21.2.2平行四边形的判定（第1课时）课时分层训练2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.2.2平行四边形的判定（第1课时） 知识分点练 夯基础 知识点1 两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形 1．探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，判定四边形为平行四边形的依据是___________． 2．如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形______平行四边形（填“是”或“不是”）． 3．如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 4．如图， 在四边形中， ，是边的中点，连接并延长，交延长线于点 ．若，求证：四边形 是平行四边形． 知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 6．下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 知识点3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 7．四边形的对角线与相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B．， C．， D．， 8．如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且．求证：四边形是平行四边形． 能力综合练 练思维 9．如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． (1)求证：； (2)添加，求证：四边形是平行四边形． 10．如图，、相交于点，，，、分别是、的中点，求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 11．如图，在中，，为对角线上的两点，且，连接，，，，求证：四边形是平行四边形． 12．如图，四边形中，对角线，相交于点，点，分别在线段，上，且，，，求证：四边形是平行四边形． 13．如图，的对角线，相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接，，，． 求证：四边形是平行四边形． 拓展探究练 提素养 14．如图，在等边三角形中，点D在边上（与点B，C不重合），的垂直平分线交的延长线于点E，交边于点M． (1)当点D为中点时，连接，，求证四边形是平行四边形； (2)探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)若，求四边形的面积． 15．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2.2平行四边形的判定（第1课时） 知识分点练 夯基础 知识点1 两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形 1．探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，判定四边形为平行四边形的依据是___________． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【详解】解：根据尺规作图可知，， ∴四边形为平行四边形， 其依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 2．如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形______平行四边形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【详解】解：由题意已知， 四边形为平行四边形， 故答案为：是． 3．如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得出，再证，得出，即可得出结论． 【详解】证明：如图， 四边形是平行四边形， ， ，， 点是的中点， ， 在和中 ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 4．如图， 在四边形中， ，是边的中点，连接并延长，交延长线于点 ．若，求证：四边形 是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先根据证明，得，从而得，结合根据对边平行的四边形是平行四边形得证． 【详解】证明：是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形． 知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：A、两组对角都不相等，不能判定是平行四边形，故A选项错误； B、一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形，故B选项错误； C、根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形，故C符合题意； D、根据，判定一组对边平行，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形，故D不符合题意． 6．下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可． 【详解】解：A.，则，， ，， ，但， 与不平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C.，，两组对边分别相等，可以判定四边形为平行四边形，故本项符合题意； D.，，且，可得， ，只有一组对边平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意． 故选：C． 知识点3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 7．四边形的对角线与相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法逐一进行分析判断即可． 【详解】解：A、只有一组对边平行无法判定四边形是平行四边形，故错误； B、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故正确； C、，可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误； D、，可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误， 故选B． 8．如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】证明，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】证明：， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故四边形是平行四边形． 能力综合练 练思维 9．如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． (1)求证：； (2)添加，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】对于（1），根据“角边角”证明这两个三角形全等； 对于（2），先根据全等三角形的对应边相等得，进而得出，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得出答案． 【详解】（1）证明：在和中，， ； （2）证明：由（1）得：， ． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 10．如图，、相交于点，，，、分别是、的中点，求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据证明三角形全等即可；（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断即可； 【详解】（1）， ， 在和中， ， ； （2）， ， 、分别是、的中点， ，， ， 又， 四边形是平行四边形． 11．如图，在中，，为对角线上的两点，且，连接，，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】方法一：证明与全等，即可得，，由此可证明． 方法二：根据四边形是平行四边形，可得对角线互相平分，再由边的相等关系证明即可． 【详解】方法一： 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 又， 在与中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 方法二： 证明：连接，与相交于点， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形． 12．如图，四边形中，对角线，相交于点，点，分别在线段，上，且，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先证明，得，再结合，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出答案． 【详解】∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 13．如图，的对角线，相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接，，，． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质，得，，再根据，可得，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可求证． 【详解】证明：， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 拓展探究练 提素养 14．如图，在等边三角形中，点D在边上（与点B，C不重合），的垂直平分线交的延长线于点E，交边于点M． (1)当点D为中点时，连接，，求证四边形是平行四边形； (2)探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）先证明，是等边三角形，再证明，即可得证； （2）设的垂直平分线交于点F．先求得，再证即可得出结果； （3）过点D作，垂足为G．根据，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：是等边三角形，D是的中点， ，． 垂直平分， ，． ，是等边三角形． ． ． ． 四边形是平行四边形． （2）解：． 理由如下：如答图2，设的垂直平分线交于点F． 由（1）可知是等边三角形， ，． ． ，， ． ． ． 是等边三角形， ． ，即． ； （3）解：如答图3，过点D作，垂足为G．则，． 由（1）得， ，， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定定理、含有角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 15．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或时，为直角三角形 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质及含角的直角三角形的性质，熟练掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题关键． （1）由题意可知，，，根据含角的直角三角形的性质得出，根据，得出，即可证明四边形是平行四边形； （2）分和两种情况，画出图形，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示：当时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 如图所示，当时， 由（1）可得：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：； 综上所述：或，为直角三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $