据角平分线上得点到角的两边距离相等解答即可. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAB， DE⊥AB， ∠C =90°，∴DE=CD， 又∵AC= BC， AC = AE， ∴ AC= BC = AE， ∴△DBE的周长=DE+BD+EB=CD+BD+EB=AE+EB=BC+EB=AB， ∵AB=6cm， ∴△DBE的周长= 6cm. 故答案为：A. 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，再根据等腰直角三角形的性质求出AC=BC = AE，然后求出△DBE的周长= AB，代入数据即可得解. 9．【答案】D 【解析】【解答】解：如图， ​​ ①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线.故①正确. ②如图， ∵在△ABC中， ∠C=90°， ∠B=30°， ∴∠CAB=60°. 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.故②正确； ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD， ∴点 D在AB的中垂线上.故③正确； ④∵如图，在直角△ACD中， ∠2=30°， 故④正确. 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个. 故答案为：D. 【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线； ②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数； ③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上； ④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：∵BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， ∴∠AEB=∠AFC=90°. ∵∠AEB=∠AFC=90°， ∠A=∠A， AB=AC， ∴△ABE≌△ACF，故①正确. ∵△ABE≌△ACF， ∴AE=AF， ∴BF=CE. ∵BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， ∴∠DFB=∠DEC. 在△DFB和△DEC中， ∠DFB=∠DEC，∠BDF=∠CDE， BF=CE， ∴△BDF≌△CDE，故②正确. ∵△BDF≌△CDE， ∴DF=DE，又∵DF⊥AB， DE⊥AC， ∴点D在∠BAC的角平分线上，故③正确. 故答案为：A. 【分析】利用AAS即可证明△ABE≌△ACF，根据对应边相等得到AE=AF，即可得到BF=CE，进而利用AAS即可证明△BDF≌△CDE，即可得到DF=DE，然后根据角平分线的判定判断③解答即可. 11．【答案】B 【解析】【解答】解：A、∵∠ABC=50°， ∠ACB=60°， ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°- ，不符合题意； B、∵BD平分∠ABC， ∠ABC=50°， ∵∠DOC是△OBC的外角， ∴∠DOC=∠CBO+∠ACB=25°+60°=85°，符合题意； C、∵CD平分∠ACE， ∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=120°， ∴∠BDC=180°-25°-120°=35°，不符合题意； D、∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线， ∴AD是△ABC的外角平分线， 不符合题意. 故答案为：B. 【分析】A、分析题意，根据三角形的内角和定理，列式计算即可求出∠BAC的度数； B、根据角平分线的性质求出∠CBO的度数，然后利用三角形外角的性质求出∠DOC的度数； C、根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO的度数，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC的度数； D、判断出AD为三角形的外角平分线，再列式计算即可求出∠DAC的度数. 12．【答案】（1）证明：如图，作EM⊥CD垂足为M， ∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD， ∴AE＝EM， ∵ 点E为AB的中点， ∴AE＝EB， ∴EM＝EB， ∵EB⊥BC，EM⊥CD， ∴EC平分∠BCD． （2）证明：由（1）可知：AE＝EM＝EB，在Rt△DEA和Rt△DEM中， ， ∴Rt△DEA≌Rt△DEM（HL）， ∴DA＝DM， 同理可证：Rt△BEC≌Rt△BMC（HL）， ∴CB＝CM， ∴CD＝DM+MC＝AD+BC． 【解析】【分析】（1）作EM⊥CD垂足为M，根据角平分线的性质得到AE＝EM，根据中点得到AE＝EB，即可得到EM＝EB，再根据角平分线的判定证明即可； （2）根据HL得到△DEA≌△DEMRt△DEA≌Rt△DEM，Rt△BEC≌Rt△BMC，即可得到AD＝DM，CB＝CM，然后根据线段的和差解答即可． （1）证明：如图，作EM⊥CD垂足为M， ∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD， ∴AE＝EM， ∵AE＝EB， ∴EM＝EB， ∵EB⊥BC，EM⊥CD， ∴EC平分∠BCD． （2）证明：由（1）可知：AE＝EM＝EB， 在Rt△DEA和Rt△DEM中， ， ∴Rt△DEA≌Rt△DEM（HL）， ∴DA＝DM， 同理可证：Rt△BEC≌Rt△BMC（HL）， ∴CB＝CM， ∴CD＝DM+MC＝AD+BC． 13．【答案】证明：∵PE//AB，∴∠BAD=∠EPD， ∵PF//AC，∴∠CAD=∠FPD， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD=∠BAD， ∴∠EPD=∠FPD， ∴PD是∠EPF的角平分线， ∴点D到PE和PF的距离相等． 【解析】【分析】根据平行可得∠BAD=∠EPD，∠CAD=∠FPD，然后根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，进而得到∠EPD=∠FPD，即可得到PD是∠EPF的角平分线，即可得到结论. 14．【答案】B 【解析】【解答】解：∵EF∥AC， ∴ ∵AD是∠BAC的平分线 ∴， 故答案为：B． 【分析】先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，从而得解. 15．【答案】B 【解析】【解答】解：过D作DG⊥AC， ∵DE∥AB， ∴∠GED=∠CAB=30°， ∵AD是∠CAB的平分线， ∴∠EAD = 15°， ∴∠EDA=30°-15°= 15°， ∴AE= ED=8，在Rt△GED中， ∠GED =30°， DE = 8， ∴DG=4， ∵DF⊥AB，AD是∠CAB的平分线， ∴DF =DG =4， 故答案为：B. 【分析】根据平行线的性质可知∠GED=∠CAB=30°，然后根据角平分线的性质解答即可. 16．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E， 又∵∠C＝90°， ∴DE＝CD， ∴△ABD的面积＝ AB•DE＝ ×15×4＝30． 故答案为：B． 【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=4，根据三角形的面积公式计算即可． 17．【答案】B 【解析】【解答】解：延长BA，过点D作DE⊥BA交其延长线于点E，如图， ∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DE⊥BE，CD=4， ∴DE=DC=4， 又∵AB=6，BC=9， ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD， = ·AB·DE+ ·BC·CD， = ×6×4+ ×9×4， =12+18， =30. 故答案为：B. 【分析】延长BA，过点D作DE⊥BA交其延长线于点E，根据角平分线性质得DE=DC=4，由S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，代入数据计算即可得出答案. 18．【答案】4 【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，如图所示： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DE＝3， ∴DF=DE=3， ∵S△ABC=S△ABD+S△ACD， ∴×3×AC+×3×6=15， 解得：AC=4， 故答案为：4. 【分析】过点D作DF⊥AC于点F，利用角平分线的性质可得DF=DE=3，再结合S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得×3×AC+×3×6=15，再求出AC的长即可. 19．【答案】证明：过P分别向AB、BC、AC作垂线，交AB于F，交BC于H，交AC于M，如图， ∵BD是∠CBF的平分线， ∴PH=PF， ∵CE是∠BCM的平分线， ∴PM=PH， ∴PF=PM， PA是∠CAB的平分线. 【解析】【分析】过P分别向AB、BC、AC作垂线，交AB于F，交BC于H，交AC于M，根据角平分线的性质得到PH=PF=PM，即可得到结论. 20．【答案】D 【解析】【解答】解：∵ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴ABC内角平分线的交点满足条件； 如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点， 过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC， ∴PE＝PF，PF＝PD， ∴PE＝PF＝PD， ∴点P到ABC的三边的距离相等， ∴ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点共有4个， ∴可供选择的地址有4处． 故选：D． 【分析】根据角平分线的判定得到选择的地址在三角形的内角或外角的平分线上解答即可． 21．【答案】（1）证明： ∵∠C=90°， DE⊥AB， ∴∠C=∠AED=90°， 在△ACD和△AED中， ∴△ACD≌△AED(AAS)， ∴DC=DE； （2）解： ∵∠C =90°， AC=4， AB=5， ∴△ABC的面积等于6， 由 (1) 得DC= DE， 又∵AC=4， AB=5， 【解析】【分析】(1)先过点D作DE⊥AB于E， 由于DE⊥AB，那么∠AED=90°， 则有∠ACB=∠AED， 联合∠CAD=∠BAD，AD= AD，利用AAS即可证明结论即可； (2)根据勾股定理求出BC的值，由△ACD≌△AED，证得DC= DE，然后根据 即可求得DE长解答即可. 22．【答案】（1）解：AD、AB、AC之间的关系是AD+AB=AC， 证明： ∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN， ∴∠CAD=∠CAB=60°， 又∵∠CDA=∠CBA=90°， ∴∠ACD=∠ACB=30°， AC=2AD， AC=2AB， ∴AD+AB=AC； （2）解：AD+AB=AC仍然成立， 证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F， ∵AC平分∠MAN ∴CF=CE， ∠ABC+∠ADC=180°，∠CDE+∠ADC=180°， ∴∠CDE=∠ABC，∠CEA=∠CFB， ∴△BCF≌△DCE， ∴ED=BF， AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF， 由(1)知AE+AF=AC， ∴AD+AB=AC. 【解析】【分析】(1)得到后再可以证得 从而，证得结论； (2)过点 C分别作 AM、AN的垂线，垂足分别为E，F，证得后即可得到AD+AB=AE+AF，从而证得结论。 学科网（北京）股份有限公司 $