精品解析：黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校2025-2026学年下学期九年级数学周考试卷

工大附中2025～2026学年度下学期九年级数学周考试卷0316 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，+10.5表示收入10.5元，下列说法正确的是（　　） A. ﹣6.3表示收入6.3元 B. ﹣6.3表示支出﹣6.3元 C. ﹣6.3表示支出6.3元 D. 收支总和为16.8元 2. 下列食品标识中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 3. ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，ChatGPT的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达1750亿个模型参数，数据1750亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 将字母“C”“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第2026个图形中“H”的个数是（ ）个． A. 4050 B. 4054 C. 4056 D. 4060 8. 如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是(　　) A. B. 1 C. D. 9. 如图，已知在中，为上一点，，分别交，，于点，，，则下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形中，，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点C运动，直到两点都到达终点．若点P的运动时间为，的面积为，则下列最能反映S与t之间函数关系的图像是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数y=中自变量x的取值范围是_____． 12. 计算=___________. 13. 分解因式：___________． 14. 不等式组的解集是______． 15. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________． 16. 如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为__________． 17. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了______．（结果保留） 18. 如图，在中，，，，取中点，取上的一个动点，连接，将沿翻折至，点是点的对应点，连接，则的最小值为____ 19. 定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________． 20. 如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，点Q是线段上的动点（点Q不与点O，A重合），连接，并延长交边于点E，过点Q作交于点F，分别连接与，交对角线于点G，过点C作交于点H，连接．以下四个结论：①；②周长为8；③；④．其中正确的结论是______． 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分．） 21. 先化简再求值；，其中． 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）画出一个面积等于的，使点在小正方形顶点上； （2）为线段与网格线的一个交点，请利用网格特点直接用直尺在线段上画出点，使得，并直接写出线段的长． 23. 为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取名学生进行测试，并把测试成绩（单位：）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图． 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 a 12 b 10 请根据图表中所提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的样本容量为 ；样本成绩的中位数落在 范围内； （2）通过计算请把频数分布直方图补充完整； （3）该校共有名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在范围内的有多少人？ 24. 四边形的对角线，相交于点O，，，． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 25. 和兴商店准备从希望机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍． （1）求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？ （2）和兴商店将甲种零件每件售价定为220元，乙种零件每件售价定为155元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件．且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多6个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利大于3390元．求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？ 26. 内接于，直径交于点E，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点F在弧上，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点A作于点G，交半径于点H，若，，求线段的长． 27. 已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，且． （1）求直线的解析式； （2）动点C从点O出发沿向终点A运动，动点D从点A出发沿向终点B运动，当一个点停止运动时，另一个点随之停止运动，连接，若，点C横坐标为t，设的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，连接，点M在上，，作于点H，交于点F，若，求点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 工大附中2025～2026学年度下学期九年级数学周考试卷0316 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，+10.5表示收入10.5元，下列说法正确的是（　　） A. ﹣6.3表示收入6.3元 B. ﹣6.3表示支出﹣6.3元 C. ﹣6.3表示支出6.3元 D. 收支总和为16.8元 【答案】C 【解析】 【分析】根据+10.5表示收入10.5元，可以得出“收入”用正数表示，从而“支出”就用负数表示，即可得出答案． 【详解】解：根据+10.5表示收入10.5元，“收入”用正数表示，那么“支出”就用负数表示， 于是﹣6.3表示支出6.3元， 故选：C． 【点睛】本题考查了正数，负数的意义，一个量用正数表示，那么与它具有相反意义的量就用负数表示． 2. 下列食品标识中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，中心对称图形绕着某点旋转后能够与原图形完全重合，据此解答即可． 【详解】解：选项A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 选项B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项C、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形； 选项D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 3. ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，ChatGPT的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达1750亿个模型参数，数据1750亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，需要将1750亿转换为标准形式 ，其中 ， 为整数． 【详解】解：∵ 1750亿 ， ∴ 数据1750亿用科学记数法表示为 ． 故选：B． 4. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从上面看到的图形即为俯视图求解即可． 【详解】解：该几何体俯视图是： 5. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象在一三象限， ∴ 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键． 6. 把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律进行求解即可． 【详解】解：把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为，即， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 7. 将字母“C”“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第2026个图形中“H”的个数是（ ）个． A. 4050 B. 4054 C. 4056 D. 4060 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察前几个图形，总结出“H”的个数与图形序号的关系式． 【详解】解：观察图形： 第1个图形中“H”的个数为； 第2个图形中“H”的个数为； 第3个图形中“H”的个数为； 由此可推出，第n个图形中“H”的个数为； 当时，“H”的个数为． 8. 如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是(　　) A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC＝∠AED，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出cos∠ABC的值，即为cos∠AED的值． 【详解】∵∠AED与∠ABC都对， ∴∠AED＝∠ABC， 在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝1， 根据勾股定理得：BC＝ ， 则． 故答案为D. 【点睛】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，解题关键是熟练掌握圆周角定理． 9. 如图，已知在中，为上一点，，分别交，，于点，，，则下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定推出△AEF∽△ABD，△AFG∽△ADC，△AEG∽△ABC，再根据相似三角形的性质得出比例式即可． 【详解】A、∵EG∥BC，即EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD， ∴， ∵，故本选项不符合题意； B、∵EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD， ∴， ∵BDDC，故本选项不符合题意； C、∵EG∥BC，即FG∥DC， ∴△AFG∽△ADC， ∴， ∵，故本选项不符合题意； D、∵EG∥BC， ∴△AEG∽△ABC， ∴， ∵FG∥DC， ∴△AFG∽△ADC， ∴， ∴，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，能正确的识别图形、灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 10. 如图，四边形中，，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点C运动，直到两点都到达终点．若点P的运动时间为，的面积为，则下列最能反映S与t之间函数关系的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分两种情况：当点Q在线段上和点Q在线段上．分别根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，当点Q在线段上时，作交于点E， ∵， ∴ 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 如图所示，当点Q在线段上时，此时， 作交于点F， 同理可得，， ∴， ∴， ∴综上所述，当时，；当时，． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数y=中自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≥﹣且x≠1． 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列式计算． 【详解】由题意得，2x+3≥0，x-1≠0， 解得，x≥-且x≠1， 故答案为x≥-且x≠1． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． 12. 计算=___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根数的加减，先把二次根数化为最简二次根式，然后合并解题即可. 【详解】， 故答案为：. 13. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，后用平方差公式分解即可． 【详解】， 故答案为：． 14. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式2x＋2＜0，得：x＜−1， 解不等式−x＋13，得：x-2， 故不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 15. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】用树状图把所有情况列出来，即可求出． 【详解】 总共有12种组合， 《论语》和《大学》的概率， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式． 16. 如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论． 【详解】解： 由作图可知平分， 设则有 ∴ 故答案为：5． 17. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，根据砝码被提起的长度等于径为圆心角为的弧长，即可求解． 【详解】解：依题意，砝码被提起的长度为， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，取中点，取上的一个动点，连接，将沿翻折至，点是点的对应点，连接，则的最小值为____ 【答案】2 【解析】 【分析】由，的中点得到，根据折叠的性质得到，连接，当点在线段上时，最短，根据勾股定理得到，进而求得的最小值． 【详解】解：∵，的中点， ∴， ∵将沿翻折至，点是点的对应点， ∴， 如图，连接， ∴当G、A、D在同一直线上时，最短， ∵，， ， ∴， ， ∴的最小值为2． 19. 定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：①当时，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，证明，得到，即可求出的长；②当时，过点作交于点，由等角对等边得到，再证明，设，进而得出，，根据求出的值，即可求出的长；③当时，利用锐角三角函数，得出，，即此种情况不存在；④当时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 若为“反直角三角形”， ①当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②当时，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ； ③当时， ，，且， ， ， 若，则，即， 此种情况不存在； ④当时， 当点与点重合时，最小，此时， 同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 20. 如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，点Q是线段上的动点（点Q不与点O，A重合），连接，并延长交边于点E，过点Q作交于点F，分别连接与，交对角线于点G，过点C作交于点H，连接．以下四个结论：①；②周长为8；③；④．其中正确的结论是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，，证明点、、、四点共圆，结合圆周角定理可得，即可判断①正确；延长至点使得，连接，先证明，得出，，再证明，得出，即可判断②正确；连接，先证明点、、、四点共圆，得出，从而得出，进而可得点、、、四点共圆，即可判断③正确；证明，由相似三角形的性质即可判断④正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 如图，延长至点使得，连接， ， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的周长，故②正确； 如图，连接， ， ∵， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分．） 21. 先化简再求值；，其中． 【答案】，原式 【解析】 【分析】原式分子分母因式分解，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，计算得出a的值，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ， 则原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）画出一个面积等于的，使点在小正方形顶点上； （2）为线段与网格线的一个交点，请利用网格特点直接用直尺在线段上画出点，使得，并直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析，． 【解析】 【分析】（）通过网格求三角形面积即可确定的位置； （）取，，连接交于点，则点即为所求，然后通过勾股定理和相似三角形的性质即可求出线段的长． 【小问1详解】 解：如图， ∵面积为：， ∴点即为所求； 【小问2详解】 解：如图，取，，连接交于点，则点即为所求， 理由：∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求， 由网格可知：， ∴， ∴． 23. 为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取名学生进行测试，并把测试成绩（单位：）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图． 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 a 12 b 10 请根据图表中所提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的样本容量为 ；样本成绩的中位数落在 范围内； （2）通过计算请把频数分布直方图补充完整； （3）该校共有名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在范围内的有多少人？ 【答案】（1）8，； （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法、用样本估计总体，理解各个数量之间的关系是正确解答的关键． （1）由频数分布直方图可得，由频数之和为求出的值，进而根据中位数的意义，找出第、位的两个数落在哪个范围即可； （2）根据（1）所求即可补全频数分布直方图； （3）用乘以样本中学生立定跳远成绩在范围内的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由统计图得，， ∴， ∵由样本容量为得中位数为第、个，， ∴中位数落在内， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如图所示： 【小问3详解】 解：（人， 答：估计该校名学生中立定跳远成绩在范围内的有人． 24. 四边形的对角线，相交于点O，，，． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）首先证明出，得到，然后结合即可证明； （2）首先由菱形的对称性得到；然后证明出，是等边三角形，得到，求出，得到；然后求出， 得到；然后求出，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点O， ∴点A和点C关于所在直线对称， ∴； ∵，， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与线段相等的线段有，，，． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键． 25. 和兴商店准备从希望机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍． （1）求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？ （2）和兴商店将甲种零件每件售价定为220元，乙种零件每件售价定为155元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件．且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多6个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利大于3390元．求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？ 【答案】（1）每个甲种零件的进价为200元，则每个乙种零件的进价为150元；（2）该商店本次购进甲种零件至少是113个． 【解析】 【分析】（1）设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x＋50）元，根据数量＝总价÷单价结合用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m＋6）个，根据总利润＝单个利润×销售数量结合总获利大于3390元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】（1）设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x+50）元， 依题意，得：2， 解得：x＝150， 经检验，x＝150是分式方程的解，且符合题意， ∴x+50＝200． 答：每个甲种零件的进价为200元，则每个乙种零件的进价为150元． （2）设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m+6）个， 依题意，得：（220﹣200）m+（155﹣150）（2m+6）＞3390， 解得：m＞112． ∵m为正整数， ∴m的最小值为113． 答：该商店本次购进甲种零件至少是113个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 26. 内接于，直径交于点E，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点F在弧上，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点A作于点G，交半径于点H，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设．由圆周角定理可得，再证明，即可得证； （2）过点O作于J，由垂径定理可得，再证明，得出，即可得证； （3）连接，先证明．设，则．再证明，得出．由勾股定理计算得出，，．解直角三角形得出，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：连接，如图： ， ∵， ∴设． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：过点O作于J，如图： ， ∵过圆心O，为弦非直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 设， ∴． ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴在中，， ∴， 解得， ∴，． 在中，， ∴在中，， ∴． ∵， ∴． 27. 已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，且． （1）求直线的解析式； （2）动点C从点O出发沿向终点A运动，动点D从点A出发沿向终点B运动，当一个点停止运动时，另一个点随之停止运动，连接，若，点C横坐标为t，设的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，连接，点M在上，，作于点H，交于点F，若，求点F的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，结合得出，最后再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）作轴于点，设点C的横坐标为t，则，则，，，证明，由勾股定理可得，由相似三角形的性质可得，最后再由三角形的面积公式计算即可得出结果； （3）由（2）知，证明，由相似三角形的性质求出，则．证明为等腰直角三角形，得出．设，则，，由等面积法得出，结合勾股定理计算得出，，求出直线解析式为．设，则，从而求出，进而可得直线的解析式为，联立，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：直线， 当时，， ∴． ∵， ∴， ∴， 将代入中可得， 解得， ∴直线的解析式为：． 【小问2详解】 解：如图，作轴于点， ， 设点C的横坐标为t，则， ∴，，． ∵轴， ∴， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴， ∴的面积为S，函数关系式：． 【小问3详解】 解：如图： ， 由（2）知， 在和中，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线解析式为． 设，则， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $