2.2不等式的实际运用-【导学练评】2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2.2不等式的实际运用-【导学练评】北师大版数学八年级下册 学习目标： 1、理解并初步掌握利用一元一次不等式解决实际问题，探究归纳运用不等式解决实际问题的基本步骤。 2、经历运用不等式解决实际问题，发展学生抽象、分析、解决问题的能力。 3、发展学生数学应用意识，体会生活处处有数学。 学习重点： 建立“建模”思想，即把文字语言转化为数学符号语言（>,<,≥,≤>,<,≥,≤）。 学习难点： 解集的整数解：实际问题中求出的解集往往是范围，需要在这个范围内找出符合题意的整数（如租几辆车，买几本书）。 1. 解一元一次不等式的步骤： → → → → 。 解一元一次不等式的依据是: 。 2. 不等式的基本性质是 1、如果a>b 那么 。 2、如果a>b，c>0 那么 。 3、如果a>b，c<0 那么 。 4、如果a>b，b>c 那么 。 一、创设情境、导入新课准备题：某种商品进价为200元，标价为300元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于5%。请你帮助售货员计算一下，这种商品最多可以按几折销售？ 利润率= ，不等关系 。 设这种商品可以按x折销售列出不等式 解这个不等式，得x . 所以，这种商品最多可按 折销售 合作交流、新知探究 例1 1．一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣一分。在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上)，小明至少答对了几道题？ 归纳： 应用一元一次不等式解决实际问题的关键是什么？基本步骤有哪些？ （类比应用一元一次方程解决实际问题的基本步骤） 1.审：明确题意和题目中的数量关系； 2.找：找出表示题目全部含义的不等关系 3.设：用字母表示题目中的未知数； 4.列：根据不等关系列出一元一次不等式； 5.解：解不等式得解集 6.验：检验解集是否符合题意，是否符合实际； 7.答：写出答案，包括单位。 例2 2．小颖准备用21元钱买笔和笔记本。已知每枝笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2个笔记本，请你帮她算一算，她还可能买几枝笔？ 一、基础达标1： 3．不等式10（x－4）＋x≥－84的非正整数解是　 　. 4．若关于x的不等式x－1≤a有四个非负整数解，则整数a的值为　 　. 5．不等式3x−1≥x+3的解集是(　　) A．x≤4 B．x≥4 C．x≤2 D．x≥2 6．某种商品的进价为900元，出售时标价为1650元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于10%，则最多可打（　　) A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 7．下面解不等式的过程是否正确，如不正确，请找出，并改正. 解不等式： 解：去分母，得5（4-3x)-15＜3（7-5x） ① 去括号，得20-15x-15＜21-15x ② 移项，合并，得 5＜21 ③ 因为x不存在，所以原不等式无解. ④ 二、能力提升1： 8．学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人．已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元． （1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？ （2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？ 三、拓展迁移1： 9．某中学体育组因教学需要本学期购进篮球和排球共100个，共花费2600元，已知篮球的单价是20元/个，排球的单价是30元/个． （1）篮球和排球各购进了多少个（列方程组解答)？ （2）因该中学秋季开学成立小学部，教学资源实现共享，体育组提出还需购进同样的篮球和排球共30个，但学校要求花费不能超过800元，那么排球最多能购进多少个（列不等式解答)？ 应用一元一次不等式解决实际问题的关键是什么？基本步骤有哪些 1.审：明确题意和题目中的数量关系； 2.找：找出表示题目全部含义的不等关系 3.设：用字母表示题目中的未知数； 4.列：根据不等关系列出一元一次不等式； 5.解：解不等式得解集 6.验：检验解集是否符合题意，是否符合实际； 7.答：写出答案，包括单位。 四、基础达标2： 10．不等式3（1−x)>2−4x的解在数轴上表示正确的是（　　) A． B． C． D． 11．关于x的方程3x−2m=1的解为正数，则m的取值范围是（　　) A．m<− B．m>- C．m> D．m< 12．不等式6−4x≥3x−8的非负整数解为(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 13．某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16. 14．世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元.若少于40人时，一个团队至少要有　 　人进公园，买40张门票反而合算. 15． m取何值时，关于x 的方程的解大于1。 五、能力提升2： 16． 接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒． （1）求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗． （2）计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 六、拓展迁移2： 17．红星中学计划组织春季研修活动，活动组织负责人从公交公司了解到如下租车信息： 车型 A B 载客量（人/辆） 48 30 租金（元/辆） 400 280 校方从实际情况出发，决定租用A、B型客车共5辆，而且租车费用不超过1900元． （1）请为校方设计可能的租车方案； （2）在（1）的条件下，校方根据自愿的原则，统计发现有193人参加春季研修活动，请问校方应如何租车，既能全部坐下且又省钱？ 答案解析部分 1．【答案】解：设小明答对了x道题，则答错或不答的共有（25–x)道，根据题意得 4x-1×（25-x)≥85 解得x≥22 答：小明至少答对了22道题。 【解析】【分析】利用不等关系“答对分数-答错或不答分数=总分”建立不等式求解，根据x的取值范围可知答案。 2．【答案】解：设她还可能买x 枝笔，根据题意得3x+2.2×2≤21 解得x≤ ∵x只能取正整数， ∴x可以取1、2、3、4、5. 答：她还可能买1枝、2枝、3枝、4枝或5枝笔。 【解析】【分析】利用不等关系“所购商品总价不超过21元”建立不等式并求解，得到x的取值范围后，根据实际需要去正整数即可。 3．【答案】x=0，-1，-2，-3，-4 【解析】【解答】解：解不等式得x≥-4， ∴该不等式的非正整数解是x=0，-1，-2，-3，-4. 故答案为：x=0，-1，-2，-3，-4. 【分析】先解一元一次不等式求出解集，再从解集中找出非正整数解。 4．【答案】2≤a＜3 【解析】【解答】解：∵x-1≤a ∴x≤a+1 ∵x有四个非负整数解 ∴x的四个非负整数解为0，1，2，3 ∴3≤a+1＜4 ∴2≤a＜3 【分析】根据题意，解出x的解集，根据题意，列出四个非负整数解，即可得到a+1的范围，求出a的值即可。 5．【答案】D 【解析】【解答】解：3x−1≥x+3 移项，得3x-x≥3+1 合并同类项，得x≥2 故答案为：D. 【分析】根据不等式的基本性质，将一元一次不等式移项，合并同类项，即可得到解集x≥2. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：设打了x折由题意得 1650×0.1x-900900×10%， 解得x>6。 ∴至多打6折。 故答案为：A. 【分析】先计算保证利润率不低于10%的最低售价，再根据标价与折扣的关系列不等式求最大折扣。 7．【答案】解：第④步错误，应该改成无论x取何值，该不等式总是成立的，所以x取一切数 【解析】【分析】解到最后发现不等式两边都不含未知数，而 5＜21 是恒成立的，因此该不等式对于一切实数x都成立。 8．【答案】（1）解：设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，依题意有 解得 故1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元； （2）解：设租用甲种客车m辆，依题意有 45m+30(8−m)≥330， 解得m≥6， 故6≤m≤8， 租出方案： 方案一、租用甲种客车6辆，租用乙客车2辆 方案二、租用甲种客车7辆，租用乙客车1辆 方案三、租用甲种客车8辆，租用乙客车0辆 方案一费用400×6+280×2=2400+560=2960(元)； 方案二费用400×7+280=2800+280=3080(元)； 方案三400×8=3200(元)； 2960<3080<3200， 故最节省的租车费用是2960元． 9．【答案】（1）解：设购进篮球x个，购进排球y个，根据题意可得 解得 答：购进篮球40个，购进排球60个； （2）解：设购进排球z个，购进篮球(30−z)个，根据题意可得30z+20(30−z)≤800， 解得z≤20， 答：最多购进排球20个． 【解析】【分析】(1)利用等量关系“篮球个数+排球个数=100“和”买篮球费用+买排球费用=2600”建立二元一次方程组，求解即可； (2)利用不等关系“买排球费用+买篮球费用≤800”建立不等式，求解即可。 10．【答案】A 【解析】【解答】解：去括号得3－3x2-4x 移项得-3x+4x>2-3 x>-1. 故答案为：A. 【分析】解不等式3(1−x)2-4x，并根据解集在数轴上正确表示。 11．【答案】B 【解析】【解答】解：解 关于x的方程3x−2m=1 得 ∵x为正数 ∴ 解得 m>- 故答案为：B. 【分析】先解方程求出x，再根据x为正数列出不等式，解不等式得到m的取值范围。 12．【答案】B 【解析】【解答】解：6−4x≥3x−8 移项，得-4x-3x≥-8-6 合并同类项，得-7x≥-14 系数化为1，得x≤2 故原不等式的非负整数解为0，1，2，共3个． 故答案为：B. 【分析】根据不等式的基本性质，将一元一次不等式移项，合并同类项和系数化为1，即可得到解集x≤2；再在解集范围内找出所有非负整数为0，1，2，共3个． 13．【答案】C 【解析】【解答】解：设他至少答对x道题，则答错或不答（20-x）道题，由题意， 得10x-5(20-x)＞120， 解得：x＞， ∵x为小华答对题目的数量， ∴x为整数， ∴x最小为15.故 他至少要答对的题的个数为 15道。 故答案为：C。 【分析】设他至少答对x道题，则答错或不答（20-x）道题，则小华答对题目的得分为10x分，答错或不答的题目的得分为-5（20-x）分，根据他答对题目的得分+答错或不答的题目的得分 要超过120分 列出不等式，求解并取出最小整数解即可。 14．【答案】33 【解析】【解答】解：设x人进公园， 若购满40张票则需要：40×（5-1）=40×4=160（元）， 故5x＞160时， 解得：x＞32， ∴当有32人时，购买32张票和40张票的价格相同， 则再多1人时买40张票较合算； ∴32+1=33（人）； 则至少要有33人去世纪公园，买40张票反而合算. 故答案为：33. 【分析】先求出购满40张票的费用；设x人进公园，可知5x＞160，可求出不等式的解集，由此可得到购买32张票和40张票的价格相同，据此可求解. 15．【答案】解：去分母得x-2(6m-1)=6x-3(5m-1) 解得 ∵该方程的解大于1 ∴ 解得m＞2 【解析】【分析】首先解含参方程，用含m的式子表示x，再利用方程的解大于1建立关于m的不等式，求解即可。 16．【答案】（1）解：设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗， 由题意可得， 解得 ， 答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗； （2）解：设A型车a辆，则B型车（12﹣a）辆， 由题意可得， 解得6≤a＜9， ∵a为正整数， ∴a＝6，7，8， ∴共有三种运输方案， 方案一：A型车6辆，B型车6辆， 方案二：A型车7辆，B型车5辆， 方案三：A型车8辆，B型车4辆， ∵A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元，计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗， ∴A型车辆数越少，费用越低， ∴方案一所需费用最少，此时的费用为5000×6+3000×6＝48000（元）， 答：方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A型车8辆，B型车4辆，其中方案一所需费用最少，最少费用是48000元． 17．【答案】（1）解：设租用A车x辆，由题意得 400x+280(5−x)≤1900， 解得x≤， ∵x为非负整数 ∴x可取0、1、2、3、4， 所以租用车方案为： 方案 1 2 3 4 5 A车 0 1 2 3 4 B车 5 4 3 2 1 （2）解：设租用A车x辆， 由题意得：48x+30(5−x)≥193 解得x≥ ， 所以x至少为3， 由(1)知x可取3、4， 当x=3时，400×3+280×2=1760(元)，此时费用为1760元， 当x=4时，400×4+280×1=1880(元)，此时费用为1880元， 1760元<1880元． 所以A车租3辆，B车租2辆，最省钱． 【解析】【分析】(1)利用不等关系“租A车费用+租B车费用≤1900”建立不等式，求出x的范围，再根据实际需要取非负整数可知有5种租车方案； (2)利用不等关系“A车人数+B车人数≥193”建立不等式，求出x范围，结合(1)可知有两种方案可供选择，再分别计算出它们对应的总费用，比较即可知道怎样租车更省钱。 学科网（北京）股份有限公司 $