第二章《不等式与不等式组》回顾与思考-【导学练评】2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第二章《不等式与不等式组》回顾与思考-【导学练评】北师大版数学八年级下册 学习目标： 1、掌握不等式的基本性质， 理解一元一次不等式（组）的解集，能用数轴表示解集，运用一元一次不等式和一次函数的关系，解决实际问题。 2通过回顾本章内容，培养学生归纳总结能力，以及用数学知识解决实际问题的能力。 3、用不等式及不等式组的知识去解决实际问题，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心。 学习重点： 掌握本章所有知识 学习难点： 利用本章知识解决实际问题。 表示不等关系的符号称为不等号。一般包括 五种。 用不等号连接起来的式子 1．用适当的符号表示下列关系： （ 1 )a的2倍比8小； （ 2 )y的3倍与1的和大于3； （ 3 )x除以2的商加上2至多为5； （ 4 )a与b两数和的平方不大于2. （ 5 )x与y的差为非正数； （ 6 )a与4的和不小于2 性质1: . 性质2: . 性质 3: . 使不等式成立的未知数的值. 一个含有未知数的不等式的所有解的集合，组成了这个不等式的解集. 2．由a<b，得到am≤bm的条件是（　　) A．m>0； B．m<0； C．m≤0； D．m≥0. 3．下列变形中正确的是（　　) A．由a<b，得 > ； B．由m<n，得mx<nx； C．由a>b，得-2+3a>-2+3b； D．由7x>3x-2，得x<-2. 求不等式解集的过程。 实质: 把不等式化为“x>a或x≥a或x<a或x≤ a”的形式. 带等号实心 ，不带是空心 4．-2是不是不等式2x-1>-3的解？4呢？ 5．对于不等式3x-5<2x，则下列说法正确的有（　　）个 ①5是不等式3x-5<2x的一个解；②0是不等式3x-5<2x的一个解；③x<4也是不等式3x-5<2x的解集；④所有小于4的数都是不等式3x-5<2x的解。 A．1个； B．2个； C．3个； D．4个. 6．关于x的不等式2x-a≤-1的解集如下图所示，则a的取值是（　　） A．0； B．-3； C．-2； D．-1 7．不等式2x－7＜5－2x的正整数解有(　　) A．1个　　　　 B．2个 C．3个　　　　 　 D．4个 ①不等式的左右两边都是整式，②只含有一个未知数，并且③未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式. 去分母--去括号---移项---合并同类项--化系数为1 一次函数y=kx+b的图象是条直线,kx+b=0是一元一次方程,其解为直线与x轴的交点的横坐标.kx+b>0,kx+b<0是一元一次不等式. 8．作函数y=x+3的图象，并观察图象，回答下列问题： ⑴ x取何值时，x+3=0? ⑵x取何值时，x+3>0? ⑶ x取何值时，x+3<0? ⑷ x取何值时，x+3>2? 对于两个一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2，若比较y1与y2的大小，则为比较k1x+b1与k2x+b2的大小，或求方程k1x+b1=k2x+b2的解. 9．已知y=x+1，y=2x，试用两种方法回答下列问题： ⑴当x取何值时，y=y? ⑵当x取何值时，y>y ？ ⑶当x取何值时，y<y ? 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 一般地，一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集。 （1）解不等式组中的每一个不等式，分别求出它们的解集； （2）将每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，找出它们的公共部分. （3）根据公共部分写出不等式组解集. 大大取 ；小小取 ；大小小大取 ；大大小小 。 一、基础达标1： 10． 若不等式x＜a只有4个正整数解，则a的取值范围是　 　． 11．如果不等式3x-m≤0的正整数解为1，2，3，则m的取值范围是（　　） A．9≤m＜12 B．9＜m＜12 C．m＜12 D．m≥9 12．下列说法正确的是 （　　） A．x =3是2x ＞3一个解 B．x =3是2x ＞3的解集 C．x =3是2 x ＞3唯一解 D．x =3不是2x ＞3的解 13．若 ，下列不等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 14．某山西特产专卖店有一款老陈醋进价为每盒100元，标价为150元，现准备打折销售，若要保证利润率不少于5%，最多可以按几折销售？设按x折销售，根据题意可列不等式（　　) A．150x－100≥5%×100 B．150×10（1）x－100≤5%×100 C．150×10（1）x－100≥5%×100 D．150×10（1）x－100＞5%×150 15．数轴上、、三点依次从左向右排列，表示的数分别为－2，，，则可能是（　　） A．0 B．－1 C．－2 D．3 16．不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 17．函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b＞0的解集是（ ） A．x>4 B．x<3 C．x<0 D．x>3 18．解不等式，并把解集表示在数轴上． 19．解不等式组并将它的解集在数轴上表示出来. 二、能力提升1： 20．王老师揣着100元现金到新天地文体用品超市购买学生期末考试奖品，他看好了一种笔记本和一种钢笔，每本笔记本5元，每支钢笔7元，王老师计划购买这两种奖品共15份，王老师最少能买笔记本（　　） A．2本 B．3本 C．4本 D．5本 21．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，设她答对了n道题，则根据题意可列不等式　 　 三、拓展迁移1： 22．阅读材料并把解答过程补充完整. 问题：在关于x，y的二元一次方程组中，x>1，y<0，求a的取值范围. 分析：在关于x，y的二元一次方程组中，用含a的代数式表示x，y，然后根据x>1，y<0列出关于a的不等式组即可求得a的取值范围. 解：由解得x= ，y= ∵x>1，y<0，∴，解得0<a<2. 请你按照上述方法，完成下列问题： 已知2x-y=4，x>2，y<1，求x+2y的取值范围. 23．某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元. （1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元?（利润=销售价格-进货价格） （2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的 四、基础达标2： 24．下列说法中正确的是（　　） A．a不是负数，则a>0 B．b是不大于0的数，则b<0 C．m不小于-1，则m>-1 D．a，b是负数，则a+b<0 25．一元一次不等式2（x+1）≥4的解在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 26．求不等式－3≤5－2x＜3的正整数解是；　 　。 27．设“▲”“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A． B． C． D． 28．特产专卖店有一款老陈醋进价为每盒100元，标价为150元，现准备打折销售，若要保证利润率不少于5%，最多可以按几折销售？设按x折销售，根据题意可列不等式（　　) A．150x－100≥5%×100 B．150×x－100≤5%×100 C．150×x-100≥5%×100 D．150×x－100＞5%×150 29．某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.5元，则其中签字笔购买了　 　支． 30．解不等式：并把解集表示在数轴上. 31．解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来. 32．若关于x，y的方程组的解都是非负数，求a的取值范围． 五、能力提升2： 33．若关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是　 　。 34．若关于x的不等式组的解集为x<4，则m的取值范围是　 　。　 　 35．若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]=1，[π]=3，[-2.82]=-3等.[x]+1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式[x]≤x<[x]+1.利用这个不等式，求出满足[x]=2x-1的所有解，其所有解为　 　 . 六、拓展迁移2： 36．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B（12，0)、C（0，6)，且与直线交于点A. （1）直接写出关于x的不等式kx+b＞0 的解集是　 　； （2）若D是直线OA上的点，且△COD的面积为12，求点D的坐标； （3）在x轴上是否存在一点F，使点C和点A到点F的距离和最短?若存在，请求出点F的坐标. 37．某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵.两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格分别相同）. （1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？ （2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用. 答案解析部分 1．【答案】解：（1）2a<8； （2）3y+1>3； （3）； （4）(a+b)2≤2； （5）x-y≤0； （6）a+4≥2； 【解析】【分析】 (1)根据a的2倍即为2a，即可列出不等式； (2) y的3倍与1的和即3y+1，即可列出不等式； (3) x除以2的商加上2为，至多为小于等于列不等式，列不等式即可； (4) a与b两数和的平方即(a+b)2，不大于即小于等于，列不等式即可； (5) x与y的差即x-y，非正数即小于等于，列不等式即可； (6) a与4的和即a+4，不小于即大于等于，列不等式即可. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵ a<b，am≤bm， ∴m≥0， 故答案为：D. 【分析】根据不等式的基本性质“不等式两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；不等式两边同时乘0，不等式变为等式”解答即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：A.由a<b，得 故本项错误； B.当x<0时，mx>nx，故本项错误； C.a>b，则3a>3b，则-2+3a>-2+3b，故本项正确； D.7x>3x-2，得7x-3x>-2，4x>-2，x> 故本项错误； 故选：C. 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断解答即可. 4．【答案】当x=-2时， 即不等式左边<右边， 所以.x=-2不是不等式2x-1>-3的解. 当x=4时，2x-1=2×4-1=7>-3， 即不等式左边>右边， 所以x=4是不等式2x-1>-3的解. 【解析】【分析】判断-2和4是不是不等式2x-1>-3的解，只需要将-2和4分别代入不等式2x-1>-3中，看不等式是否成立即可. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：解不等式3x-5<2x得x<5， ①由5=5，可得5不是不等式3x-5<2x的一个解，原说法不正确； ②由0<5，可得0是不等式3x-5<2x的一个解，说法正确； ③由x<5，可得x<4不是不等式3x-5<2x的解集， 原说法不正确； ④由x<5，可得 所有小于4的数都是不等式3x-5<2x的解， 说法正确； 故答案为：B. 【分析】根据不等式的解和解集的定义逐项判断解答即可. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：不等式 解得 由数轴可知， 所以 解得a=-1. 故选： D. 【分析】首先根据不等式的性质，解出 由数轴可知， 所以， 解出即可. 7．【答案】B 【解析】【分析】先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最小整数解． 【解答】不等式2x-7＜5-2x的解集为x＜3， 所以正整数解有2个，分别为1，2． 故选：B 【点评】解答此题要先求出不等式的解集，再确定整数解．解不等式要用到不等式的性质： （1）不等式的两边加（或减)同一个数（或式子)，不等号的方向不变； （2）不等式两边乘（或除以)同一个正数，不等号的方向不变； （3）不等式的两边乘（或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 8．【答案】解：由函数图象可知，此函数图象与x轴的交点为(-3，0)， （2）x+3=0，即图象与x轴相交， ∴x=-3时，x+3=0； （2）x+3>0，即图象位于x轴的上方， 由图可得此时x>-3； （3）x+3<0，即图象位于x轴的下方， 由图可得此时x<-3； （4）由图可得要使y=1，则x=-2， 则要使x+3>1即图象位于点(-2，1)的上方， 由图可得此时x>-2. 【解析】【分析】（1）根据图象与x轴交点的坐标解答即可； （2）根据图象得到直线在x轴上方的自变量x的取值范围即可； （3）根据图象得到直线在x轴下方的自变量x的取值范围即可； （4）根据直线上的点的坐标为(-2，1)，借助图象得到直线位于点(-2，1)上方的自变量x的取值范围即可. 9．【答案】（1）方法一：令y1=y2，则x+1=2x，解得x=1， ∴当x=1时，y1=y2； 方法二：根据图象可得两直线的交点坐标为(1，2)， ∴当x=1时，y1=y2； （2）方法一：令y1>y2，则x+1>2x，解得x<1， ∴当x<1时，y1>y2； 方法二：根据图象可得直线y1=x+1在y2=2x上方时，x<1， ∴当x<1时，y1>y2； （3）方法一：令y1<y2，则x+1<2x，解得x>1， ∴当x>1时，y1<y2； 方法二：根据图象可得直线y1=x+1在y2=2x下方时，x>1， ∴当x>1时，y1<y2. 【解析】【分析】（1）方法一利用代数法解方程求出x的值即可；方法二根据数形结合根据两直线的交点坐标解答即可； （2）方法一利用代数法解不等式求出x的值即可；方法二根据数形结合得到直线y1=x+1在y2=2x上方时自变量的的取值范围即可； （3）方法一利用代数法解不等式求出x的值即可；方法二根据数形结合得到直线y1=x+1在y2=2x下方时自变量的的取值范围即可. 10．【答案】4＜a≤5 【解析】【解答】解：∵不等式x<a只有四个正整数解， ∴四个正整数解为： 1， 2， 3， 4， 故答案为：4<a≤5， 【分析】首先根据题意确定四个正整数解，然后再确定a的范围. 11．【答案】A 【解析】【解答】解：解不等式 得 因为正整数解为1，2，3， 则 解得 故答案为：A. 【分析】先求出不等式的解集，画数轴，再根据其正整数解列出不等式，解此不等式即可. 12．【答案】A 【解析】【解答】解：解不等式2x>3，得 ， A：x=3满足因此是不等式的一个解，正确； B：解集为 而非x=3，错误； C：解集包含所有大于的实数，x=3不是唯一解，错误； D：x=3是的一个解，故该选项错误； 故答案为：A. 【分析】根据不等式的解和解集的定义解答即可. 13．【答案】C 【解析】【解答】解：A.在不等式 两边同时减去5，不等式仍然成立，即 ，故答案为：A不符合题意； B. 在不等式 两边同时除以-5，不等号方向改变，即 ，故答案为：B不符合题意； C.当c≤0时，不等得到 ，故答案为：C符合题意； D. 在不等式 两边同时加上c，不等式仍然成立，即 ，故答案为：D不符合题意； 故答案为：C. 【分析】利用不等式的性质1，可对A作出判断；利用不等式的性质3，可对B作出判断；利用不等式的性质2，可对C作出判断；利用不等式的性质1，可对D作出判断. 14．【答案】C 【解析】【解答】解：设按x折销售，根据题意得： 故答案为：C. 【分析】根据题意可得不等关系：标价×打折-进价≥利润，根据不等关系列出不等式即可. 15．【答案】A 16．【答案】A 【解析】【解答】解：解不等式：x+2>1得：x>-1； 解不等式 得：x≤2， 所以次不等式的解集为： ∴数轴表示为： ， 故答案为：A. 【分析】分别求出两个不等式的解集，得到公共部分并在数轴上表示解答即可. 17．【答案】B 【解析】【解答】解：解：关于x的不等式ax+b>0的解集为：x<3. 故答案为：C. 【分析】利用函数图象，写出直线y=ax+b在x轴上方所对应的自变量的范围即可. 18．【答案】解：去分母得：3（3x-2）≥5（2x+1）-15， 去括号得：9x-6≥10x+5-15， 移项，合并同类项得：-x≥-4， 则x≤4． 【解析】【分析】 利用去分母、去括号、移项合并、系数化为1求出不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可. 19．【答案】解：由（1）得：x≥-2 由（2）得：x<4 ∴不等式组的解集为-2≤x<4 【解析】【分析】分别解不等式求出解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的到公共解集，并在数轴上表示即可. 20．【答案】B 【解析】【解答】解：设购买笔记本x本，钢笔每支(15-x)元， 则， 解得： ∴x的最小值为3， 因此，王老师最少能买笔记本的数量是3本， 故答案为：B. 【分析】设购买笔记本x本，钢笔每支(15-x)元，根据“ 100元计划购买这两种奖品共15份 ”列不等式求出x的最小整数解即可. 21．【答案】 【解析】【解答】根据题意，得 故答案为： 【分析】根据答对题的得分： 10n ；答错题的得分：﹣5（20﹣ n ），得出不等关系：得分要超过90分 22．【答案】解：由2x-y=4，解得y=2x-4， 又 解得 . 【解析】【分析】先用含x的代数式表示y，再根据x、y的取值范围列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，最后根据x的取值范围求出x+2y的取值范围. 23．【答案】（1）解：设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，由题意得： ， 解得， 答：A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的销售价格是56元. （2）解：设购进A型计算器a台，则购进B型计算器：（70-a）台， 则30a+40（70-a）≤2500， 解得a≥30， 答：最少需要购进a型号的计算器30台. 【解析】【分析】（1）设A型号计算器的销售价格是x元，B型号计算器的销售价格是y元，根据“销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元”结合利润=销售价格-进货价格，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型计算器a台，根据“ 用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台 ”列不等式求出a的最小整数解即可. 24．【答案】D 【解析】【解答】解：A：a不是负数，则a≥0，原说法错误； B：b是不大于0的数，则b≤0，原说法错误； C：m不小于-1，则m≥-1，原说法错误； D：a，b是负数，则a+b<0，说法正确； 故答案为：D. 【分析】根据语句列不等式，然后逐项判断解答即可. 25．【答案】A 26．【答案】2，3， 【解析】【解答】解： －3≤5－2x＜3 ， -8≤-2x<-2， ， ∴正整数x的值为：2，3； 故答案为：2，3. 【分析】解不等组求出x的取值范围，然后得到x的正整数解即可. 27．【答案】C 【解析】【解答】解：由左边天平可知， ■+▲>2▲ ， 即 ■ ▲； 由右边天平可知▲+●=3● 即▲=2●， 综合上述： ■ ▲>●， 故答案为：C. 【分析】根据天平的状态即可得到 ■ ▲，▲=2●，进而得到 ■ ▲>●解答即可. 28．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得： 故答案为：C. 【分析】根据题意可得不等关系：标价×打折-进价≥利润，根据不等关系列出不等式即可. 29．【答案】8 【解析】【解答】解：设签字笔购买了x支，则圆珠笔购买了15-x支， 根据题意得： 解不等式组得7<x< 9 ∴x是整数x= 8. 故答案为：8. 【分析】根据“所付金额大于26元，但小于27元”作为不等关系列不等式组求其整数解即可求解． 30．【答案】解：去分母，得 2（2x-1)-（9x+2)≤6， 去括号，得 4x-2-9x-2≤6， 移项，得 4x-9x≤6+2+2， 合并同类项，得 -5x≤10， 系数化1，得 x≥-2. 不等式的解集在数轴上表示如图所示. ​​​​​​​ 【解析】【分析】根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解不等式，并把解集表示在数轴上即可. 31．【答案】解：解不等式①，得x>-4. 解不等式②，得x≤2. 所以原不等式组的解集为-4<x≤2. 在数轴上表示如图所示： ​​​​​​​ 【解析】【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后将解集在数轴上表示出来. 32．【答案】解：解方程组，得 ， 依题意有 解得－10≤a≤10. 【解析】【分析】先解方程组求出x和y的值，然后根据题意得到不等式组，求出a的取值范围即可. 33．【答案】-2＜a≤-1 【解析】【解答】解： ∵由①得， 由②得，x<2， ∴不等式组的解集为：a≤x<2， ∵不等式组有 3个整数解， ∴这三个整数解是：-1，0，1， 故答案为： 【分析】解不等式组求出解集得到a≤x<2，然后根据题意得到a的取值范围解答即可. 34．【答案】m≥4 35．【答案】x=0.5或x=1 【解析】【解答】解：解：∵对任意的实数x都满足不等式 x<[x]+1，且[x]=2x-1， 解得0<x≤1. 是整数， 或x=1. 故答案为：x=0.5或x=1. 【分析】根据新定义的运算可得，然后解出x的取值范围，再根据2x-1是整数求出x的值解答即可. 36．【答案】（1）x＜12 （2）解：设 D（x，) ， ∵△COD的面积为12， ∴， 解得x=±4， ∴综上所述D（4，2)或（-4，2）. （3）解：点C关于x轴的对称点坐标E（0，-6）， 设直线AE的关系式是y=mx+n，把点A（6，3)和点E（0，-6）代入y=mx+n， 得到 ，n=-6， 故关系式为： ， 设它与x轴的交点为F（x，0)， 代入得 得：x=4，y=0。 故在x轴上存在一点F（4，0)，它到点C和点A的距离和最短. 【解析】【解答】解：（1）∵直线 与x轴交于点(12，0)， 借助图象可得直线在x轴上方时，x<12， ∴ 关于x的不等式kx+b＞0 的解集是x<12， 故答案为：x<12； 【分析】（1）根据直线 与x轴的交点坐标，结合函数图象来确定； （2）先求出点A的坐标，再设出点D的坐标，根据三角形面积公式列出方程求解； （3）利用轴对称的性质，找到点C关于x轴的对称点C'，连接AC'与x轴的交点即为点E，再求出直线AC'的解析式，进而求出点E的坐标. 37．【答案】（1）解：设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：， 解得， 答：A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元. （2）解：设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31-m）株， ∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍， ∴31-m<2m，∵m是正整数，最小值是11 设购买树苗总费用为W=20m+5（31-m)15m+155=320 答：购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元. 【解析】【分析】（1）设A种花草每棵的价格为x元，B种花草每棵的价格为y元，根据两次购进花草的数量和花费列出方程组，求解得到A、B两种花草的单价； （2）设购买A种花草m棵，则购买B种花草(31-m)棵，根据B种花草数量与A种花草数量的关系列出不等式，求出m的取值范围，再根据费用函数的性质确定费用最省的方案. 学科网（北京）股份有限公司 $