2026年广东省中山市华侨中学中考数学一模试卷

2026年广东省中山市华侨中学校中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 2．（3分）下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列各数中，是无理数的为（　　） A．﹣1 B．3.33333 C． D．3.14 4．（3分）将含45°角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若m∥n，∠1＝30°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 5．（3分）下列运算正确的是（　　） A．m2•m3＝m5 B．m6÷m2＝m3 C．2m+3n＝5mn D．（m2）3＝m5 6．（3分）如图是由5个小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x+m（m为常数，且m＞0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3 9．（3分）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升6πcm时滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为（　　） A．36° B．54° C．72° D．108° 10．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是线段BC上的动点，以BE为边作正方形BEFG，连接AF，M为AF的中点，且AB＝4，则线段EM的最小值是（　　） A．1 B． C． D．2 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）计算：4cos30°+（3.14﹣π）0＝　 　 ． 12．（3分）（2024•湖北）计算的结果是 　 　 ． 13．（3分）（2026•泸县校级一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则△DOE与△BOC的面积之比为　 　 ． 14．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的两个实数根，则　 　 ． 15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝2，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为BE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 　 　 ． 三.解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．（7分）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（b+2a），其中a＝﹣2，b＝1． 17．（7分）解分式方程：． 18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＞AB． （1）尺规作图：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF＝AB，连接EF；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形ABEF是菱形． 四.解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．（9分）“爱你老己”是2025年底流行的网络热梗，“爱你老己”是“爱你自己”的意思，称自己为“老己”，仿佛在与一位相识多年的老朋友对话，亲切又幽默．九年级学生小明选用材质、颜色、大小均相同的四张卡片，分别将“爱”、“你”、“老”、“己”四个字书写在上面，并背面朝上反扣在桌上． （1）小明随机在四张卡片中抽取一张，求小明抽取到写有“爱”字卡片的概率． （2）小明随机在四张卡片中抽取两张，请用树状图或者表格分析，能凑成“老己”这个词的概率． 20．（9分）某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21．（9分）某校数学“综合与实践”小组在测量当地建筑书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 书圣阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： 先将无人机从地面的点C处垂直上升90.7m至点P，此时测得书圣阁的顶端A的俯角∠DPA为16°；再将无人机从点P处向右沿水平方向飞行60m至点D，然后沿垂直方向上升20m至点Q，此时测得书圣阁的端A的俯角∠EQA＝45°． 测量示意图 请求出书圣阁的高度AB．（结果保留整数，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 五.解答题（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22．（13分）定义：在钝角三角形中，若钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为妙趣三角形，这个锐角叫做妙趣角．例如，如图1，△ABC是妙趣三角形，∠C是妙趣角．若∠B＝130°，则∠C＝∠B﹣90°＝40°． 【概念理解】 （1）当妙趣三角形是等腰三角形时，妙趣角的度数为　 　 ； 【性质探究】 （2）如图2，数学兴趣小组发现，当△ABC是妙趣三角形，∠B是钝角，∠A是妙趣角时，存在的结论，请你证明这个结论； 【拓展应用】 （3）如图3，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE和△BCD都是妙趣三角形，且∠CAE、∠DCB分别为妙趣角，求的值． 23．（14分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线MN的垂线段，垂足为Q，求PQ的最小值； （2）如图2，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB垂足为点F，交BC于点E，连接CD，是否存在点D，使△CDE是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，求线段AG的最小值． 2026年广东省中山市华侨中学校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D A B B A D B 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．21． 12．1． 13.1：9． 14．． 15．． 三.解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．（7分）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（b+2a），其中a＝﹣2，b＝1． 解：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（b+2a） ＝4a2+4ab+b2﹣b2+4a2 ＝8a2+4ab， 当a＝﹣2，b＝1时，原式＝8×（﹣2）2+4×（﹣2）×1＝8×4+（﹣8）＝32﹣8＝24． 17．（7分）解分式方程：． 解：， 方程两边同时乘3（x+2），得3x﹣3（x+2）＝x﹣4， 去括号，得3x﹣3x﹣6＝x﹣4， 解得：x＝﹣2， 检验：把x＝﹣2代入3（x+2）＝0， ∴x＝﹣2是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＞AB． （1）尺规作图：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF＝AB，连接EF；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形ABEF是菱形． （1）解：如图，射线AE，线段AF即为所求． （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∵AF＝AB， ∴AF＝AE， ∵AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF是菱形． 四.解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．（9分）“爱你老己”是2025年底流行的网络热梗，“爱你老己”是“爱你自己”的意思，称自己为“老己”，仿佛在与一位相识多年的老朋友对话，亲切又幽默．九年级学生小明选用材质、颜色、大小均相同的四张卡片，分别将“爱”、“你”、“老”、“己”四个字书写在上面，并背面朝上反扣在桌上． （1）小明随机在四张卡片中抽取一张，求小明抽取到写有“爱”字卡片的概率． （2）小明随机在四张卡片中抽取两张，请用树状图或者表格分析，能凑成“老己”这个词的概率． （1）； （2）． （2）根据题意，列出表格，如下： 爱 你 老 己 爱 你、爱 老、爱 己、爱 你 爱、你 老、你 己、你 老 爱、老 你、老 己、老 己 爱、己 你、己 老、己 一共有12种等可能结果，其中能凑成“老己”这个词的有2种， 所以能凑成“老己”这个词的概率． 20．（9分）某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？ 解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． 由题意，得：150（1+x）2＝216， 解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，利润为w， 则w＝（m﹣30）[600﹣5（m﹣40）]＝﹣5（m﹣95）2+21125， ∵﹣5＜0， ∴当m＝95时，月销售利润最大； 故：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个． 21．（9分）某校数学“综合与实践”小组在测量当地建筑书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 书圣阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： 先将无人机从地面的点C处垂直上升90.7m至点P，此时测得书圣阁的顶端A的俯角∠DPA为16°；再将无人机从点P处向右沿水平方向飞行60m至点D，然后沿垂直方向上升20m至点Q，此时测得书圣阁的端A的俯角∠EQA＝45°． 测量示意图 请求出书圣阁的高度AB．（结果保留整数，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 解：如图，延长BA交QE于M，延长PD交MB于F， 由题可知，四边形QMFD，PCBF为矩形， 则QM＝DF，MF＝QD＝20m，FB＝PC＝90.7m， 设QM＝xm，则PF＝（x+60）m， 在Rt△QMA中，∠AQM＝45°， ∴∠MAQ＝45°＝∠MQA， 则MA＝QM＝xm， ∴AF＝（x﹣20）m， 在Rt△PFA中，∠APF＝16°， ∵， ∴AF＝PF•tan∠APF， 即x﹣20＝（x+60）×0.29， 解得x≈52.68， 则AB＝90.7+20﹣52.68≈58（m）， 答：书圣阁的高度约为58m． 五.解答题（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22．（13分）定义：在钝角三角形中，若钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为妙趣三角形，这个锐角叫做妙趣角．例如，如图1，△ABC是妙趣三角形，∠C是妙趣角．若∠B＝130°，则∠C＝∠B﹣90°＝40°． 【概念理解】 （1）当妙趣三角形是等腰三角形时，妙趣角的度数为　30°　 ； 【性质探究】 （2）如图2，数学兴趣小组发现，当△ABC是妙趣三角形，∠B是钝角，∠A是妙趣角时，存在的结论，请你证明这个结论； 【拓展应用】 （3）如图3，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE和△BCD都是妙趣三角形，且∠CAE、∠DCB分别为妙趣角，求的值． （1）解：设妙趣角的度数为x． 根据题意可得：x+90°+x+x＝180°， 解得：x＝30°， ∴妙趣角的度数为30°， 故答案为：30°． （2）证明：如图，作BD⊥AB交AC于D， ∴∠ABD＝90°， ∵△ABC是妙趣三角形，∠ABC是钝角，∠A是妙趣角， ∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝90°+∠DBC＝90°+∠A， ∴∠DBC＝∠A， 又∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴tanA； （3）解：连接OC，OD，如图所示： 设∠CAB＝a． ∵∠CAB是妙趣角， 则∠CEA＝90°+a， ∠ACE＝∠180°﹣（90+a+a）＝90﹣2a， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， 则∠DCB＝90°﹣（90°﹣2a）＝2a， ∵∠DCB是妙趣角， ∴在△BDC中，∠CBD＝90°+∠DCB＝90°+2a， ∵， ∴∠CDB＝∠CAB＝a， 由△BDC内角和可得∠CDB+∠CBD+∠DCB＝a+90°+2a+2a＝180°， 解得a＝18°， 则∠ACE＝90°﹣2×18°＝54°， ∵∠CAB＝a，AO＝OC， ∴∠ACO＝∠CAB＝18°， ∴∠COE＝2×18°＝36°， 则∠OCE＝∠ACE﹣∠ACO＝54°﹣18°＝36°， ∴∠OCE＝∠COE，∠OED＝∠OCE+∠COE＝72°， 故OE＝CE， ∵CO＝OD， ∴∠ODC＝∠OCE＝36°， 则∠DOE＝180°﹣∠ODE﹣∠OED＝72°， 即∠OED＝∠DOE， ∴OD＝DE， ∵∠OCE＝∠COE＝∠ODC＝36°， ∴△OCE∽△DCO， 则△OCE∽△DCO， ∴， ∵CO＝OD＝ED， ∴． 23．（14分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线MN的垂线段，垂足为Q，求PQ的最小值； （2）如图2，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB垂足为点F，交BC于点E，连接CD，是否存在点D，使△CDE是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，求线段AG的最小值． 解：（1）如图，过P作PG∥y轴交MN于点G， 设P（p，p2+p+3），则G（p，p+6）， ∴PGp+6p2﹣p﹣3p2p+3（p）2， 对于一次函数，令x＝0，得y＝6，令y＝0，得x＝﹣8， ∴OM＝8，ON＝6， ∴MN10， ∴sin∠ONM， ∵PG∥y轴， ∴∠PGQ＝∠ONM， ∴sin∠PGQ＝sin∠ONM， ∴， ∴PQPG（p）2， 当p时，PQ为最小值； （2）对于抛物线表达式，当x＝0，y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC表达式为：y＝kx+b， 则 解得： ∴直线BC：， 设点D的横坐标为t， ∵DE⊥AB， ∴，， ∴， ∵， ， ①当DE＝CE时，， 解得：或t＝0（舍）， ∴， ∴； ②当CD＝DE时，， 整理得：t2（﹣t+1）＝0， 解得：t＝1或t＝0（舍）， ∴， ∴； ③当CD＝CE时，， 整理得：， 解得：t＝2或t＝6（舍）或t＝0（舍）， ∴， ∴D（2，4）； 综上，△CDE是等腰三角形时，D（2，4）或或； （3）方法一：在y轴负半轴取点N（0，﹣6），连接NG并延长交x轴于点M，连接AN， 由旋转得：OE＝OG，∠EOG＝90°， ∵B（6，0）， ∴OB＝ON， ∴∠BON＝90°， ∴∠EOM＝∠GON＝90°﹣∠MOG， ∴△BOE≌△NOG（SAS）， ∴∠CBO＝∠MNO， ∴点G在线段MN上运动（不包括端点）， ∴当AG⊥MN时，AG最小， ∵∠CBO＝∠MNO，OB＝ON，∠COB＝∠MON， ∴△COB≌△MON（ASA）， ∴OM＝OC＝3， ∴， ∴当AG⊥MN时，， ∴， ∴； 方法2：设， ∵OE绕O点顺时针旋转90°， ∴， ∴， 当t＝2时，AG的最小值为． ∴线段AG长度的最小值． 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $