3.1 图形的平移 学案-2025--2026学年北师大版数学八年级下册

3.1图形的平移 考点1: 平移的概念 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.(平移的两要素：平移方向和平移距离) · ①平移是图形变换的一种，是运动的一种形式，当前学的平移是指平面图形在同一平面内的变换 ②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离 ③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变位置，而不改变图形的形状和大小. 考点2: 平移的基本性质 一个图形和它经过平移所得的图形中：①对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等； ②对应线段平行(或在一条直线上)且相等； ③对应角相等． · 如图，△A'B'C'是由△ABC通过平移得到的，则△A'B'C'≌△ABC， 数量关系：A'A＝B'B＝C'C，A'B'＝AB，B'C'＝BC，A'C'＝AC. 位置关系A'A∥B'B∥C'C，A'B'∥AB，B'C'∥BC，A'C'∥AC · ①要区分对应点的连线和对应线段，不能将二者混淆. ②图形的平移是整个图形都在移动，不是局部移动，即图形中所有点、线平移的方向相同，平移的距离相等. 练习1. 1. 下列物体的运动情况可以看成平移的是( B ). A.时钟摆动的钟摆 B.在笔直的公路上行驶的汽车 C.随风摆动的旗帜 D.汽车玻璃窗上雨刷的运动 2. 如图，三角形ABC沿BC边所在的直线向左平移得到三角形DEF，下列错误的是( C ).    A．AC＝DF B．EB＝FC C．∠D＝∠ABC D．DE∥AB 3. 如图，△ABC沿射线BC方向平移a cm后得到△A'B'C'，已知BC＝6cm，BC'＝17cm，则a的值为( B ). A.10　　     B.11　　     C.12　 　    D.13 4. 两个全等的直角三角形重叠在一起，如图，将其中一个三角形沿BC向右平移到△DEF的位置.若∠ABC＝90°，AB＝9，DH＝3，阴影部分的面积为30，则BE的长是( C ). A.2　　    B.3　　    C.4　　    D.6 考点3: 平移作图 条件 ①原图形；②平移的方向；③平移的距离 分类 ①已知原图和一组对应点，作平移后的图形 ②已知原图和一组对应线段，作平移后的图形 ③已知原图、平移方向和平移距离，作平移后的图形 一般步骤 ①分析题目要求，找出平移的方向和平移的距离 ②分析要作的图形，找出构成图形的关键点 ③沿确定的方向与距离平移各个关键点，得到关键点的对应点 ④按原图顺序依次连接这些对应点，并标上字母 ⑤写出结论 练习2. 1. 如图，在网格中，点A，B，C，O均在格点上，其中O为坐标原点，A(－2，2). (1)求△ABC的面积. (2)将△ABC向右平移得到△A1B1C1，当A，O，B1三点在同一直线上时，求点C1的坐标. 解 ：(1)如图，过点B作AC的垂线，垂足为M，△ABC的面积为5. (2)如图所示，当A，O，B1三点在同一直线上时，点C1的坐标为(7，2). 2. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(－2，4)，B(－5，－1)，C(0，1)，把△ABC进行平移，平移后得到△A'B'C'，且△ABC内任意一点P(x，y)平移后的对应点为P'(x＋3，y－4). (1)△ABC是经过怎样的平移得到△A'B'C'的? (2)画出平移后的图形. (3)求△ABC的面积. 解：(1)由题意得△ABC向右平移3个单位长度，向下平移4个单位长度得到△A'B'C'. (2)如图,△A'B'C'即为所求. (3)△ABC的面积为. 考点4: 图形的平移与点的坐标之间的关系 1. 设点(x，y)在原图形上，经过平移后，这点与其对应点的坐标之间有如下关系： 平移的方向与距离 对应点的坐标 沿x轴平移 向右平移a(a＞0)个单位长度 (x＋a，y) 向左平移a(a＞0)个单位长度 (x－a，y) 沿y轴平移 向上平移a(a＞0)个单位长度 (x，y＋a) 向下平移a(a＞0)个单位长度 (x，y－a) · 坐标平移规律可以简记为：横坐标左减右加，纵坐标上加下减. 2. 一个图形依次沿x轴、y轴平移后所得的图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的，即某个图形沿x轴向右(左)平移a(a＞0)个单位长度，再沿y轴向上(下)平移b(b＞0)个单位长度，可看成原图形沿原图形和新图形对应点所在的射线(原图形上的点为射线端点)的方向平移个单位长度得到的. 练习3. 1. 在平面直角坐标系中，将点A(3，－5)向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度．得到点A'，则点A'的坐标是( B ). A.(－1，1) B. (－1，－2) C. (－1，2) D. (1，2) 2. 如图所示，图案上各点纵坐标不变，横坐标分别加2，连接各点所得图案与原图案相比， ( D ). A.位置和形状都相同 B.横向拉长为原来的2倍 C.向左平移2个单位长度 D.向右平移2个单位长度 3. 在平面直角坐标系中，将点M(a－3，2a＋1)向左平移3个单位长度后恰好落在y轴上，则点M的坐标是( A ). A.(3，13)　　　    B.(3，7) C.(6，7)　　　     D.(6，13) 4. 如图，第一象限内有两点P(m－4，n)，Q(m，n－3)，将线段PQ平移，使点P，Q分别落在坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是___(0，3)或(－4，0)___. (第4题) (第5题) 5. 如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形纸板ABC放置在x轴上，顶点B与原点O重合，已知A(－4，0)，C(－4，3)，现将直角三角形纸板沿x轴向右平移得到△DEF，当以O，E，F为顶点的三角形是等腰三角形时，平移的距离为____或5或8____. 巩固练习： 1. 下面生活中的现象可以看成平移的是( C ). ①转动的指针；②水平传输带上物品的运动；③从楼顶自由下落的铁球(球不旋转)；④随风摆动的旗帜 A.①② B.③④ C.②③ D.②④ 2. 如图，将等边△ABC沿射线CA平移得到△FED，点A的对应点为F，连接BE，若AD＝2，CF＝10，则BE的长为( A ). A.4 B.6 C.8 D.12 3. 将点A(－2，1)向左平移4个单位，再向下平移3个单位得到点B，则点B的坐标为 (－6，－2) ． 4. 如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB与x轴平行且AB＝3，AD＝2，点B坐标为(4，－1)，沿某一方向平移后，点B的对应点B1的坐标为(1，3)，则点D1的坐标为 (－2， 1) ．    5. 如图所示，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，HG＝12cm，WG＝4cm，WC＝3cm，则阴影部分的面积为 42 cm2．    6. 如图，在长为80米，宽为60米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路(图中阴影部分)，宽均为4米，其他部分均种植花草，则种植花草的面积是 4256 平方米．    7. 画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，请利用网格点和直尺画图或计算：    解：(1) (2) (1)在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′； (2)画出AB边上的中线CD及高线CE； (3)在上述平移中，边BC所扫过的面积为 31 ． 8. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，点A平移到点D的位置，B、C点平移后的对应点分别是E、F．    (1)画出平移后的△DEF(保留作图痕迹)； (2)线段BE、C F之间位置及数量关系是___平行且相等___； (3)过点A作BC的平行线l1． 解：(1)、(3) 9. 如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格上，其中C点坐标为(1，2)．    (1)写出点A、B的坐标：A(___2___，___－1___)、B(___4___，___3___)； (2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，请画出平移后的△A′B′C′； (3)求△ABC的面积； (4)在x轴正半轴上是否存在点P，使S△PBC＝S△ABC．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(2) ；(3) S△ABC＝5；(4) 存在，点P的坐标为(5，0) 10. 动手操作： (1)如图1，在5×5的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段AB向右平移，得到线段A′B′，连接AA′，BB′． ①线段AB平移的距离是____3____； ②四边形ABB′A′的面积是____6____； (2)如图2，在5×5的网格中，将△ABC向右平移3个单位长度得到△A′B′C′． ③画出平移后的△A′B′C′； ④连接AA′，BB′，多边形ACBB′C′A′的面积是____6____ (3)拓展延伸：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草坪上，修建一条宽为m米的小路(小路宽度处处相同)，直接写出剩下的草坪面积是____(ab－mb)___． 解：③ 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1图形的平移 考点1: 平移的概念 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.(平移的两要素：平移方向和平移距离) · ①平移是图形变换的一种，是运动的一种形式，当前学的平移是指平面图形在同一平面内的变换 ②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离 ③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变位置，而不改变图形的形状和大小. 考点2: 平移的基本性质 一个图形和它经过平移所得的图形中：①对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等； ②对应线段平行(或在一条直线上)且相等； ③对应角相等． · 如图，△A'B'C'是由△ABC通过平移得到的，则△A'B'C'≌△ABC， 数量关系：A'A＝B'B＝C'C，A'B'＝AB，B'C'＝BC，A'C'＝AC. 位置关系A'A∥B'B∥C'C，A'B'∥AB，B'C'∥BC，A'C'∥AC · ①要区分对应点的连线和对应线段，不能将二者混淆. ②图形的平移是整个图形都在移动，不是局部移动，即图形中所有点、线平移的方向相同，平移的距离相等. 练习1. 1. 下列物体的运动情况可以看成平移的是( ). A.时钟摆动的钟摆 B.在笔直的公路上行驶的汽车 C.随风摆动的旗帜 D.汽车玻璃窗上雨刷的运动 2. 如图，三角形ABC沿BC边所在的直线向左平移得到三角形DEF，下列错误的是( ).    A．AC＝DF B．EB＝FC C．∠D＝∠ABC D．DE∥AB 3. 如图，△ABC沿射线BC方向平移a cm后得到△A'B'C'，已知BC＝6cm，BC'＝17cm，则a的值为( ). A.10　　     B.11　　     C.12　 　    D.13 4. 两个全等的直角三角形重叠在一起，如图，将其中一个三角形沿BC向右平移到△DEF的位置.若∠ABC＝90°，AB＝9，DH＝3，阴影部分的面积为30，则BE的长是( ). A.2　　    B.3　　    C.4　　    D.6 考点3: 平移作图 条件 ①原图形；②平移的方向；③平移的距离 分类 ①已知原图和一组对应点，作平移后的图形 ②已知原图和一组对应线段，作平移后的图形 ③已知原图、平移方向和平移距离，作平移后的图形 一般步骤 ①分析题目要求，找出平移的方向和平移的距离 ②分析要作的图形，找出构成图形的关键点 ③沿确定的方向与距离平移各个关键点，得到关键点的对应点 ④按原图顺序依次连接这些对应点，并标上字母 ⑤写出结论 练习2. 1. 如图，在网格中，点A，B，C，O均在格点上，其中O为坐标原点，A(－2，2). (1)求△ABC的面积. (2)将△ABC向右平移得到△A1B1C1，当A，O，B1三点在同一直线上时，求点C1的坐标. 2. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(－2，4)，B(－5，－1)，C(0，1)，把△ABC进行平移，平移后得到△A'B'C'，且△ABC内任意一点P(x，y)平移后的对应点为P'(x＋3，y－4). (1)△ABC是经过怎样的平移得到△A'B'C'的? (2)画出平移后的图形. (3)求△ABC的面积. 考点4: 图形的平移与点的坐标之间的关系 1. 设点(x，y)在原图形上，经过平移后，这点与其对应点的坐标之间有如下关系： 平移的方向与距离 对应点的坐标 沿x轴平移 向右平移a(a＞0)个单位长度 (x＋a，y) 向左平移a(a＞0)个单位长度 (x－a，y) 沿y轴平移 向上平移a(a＞0)个单位长度 (x，y＋a) 向下平移a(a＞0)个单位长度 (x，y－a) · 坐标平移规律可以简记为：横坐标左减右加，纵坐标上加下减. 2. 一个图形依次沿x轴、y轴平移后所得的图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的，即某个图形沿x轴向右(左)平移a(a＞0)个单位长度，再沿y轴向上(下)平移b(b＞0)个单位长度，可看成原图形沿原图形和新图形对应点所在的射线(原图形上的点为射线端点)的方向平移个单位长度得到的. 练习3. 1. 在平面直角坐标系中，将点A(3，－5)向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度．得到点A'，则点A'的坐标是( ). A.(－1，1) B. (－1，－2) C. (－1，2) D. (1，2) 2. 如图所示，图案上各点纵坐标不变，横坐标分别加2，连接各点所得图案与原图案相比， ( ). A.位置和形状都相同 B.横向拉长为原来的2倍 C.向左平移2个单位长度 D.向右平移2个单位长度 3. 在平面直角坐标系中，将点M(a－3，2a＋1)向左平移3个单位长度后恰好落在y轴上，则点M的坐标是( ). A.(3，13)　　　    B.(3，7) C.(6，7)　　　     D.(6，13) 4. 如图，第一象限内有两点P(m－4，n)，Q(m，n－3)，将线段PQ平移，使点P，Q分别落在坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 . (第4题) (第5题) 5. 如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形纸板ABC放置在x轴上，顶点B与原点O重合，已知A(－4，0)，C(－4，3)，现将直角三角形纸板沿x轴向右平移得到△DEF，当以O，E，F为顶点的三角形是等腰三角形时，平移的距离为_ _. 巩固练习： 1. 下面生活中的现象可以看成平移的是( ). ①转动的指针；②水平传输带上物品的运动；③从楼顶自由下落的铁球(球不旋转)；④随风摆动的旗帜 A.①② B.③④ C.②③ D.②④ 2. 如图，将等边△ABC沿射线CA平移得到△FED，点A的对应点为F，连接BE，若AD＝2，CF＝10，则BE的长为( ). A.4 B.6 C.8 D.12 3. 将点A(－2，1)向左平移4个单位，再向下平移3个单位得到点B，则点B的坐标为 ． 4. 如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB与x轴平行且AB＝3，AD＝2，点B坐标为(4，－1)，沿某一方向平移后，点B的对应点B1的坐标为(1，3)，则点D1的坐标为 ．    5. 如图所示，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，HG＝12cm，WG＝4cm，WC＝3cm，则阴影部分的面积为 cm2．    6. 如图，在长为80米，宽为60米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路(图中阴影部分)，宽均为4米，其他部分均种植花草，则种植花草的面积是 平方米．    7. 画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，请利用网格点和直尺画图或计算：    (1)在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′； (2)画出AB边上的中线CD及高线CE； (3)在上述平移中，边BC所扫过的面积为 ． 8. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，点A平移到点D的位置，B、C点平移后的对应点分别是E、F．    (1)画出平移后的△DEF(保留作图痕迹)； (2)线段BE、C F之间位置及数量关系是 ； (3)过点A作BC的平行线l1． 9. 如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格上，其中C点坐标为(1，2)．    (1)写出点A、B的坐标：A( ， )、B( ， )； (2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，请画出平移后的△A′B′C′； (3)求△ABC的面积； (4)在x轴正半轴上是否存在点P，使S△PBC＝S△ABC．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10. 动手操作： (1)如图1，在5×5的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段AB向右平移，得到线段A′B′，连接AA′，BB′． ①线段AB平移的距离是 ； ②四边形ABB′A′的面积是 ； (2)如图2，在5×5的网格中，将△ABC向右平移3个单位长度得到△A′B′C′． ③画出平移后的△A′B′C′； ④连接AA′，BB′，多边形ACBB′C′A′的面积是 (3)拓展延伸：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草坪上，修建一条宽为m米的小路(小路宽度处处相同)，直接写出剩下的草坪面积是 ． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $