精品解析：黑龙江哈尔滨市工业大学附属中学2025-2026学年九年级下学期数学练习题

哈工大附中2025-2026学年度九下数学练习题 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 2. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，该选项计算错误，不符合题意； B、，故该选项计算正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、，故该选项计算错误，不符合题意； 故选： B． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意． 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是三角形，结合选项即可求解． 【详解】解：∵主视图是直角三角形， 故A，C，D选项不合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据三视图还原几何体，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键． 5. 对于双曲线，当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. k＜3 B. k≤3 C. k＞3 D. k≥3 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象性质选出正确选项． 【详解】解：当时，y随着x的增大而减小，所以，即． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象性质． 6. 如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上与楼底点相距30米的点处，测得楼顶点的仰角，则这幢大楼的高度为（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】利用在Rt△ABO中，tan∠BAO＝即可解决． 【详解】：解：如图，在Rt△ABO中， ∵∠AOB＝90°，∠A＝65°，AO＝30m， ∴tan65°＝， ∴BO＝30•tan65°米． 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知正切函数为对边比邻边． 7. 如图将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，其点D恰好落在BC边上，则∠EDC等于（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 65° 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得∠EAC=50°，∠E=∠C，然后根据三角形内角和可得到∠EDC=∠EAC=50°． 【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，其中点D恰好落在BC边上， ∴∠EAC=50°，∠E=∠C， ∴∠EDC=∠EAC=50°， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 8. 据息，年哈尔滨冰雪大世界的冰雪用量为万立方米，自这一年起，冰雪大世界的冰雪用量在逐年增长，年冰雪大世界的冰雪用量为万立方米，若每年的冰雪用量增长率相同，设这个增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设这个增长率为，根据题意列出一元二次方程，根据题意数量关系列出方程是解题的关键． 【详解】设这个增长率为，依题意得：， 故选：． 9. 如图，点E是平行四边形的边上一点，射线交延长线于点F，则下列比例式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，通过相似三角形的性质和平行线分线段成比例可得，，，即可得出结果． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ，故选项A正确，不符合题意； ， ，故选项B错误，符合题意； ， ， 四边形是平行四边形， ， ，故选项C正确，不符合题意； ， ， ，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 10. 现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件，某物流公司的汽车行驶后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶到达目的地．汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：）之间的关系如图所示，请结合图象，判断以下说法正确的是（ ） A. 汽车在高速路上行驶了 B. 汽车在高速路上行驶的路程是 C. 汽车在高速路上行驶平均速度是 D. 汽车在乡村道路上行驶的平均速度是 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象可得汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h；汽车在高速路上行驶路程是180-30=150km；汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h；汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220-180）÷1=40km/h，即可求解． 【详解】解：A、根据题意得：汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h，故本选项错误，不符合题意； B、汽车在高速路上行驶的路程是180-30=150km，故本选项错误，不符合题意； C、汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h，故本选项错误，不符合题意； D、汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220-180）÷1=40km/h，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数图象的动点问题，明确题意，准确从函数图象获取信息是解题的关键． 二、填空题（共10小题，共30分） 11. 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a× ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】数据0.0000046用科学记数法表示为：， 故答案为： 【点睛】此题考查科学记数法，解题关键在于确定a和n的值． 12. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≠-2． 【解析】 【详解】解：分式有意义，则分式的分母不为零．即x+2≠0 解得：x≠-2 故答案为：x≠-2． 【点睛】本题考查分式的性质． 13. 不等式组的负整数解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的负整数解，先求出不等式组的解集，根据解集确定出不等式组的负整数解即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的负整数解为， 故答案为：． 14. 把多项式分解因式的结果是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________． 【答案】45° 【解析】 【分析】根据题意知虚线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得；结合°，，可计算的度数． 【详解】 ∵ ∴ ∴ 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键． 16. 定义新运算：对于非零的两个实数a和b，规定，如．若，则x的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题侧重考查了解分式方程，掌握定义的新运算的意义是解题的关键．根据已知新定义进行转化，然后结合分式方程的求法可求． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 经检验，是的解． 故答案为： 17. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积变化时，气体的密度随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，二氧化碳的密度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图像上点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 观察函数图像，根据函数图像上点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图像上点的坐标特征，即可求出当时的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将代入表达式中得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴当时，气体的密度是， 故答案为：． 18. 新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列出表格如下： 思想政治 地理 化学 生物 思想政治 思想政治，地理 思想政治，化学 思想政治，生物 地理 地理，思想政治 地理，化学 地理，生物 化学 化学，思想政治 化学，地理 化学，生物 生物 生物，思想政治 生物，地理 生物，化学 由表格可得，共有12种等可能的结果，其中该同学恰好选择地理和化学两科的有2种结果， 某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 19. 已知长方形，，，点为边上一点，若，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查长方形的性质、锐角三角函数、解一元二次方程，利用正切定义求解线段长是解答的关键．先证明得到，则，设，则，求得长，再由求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是长方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，则， 解得，， 即或， ∴或， ∵， ∴， ∴或， 故答案为：或． 20. 如图，在四边形中，，，对角线、的交于点．则下列结论：①；②；③；④若，则．其中一定正确的结论是：______（将正确结论的序号填在横线上）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据题意点四点共圆，是直径，圆心是线段的中点，如图所示，根据同圆中，同弧所对圆周角相等可判定①；根据圆内接四边形的性质可判定②；如图所示，延长交于点，可得，可判定③；如图所示，连接，由圆周角定理得到是等腰直角三角形，可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴点四点共圆，是直径，圆心是线段的中点，如图所示， ∵， ∴，故①正确； ∵四边形是的内接四边形， ∴，故②正确； 如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴，故③正确； 如图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④ ． 【点睛】本题考查了共圆的知识，圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，几何图形面积的计算，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 三、解答题 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键． 先分式除法法则进行化简，再运算减法，然后把字母的值代入运算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 22. 如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画一个以线段为一边的平行四边形，点均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为8； （2）在图2中画一个钝角三角形，点在小正方形顶点上，，且三角形的面积为6．请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）以点B为端点，沿网格线取线段，以为邻边画平行四边形即可； （2）如图，选定格点E，即为所求．如图，，，于是，． 【小问1详解】 解：如图，以点B为端点，沿网格线取线段，以为邻边画平行四边形即为所求， ； 【小问2详解】 解：如图，选定格点E，即为所求． 如图，，， 故，，． 【点睛】本题考查网格图中画图，平行四边形面积计算、三角函数计算、勾股定理；熟练三角函数定义是解题的关键． 23. 为有效推进儿童青少年近视防控工作，国家教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021-2025年）》，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乓球．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表． 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查了多少名学生； （2）通过计算补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角为_________； （3）该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数． 【答案】（1）120名 （2）图见解析， （3）550人 【解析】 【分析】本题考查条形图与扇形图的综合应用： （1）篮球人数除以所占比例求出调查总数即可； （2）求出乒乓球的人数，补全条形图，用足球所占的比例乘以360度求出圆心角的度数； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名）； 【小问2详解】 乒乓球人数为：（人）；补全条形图如图： ； 故答案为：； 【小问3详解】 （人）． 24. 如图1，平行四边形中，点E、点F分别是上的点，连接，． （1）求证：四边形是菱形． （2）如图2，当点E是AD中点时，与交于点O，连接，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积等于面积3倍． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）证得，则有，结合平行四边形的性质即可得证； （2）结合（1）的结论，证得△AEO≌△CFO，进而证得△ADO≌△CDO，△EDO≌△FDO，根据△AEO与△DOE同高等底，则有，即可得到，则有，可得△ADF满足条件，同理可证得，，也满足条件． 【小问1详解】 如图1， ∵平行四边形中， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵平行四边形中，，， ∴AD=CD=BC=AB， 四边形是菱形； 【小问2详解】 连接DO，如图， 如图2，符合条件的三角形有：，，，， 理由如下： 在（1）已证得：，则有∠DFA=∠DEC，DE=DF，∠DAF=∠DCE， ∴∠AEO=180°-∠DEC=180°-∠DFA=∠CFO， ∵根据（1）中证得平行四边形ABCD菱形，且E、F是AD、DC中点， ∴AD=DC， ∴AE=ED=DF=FC， ∵∠EOA=∠FOC， ∴△AEO≌△CFO， ∴EO=OF，AO=OC， ∴△ADO≌△CDO，△EDO≌△FDO， ∵△AEO与△DOE同高等底， ∴， ∴， ∴， ∴△ADF满足条件， ∴根据全等的性质可知△DEC满足条件， ∵，DE=AE， ∴， ∴△AEB满足条件， ∵，DF=FC， ∴， ∴△BCF满足条件， 则满足条件的三角形有：，，，． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证得△AEO≌△CFO是解答本题的关键． 25. 为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍．已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元． （1）求A、B两种类型羽毛球拍的单价． （2）该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且购买的总费用不高于1160元，最多购买A型羽毛球拍多少副？ 【答案】（1）型球拍每副元，型球拍每副元 （2）最多购买A型羽毛球拍副 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组与不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解题的关键． （1）设型球拍每副x元，型球拍y元，根据等量关系：购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元，列出二元一次方程组并解之即可； （2）设购买A型羽毛球拍m副，根据不等关系：购买的总费用不高于1160元，列出不等式，最后解不等式即可． 【小问1详解】 解：设型球拍每副x元，型球拍y元； 由题意得：， 解得：， 答：型球拍每副元，型球拍每副元； 【小问2详解】 解：设购买A型羽毛球拍m副， 由题意，得：， 解得：； 答：最多购买A型羽毛球拍副． 26. 如图，四边形内接于，对角线、交于点E，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接、，，求证：平分； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点F，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）132 【解析】 【分析】（1）延长交于F，连接，根据圆周角定理进行导角即可得证； （2）连接，根据圆内接四边形对角互补可得，进而可得，再证明即可得证； （3）过O作，证明，可得，设，，则，根据勾股定理可求，再证明，可求，设，则，证明，可求，根据勾股定理可求，再根据三角形面积公式即可得解． 【小问1详解】 证明：延长交于F，连接， 是直径， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， 平分； 【小问3详解】 解：过O作，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，，则， 在中，， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， ，， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ， ． 27. 已知：平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A，交x轴正半轴于点，连接AB． （1）如图1，求该抛物线的解析式； （2）如图2，P为抛物线第一象限上一点，连接PA、PB，设点P 的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接PO并延长至点E，交AB于点C，取x轴负半轴上一点D，连接DE、BE，若，，，求P点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点B代入解析式求解即可； （2）根据题意可设，过P作轴，延长MP，过B作，根据面积公式即可求解； （3）作于H，交EB延长线于M，交BD于N，于K，设，得到，通过计算证明，得到，再计算出，，即可得解． 【小问1详解】 把B代入解析式得， 解得（舍去）或， ∴ 解析式为； 【小问2详解】 过P作轴，延长MP，过B作于点N，如图所示， 设P点横坐标为t，则， 由（1）可得， ∴，， ∴，，， ∴， ， ， ， ∴； 【小问3详解】 作于H，交EB延长线于M，交BD于N，于K； 设， ∴. ∵， 又， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴与联立得， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式求解，二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈工大附中2025-2026学年度九下数学练习题 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 下列计算中，结果正确是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 5. 对于双曲线，当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. k＜3 B. k≤3 C. k＞3 D. k≥3 6. 如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上与楼底点相距30米的点处，测得楼顶点的仰角，则这幢大楼的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，其点D恰好落在BC边上，则∠EDC等于（ ） A 40° B. 50° C. 60° D. 65° 8. 据息，年哈尔滨冰雪大世界的冰雪用量为万立方米，自这一年起，冰雪大世界的冰雪用量在逐年增长，年冰雪大世界的冰雪用量为万立方米，若每年的冰雪用量增长率相同，设这个增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点E是平行四边形的边上一点，射线交延长线于点F，则下列比例式错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件，某物流公司的汽车行驶后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶到达目的地．汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：）之间的关系如图所示，请结合图象，判断以下说法正确的是（ ） A. 汽车在高速路上行驶了 B. 汽车在高速路上行驶的路程是 C. 汽车在高速路上行驶的平均速度是 D. 汽车在乡村道路上行驶的平均速度是 二、填空题（共10小题，共30分） 11. 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为___________． 12. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 13. 不等式组的负整数解为______． 14. 把多项式分解因式的结果是_________． 15. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________． 16. 定义新运算：对于非零的两个实数a和b，规定，如．若，则x的值为____________． 17. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积变化时，气体的密度随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，二氧化碳的密度是_____． 18. 新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为________． 19. 已知长方形，，，点为边上一点，若，则的值为__________． 20. 如图，在四边形中，，，对角线、的交于点．则下列结论：①；②；③；④若，则．其中一定正确的结论是：______（将正确结论的序号填在横线上）． 三、解答题 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，在小正方形边长均为1的方格纸中，有线段，点均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画一个以线段为一边的平行四边形，点均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为8； （2）在图2中画一个钝角三角形，点在小正方形顶点上，，且三角形的面积为6．请直接写出的长． 23. 为有效推进儿童青少年近视防控工作，国家教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021-2025年）》，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乓球．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表． 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查了多少名学生； （2）通过计算补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角为_________； （3）该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数． 24. 如图1，平行四边形中，点E、点F分别是上的点，连接，． （1）求证：四边形菱形． （2）如图2，当点E是AD中点时，与交于点O，连接，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积等于面积3倍． 25. 为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍．已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元． （1）求A、B两种类型羽毛球拍单价． （2）该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且购买的总费用不高于1160元，最多购买A型羽毛球拍多少副？ 26. 如图，四边形内接于，对角线、交于点E，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接、，，求证：平分； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点F，，求的面积． 27. 已知：平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A，交x轴正半轴于点，连接AB． （1）如图1，求该抛物线的解析式； （2）如图2，P为抛物线第一象限上一点，连接PA、PB，设点P 的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接PO并延长至点E，交AB于点C，取x轴负半轴上一点D，连接DE、BE，若，，，求P点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $