1.4.2 尺规作图和三角形三边垂直平分线的性质-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

=∠A=58°. 8.11【解析】如图，连接AD,AD与EF交 于点M',连接BM', ,△ABC是等腰三角形，D为底边BC 的中点AD1BC.BD=专BC. :Sr=BC·AD=7×6AD=24AD=8. ,EF为线段AB的垂直平分线， ..AM'=BM',.'.BM'+DM'=AM'+DM'. 当点M运动到点M'处时，BM'+DM'最小， ∴·△BDM的周长的最小值为BM'+DM'+BD=AD +BD=AD+BC=11. 9.证明：如图，连接PA. ,PQ是AB的垂直平分线， ∴PA=PB, ∠B=∠PAB=22.5°， .∠APD=45°. AD⊥BC, .∠PDF=∠ADC=90°， .∠DPF+∠PFD=90°，∠PAD=90°-∠APD= 45°=∠APD,∴.PD=AD. .'PE⊥AC,.∠AFE+∠DAC=90° 又∠AFE=∠PFD,∴.∠DPF=∠DAC. I∠PDF=∠ADC, 在△PDF和△ADC中，PD=AD, /DPF=∠DAC, .△PDF≌△ADC(ASA),∴.DF=DC. 10.解：(1)证明：ED垂直平分AC, ∴.AD=CD,.∠A=∠ACD. .∠ACB=90°， .∴.∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°， ∠B=∠BCD,∴BD=CD, .DA=DB=DC. (2)此时FP平分∠HFG.理由如下： 如图，作线段MF的垂直平分线交FP于点O,连 接OM. ,'PM⊥FH,PN⊥FG, ∴.△MPF和△NPF都是直角三 角形. 由(1)中结论可知OF=OP=OM.H 作线段FN的垂直平分线必与FP交于点O,连接 ON,..OM=OP=OF=ON. 又.MN⊥FP,∴.∠OKM=∠OKN=90. .OK=OK, ,.Rt△OKM≌Rt△OKN(HL), ∴.MK=NK. 又FK=FK,.△FKM≌△FKN(SAS), .∠MFK=∠NFK,即FP平分∠HFG. 第2课时尺规作图和三角形三边垂直平分线的性质 1.D2.C 3.解：(1)如图①，EF即为所求. (2)如图②，点M即为所求 图① 图② 4.A 5.100°【解析】，点P为△ABC三边垂直平分线的交 点，PA=PC=PB, ∴.∠PCA=∠PAC=20°，∠PBC=∠PCB=30°， ∴.∠PAB+∠PBA=180°-∠PBC-∠PCB- ∠PAC-∠PCA=80°， .∴.∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=100° 6.解：如图，连接AD. :直线EF,MN分别是边AB, AC的垂直平分线，.DA=DB, FA=FB,DA=DC,NA=NC, .'DA=DB=DC. ,△AFN的周长=AF+FN+AN=BF+FN+NC =BC=10,△BCD的周长=BD+BC+CD=24, .BD+CD=14,..BD=CD=7. 7.C 8.160°【解析】如图，连接OA. ,∠BAC=80°，.∠ABC+ ∠ACB=100°.：O是AB,AC垂 直平分线的交点，∴.OA=OB,OA =OC,∴.∠OAB=∠OBA, ∠OCA=∠OAC,OB=OC,∴.∠OBA+∠OCA=80°， ∴.∠OBC+∠OCB=100°-80°=20°，.∠BOC=180° -∠OBC-∠OCB=160°. 9.证明：如图，连接OB ,D是△ABC的边BC的中点， .BD=CD. BC∥EF,AE⊥EF, B .∴.AD⊥BC,∴.BO=CO .AO=CO,.'.AO=BO=CO, .O是△ABC三边垂直平分线的交点。 10.证明：如图，连接AP,AQ,PB,BQ. 由作图可知，PA=AQ,BP=BQ,∴. 点A在PQ的垂直平分线上，点B在 PQ的垂直平分线上，.直线AB垂 直平分PQ,∴.直线PQ是直线l的 垂线 11.解：(1)60 (2)如图，连接AF,BF,CF. ,DF,OF,EF分别垂直平分AB,BC,AC, ..AF=BF=CF,BM=AM,AN=CN. 下册参考答案 △AMN的周长为12，.AM+AN+MN=12, .BM+MN+CN=12,BC=12. 在四边形ADFE中，∠ADF十∠DAE+∠AEF+ ∠DFE=360°. ,∠ADF=∠AEF=90°，∠DAE=120°，∴.∠DFE= 360°-90°-90°-120°=60°，即∠AFD+∠AFE=60°， :AF=BF,FD⊥AB, .∠BFD=∠AFD. 同理，∠CFE=∠AFE, ∴.∠BFC=∠BFD+∠AFD+∠AFE+∠CFE= 2(∠AFD+∠AFE)=120° ,OF垂直平分BC, ÷OB=号BC=6,∠OFB=∠OrPC=2∠BFPC =60°， .∠OBF=90°-∠OFB=30°， ∴.BF=2OF. .OB2+OF2=BF2, .6+OF2=4OF2,解得OF=2√3， :.AF=BF=20F=4/3. ,OA≥AF-OF=25, 且当点A在FO的延长线上时，上式等号成立， .OA的最小值为2√3 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 1.D 2.C【解析】如图，过点G作GH ⊥AB于点H. 由尺规作图可知，AG是△ABC 的角平分线. ∠C=90°，GH⊥AB, ..GH=CG. 六SaA=2AB·GH=2AB·CG=2BG·AC, ∴5cG=25GcG:BG=3:6 3.1 变式题4【解析】如图，过点D分别作DG⊥AC,DH ⊥AB,垂足分别为G,H. :点D在∠BAC的平分线上， .'DG=DH. SAE-2CE·DG=4,SA ·DH,CE=BF, ∴.S△DBr=SAcE=4. 4.证明：如图，连接BE,CE :AE平分∠FAC,EF⊥AF, ∠AGE=90°， ..EF=EG. :DE是BC的垂直平分线， .BE=EC. 在Rt△BEF和Rt△CEG中， 410 八年级数学BS版 EF=EG. BE=CE. .Rt△BEF≌Rt△CEG(HL), ∴.BF=CG 5.B【解析】：ON⊥BC,OM⊥AB,OM=ON, .BO是∠ABC的平分线 ∠ABC=30,∠AB0=2∠ABC=15. 6.证明：：DE⊥AB,DF⊥AC, .∠E=∠DFC=90. (BD=CD, 在R△BDE和R△CDF中，BE=CF, ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),.DE=DF DE⊥AB,DF⊥AC,AD平分∠BAC. 7.A【解析】如图①，过点M作ME⊥AD于点E.,M 是BC的中点，BC=20cm,.CM=BM=10cm. ,DM平分∠ADC,∠C=90°，ME⊥AD,∴.ME= CM=BM=10cm.又：∠B=90°，ME⊥AD,∴AM 平分∠DAB.:∠B=∠C=90°，∴.∠B+∠C=180°， .DC∥AB.∠ADC=120°，.∠DAB=60°， .∴.∠EAM=30°，∴.AM=2ME=20cm. D 图① 图② 一题多解法◆ 如图②，延长DM交AB的延长线于点G. :DM平分∠ADC,∴.∠ADM=∠CDM. ∠ABC=∠C=90°，∴∠C=∠MBG=90. 又，MC=MB,∠CMD=∠BMG. .'.△DMC≌△GMB(ASA), ∴.DM=GM,∠G=∠CDM=∠ADM= 2∠ADC=60°， △ADG是等边三角形，∴.AM平分∠DAB, .∠BAM=30°，.AM=2MB=BC=20cm. 【解析】如图，过点B作BH⊥AC于点H,交 AD于点M',过点M'作M'N'⊥AB于点N' :AD是∠BAC的平分线，∴.MH= M'N', H ..BM'+M'N'=BM'+M'H=BH. 3 :在R△AHB中，AB=2,∠BAC =45,BH=3.故BM+MN的最小值是BM十 M'N'-BM'+M'H-BH-3 4 9.解：(1)：∠ACB=106°，.∠ACD=180°-106°=74°. EH⊥BD,∴∠CHE=90°. ∠CEH=53°，.∠ECH=90°-53°=37°，第2课时尺规作图和三 课内基础闯关 - 知识点①与线段垂直平分线有关的尺规作图 1.已知△ABC(AC<BC),用尺规作图的方法 在BC上确定一点P,使PA十PC=BC.符 合要求的作图痕迹是 B 2.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别 以点B,C为圆心，大于2BC的长为半径作 弧，两弧相交于点M,N;②作直线MN交 AB于点D,连接CD.若AD=AC,∠A= 80°，则∠ACB的度数为 () M D 第2题图 A.65° B.70°C.75° D.80° 3.如图，正方形网格中，点A,B,C都在格点 上.请用无刻度的直尺作图（不写作法，保留 作图痕迹). (1)如图①，作线段AB的垂直平分线. (2)如图②，在△ABC内部作点M,使MA= MB=MC. 图① 图② 知识点②三角形三边垂直平分线的性质 4.到三角形各顶点的距离相等的点是() A.三条边垂直平分线的交点 B.三个内角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 角形三边垂直平分线的性质 5.(2025九江永修月考)如图， 点P为△ABC三边垂直平分 线的交点.若∠PAC=20°， ∠PCB=30°，则∠APB的度 第5題图 数为 6.如下图，在△ABC中，直线EF,MN分别为 边AB,AC的垂直平分线，且交于点D,连接 BD,CD,AF,AN.若△BCD和△AFN的 周长分别为24和10，求BD的长. 知识点③三边垂直平分线的应用 7.如图，A,B,C三个居民小区的位置呈三角 形.现决定在三个小区之间修建一个购物超 市，使超市到三个小区的距离相等，则超市 应建在 ) B 第7题图 A.AC,BC两边上的高线的交点处 B.AC,BC两边上的中线的交点处 C.AC,BC两边的垂直平分线的交点处 D.∠A,∠B两内角的平分线的交点处 下册第一章 色课外拓展提高 8.如图，∠A=80°，O是AB,AC垂直平分线 的交点，则∠BOC的度数是 0 第8题图 9.如下图，D是△ABC的边BC的中点，过 AD延长线上的点E作AE的垂线EF,EF 与AB的延长线交于点F,EF∥BC,点O在 AD上，且AO=CO.求证：O是△ABC三边 垂直平分线的交点， 10.用直尺和圆规过直线1外一点P作直线1 的垂线.作法如下： ①在直线l上任取两点A,B; ②以点A为圆心，AP的长为半径作弧，以 点B为圆心，BP的长为半径作弧，两弧相 交于点Q,如右图所示； ③作直线PQ,则直线PQ就 是直线l的垂线. 请你对这种作法加以证明. 金2 八年级数学BS版 综合能力提升 11.如下图，在△ABC中，∠BAC=120°，DF, OF,EF分别垂直平分AB,BC,AC,交线 段BC于点M,O,N. (1)∠MAN的度数为 (2)连接OA,若△AMN的周长为12，求 OA的最小值. 知识要点归纳 1.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且 这一点到三个顶，点的距离相等 2.锐角三角形三边垂直平分线交于三角形内部， 3.直角三角形三边垂直平分线交于三角形斜边 中点， 4.钝角三角形三边垂直平分线交于三角形外部，