安徽合肥市第十中学等校2026届高三下学期4月联考数学试卷

高三数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1. 2. 3 4. 5 6 7. 8 答案 B B D A C B D A 1.【答案】B 根据题意可知A={d-2≤≤2}，CB={x长1，则A⌒(CB)={x-2≤1}.故选B项。 2.【答案】B 根粥您意可约点风品2：产1，所以复致产的虚部是1板法日项。 3.【答案】D 49.8=22a+3b≥22W2a6=22W65 根据题意可知ma+hb=1,得a>0,b>0,且ab=e,所以=22c-4 故选D项。 4.【答案】A 根据题意可知BD=BB+BD,又因BB,=A4,BD=BD=AD-AB :BD=AA+AD-AB=xAB+yAD+A4,x=-1,y=1,=1,故选A项。 5.【答案】C 根据题意可知，函数f()=2sir+cos-√5=V5simx+)-V5,锐角P由mp 2确定， 由f)=f,)=0,得 如+0=sink,+四=目 V5,而￥∈(0，元+9， 5,于是 cos--V5 2 V5,所以os6)=2co2当，-1=} 2 5故选C项。 6. 【答案】B 根据题意可知，四只鹦鹉飞回三个不同的笼子的总方法数为3=81其中“至少有一个笼子” 有两种情况：4只鹦鹉在同一个笼子，有C=34只鹦鹅在2个笼子里，有C(2-2)=42种， 42+35 则为819，故选B项。 7.【答案】D 【详解】根据题意可知，双曲线的渐近线为y=±2x,这里不妨取y=bx,即x-@四=0， 点r仁，0)到直线r-8=0的距离刚l=e-c-b,在0HF中 Ja2+b2 c o-or叶-所-E-F-a,所以3-号m-号-5e,则-c, 又因b2=c2-a2,所以4a√c2-a2=√5c2,化简可得16ac2-16a4=3c4,等式两边同时除以a,可 得1e2-16=3e,即3e-16e2+16=0,解得e2-或e=4,因e>l,所以e=2W5或e=2.故选D 3 3 项。 8.【答案】A 【详解】根据题意可知，方程-hx+x=e+a一e+a-x=e+(-n),令函数 g(x)=e+x,而g'(x)=e+1,则函数g(x)在R上单调递增，又方程等价于g(ax-x)=g(lnx), 因此x-=-nxea=1-,令函数f=1-,依题意，方程)=a有两个不同实根， 求导得f")=1x,当0<x<e时，)<0：当x>e时，f")>0, 函数/)在（Qe)上单调递减，在(e)上单调递增，f.-@)-1, 又f白=1+e,当x>1时，恒有f)<1,则当且仅当1-二<a<1时，方程fx)=a有两个不同实 根，所以实数a的取值范围为1-，).故选A项。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.【答案】BCD 【详解】对于A,取a=1,b=-2,满足a>b,但是a2<b2,故A错误； 对于B,因为a<b<0,不等式两边同时乘以负数a,不等式方向改变，所以a2>ab, 不等式两边同时乘以负数b,不等式方向改变，所以ab>b2, 所以b<ab<d,故B正确： bb+m b(a+m)-a(b+m)bm-am m(b-a) 对于C,因为a>b>0, aa+n a(a+)】 a(a+m）a(a+m)' 又因为、6+m 所以 aa+n b-a>0,而a>b>0,即b-a<0,m(a+m<0, a(a+m) 2 所以m<0,故C正确： 对于D,设3a+b=x(a+b)+y(a-b),即3a+b=(x+y)a+(x-y)b, 则/r+y=3 K-y=i解得x=2y=1,所以3a+b=2(a+)+(a-b),又2<a+b<3,则4<2a+b)<6,且 -1<a-b<2,所以3<2(a+b)+(a-b)<8,所以3<3a+b<8,故D正确；故选：BCD 10. 【答案】ABD 【详解】设直线1：y=k(x+1),联立x2-2x+2y2=0,得(1+2k)x2+(4好-2n)x+2k好=0， 则由△=0，即4=(4k-2m-8k:1+2)=0,解得k,=4n+2 (负值舍去)，故A正确： W2n+1 可得x2=n+/=k,1+x)m+月 ，所以 芝此n 1 2 2025 1 In- =-ln2026,故B正确； -1i+1 2 2026 2026 因为-宁则g 3 -+n+ x22 (2 2n +故C错误： 2 因为底所以盒2 1 1-x 设fx)=x+cosx,则f'(x)=1-sinx≥0，可得f(x)在R上单调递增，则x∈(0，+o)时， (1-x 1 1 √2n+1 ,>1,故D正 确.故选：ABD 11.【答案】BC 【详解】对于A选项，设直线y=:+m为函数f(x)和g(x)的图象的公切线，设直线y=x+m切 函数f(x)于点（飞，e--1),切函数8(x)于点(，l血x,-x,+1),因为f(x)=e-x-1,则 f"'(x)=e-1,所以，k='(x)=e-1,切线方程为y-（e-x-1)=(e-1)(x-x),即 )=(e-1小+0-)e-山，因为8（国=n-+1,则g()-1,所以，k=g)=士-1， 选方程为-侵水e小年-民少，所以.1 X2 (1-x)e-1=hx2 x1=1 消去x,可得(：-1)(e-1=0,解得 或1？所以，和()的图象有且只有两条 x1=0 1 公切线，A错：对于B选项，若h(x)>a,则a<h(x)m,因为函数 ()=f()-g)=e-nx-2,其中x>0,则N()=e- 因为函数y=e、y=-上在(0，+四)上 均为增函数，则函数加()在0，+0)上为增函数，因为) =e2-2<0,1(0)=e-1>0,所以， 存在2： 使得)=e0,即e名，可得无=-h,且当0<<时， H(x)<0,当x>时，h(x)>0,所以，函数h(x)的减区间为(0，xo),增区间为(x。,+m),所 以，()=()=-血飞-2=+，-2，由对勾函数的单调性可知，函数y=x+-2在（上单 调递减，所以，h()=(3,)+,-20习 由题意可得a<h(x)n,故整数a的最大值为 0,B对；对于C选项，h(s+)-h(s)-h()=[e"-n(s+)-2]-(e-lns-2)-(e-ht-2） -e-e-e+-[(s+-hs--=(e-e--h+1-(e-0e-n合++1， 因为、te(1+),则0<1,0<1，所以，0<+2， 所以.e-e-小-h1(e--n241>2-n2+1=3-20, 所以，h(s+t)>h(s)+h(t),C对：对于D选项，当l<x<e时，f(x)=e-x+l,则 f'(x)=e-1>0,所以，函数f(x)在(1，e)上单调递增，则f(x)>f()=e>0,8(x)=lhx-x+1, 则g)-1-÷<0对任意的e.e)恒成立，所以，在L®单调递减，则 g(x)<g(1)=0,当k<0时，对任意的x∈(1，e),f(x)+g(x)>0,所以，关于x的方程 f(x)+g(x)=0(k<0)在区间(，e)内无解，D错.故选：BC 三、填空题：本题共3小题。每小题5分，共15分。 12.【答案】2 根据余弦定理可知， cosA,0sB6+c2-d+d+c2-b-2c=6,由正弦定理可知 2abc 2abc 2abc ab 38n626,因为o1+os2_sm sinC c 2mB'所以= 以ab6,则a=2 4 13.【答案】9√3 根据题意可知，圆C的圆心为C(-3,0),半径为2：圆C2的圆心为C,(3,0),半径为10设圆E的 半径为r,由动圆E与圆C外切，得MC,上r+2,由动圆E与圆C,内切，得引MC,=10-r, 所以1MC|+|MC2=12>6=CC2|,则点E的轨迹是以C,C,为焦点的椭圆，且2a=12,2c=6 →a=6c=3动=后-c-5,则椭圆的方程为后+芳1，当卫为短轴端点时，△sC:的面积 最大，且最大值为)×6×35=95. 14.【答案】64% 【详解】设经过3秒处于状态1的概率为？，粒子要始终停留在状态1，需连续3秒都保持 状态1，根据数立事作概率公式：日分}令设经过3秒处于状态2的概率为2， 情况一第1秒从状态1变为状态2，第2秒和第3秒都保持状态2不女，概*号行号号 情况二：第1秒保持状态1不变，第2秒从状态1变为状态2，第3秒保持状态2不变，概率 为分分号- 情祝三第1秒和第2秒保持状态1不变，第3秒从状态1变为状态2，概率为×分×？8一 将上述三种情况的概率相加，得到经过3秒后处于状态2的粒了的餐率为兵号。日行 则经过3秒后处于状态1和状态2的粒子数目占总粒子数的比例为将经过3秒后处于状态1 和状态2的粒子的概率相加，可得习石66 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)（1)有95%以上的把握 28 【详解】(1)假设不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好没有影响. x's 018×12-30x20_640≈4812>3.84L所以有95%以上的把握认为不同打法选手对于有缝 38×42×32×48 133 球和无缝球的喜好有影响. （2②)根据分层抽样可知，各层的抽样比为2一了所以从喜欢有缝球的远手中选取 20x}5人，从喜欢无缝球的选手中选取12×子3人， 记两个赛区都有人被选中为事件A,则P(=CC+CC_45 56 16.（15分)(1)证明见解析 (2)2 【详解】(I)证明：因为OO⊥平面ABC,ABc平面ABC,所以OO,⊥AB, 因为AC为下底面圆的直径，所以BC⊥AB,因为M为AB的中点，所以OM∥BC, 所以OM⊥AB,又OM∩OO=O,OM,OO,C平面O,OM,所以AB⊥平面O,OM. (2)以O为坐标原点，AB,OM,OO的方向分别为x轴、轴、z轴的正方向，建立如图所 示的空间直角坐标系， 不妨设00=OA=AB=2,则A(-1,V5,0),B(1,3,0)，C1-5,0,Q(0,0,2), 则AB=(2,0,0),BO=（-1,-V3,2),AC=(2,-23,0).设平面0AB的一个法向量为m=(x,,z), m0=x-v+2z=0取：=5，得m=(02.设直线4C与平面QAB所成角为0， m·AB=2x=0, 则 则sin9=coC= 0AC5四，枚直线AC写平面O5所成角的正弦值为② AC 7 AB BD 17.(15分)(1)在△ABD中，由正弦定理得- sn∠ADB sin∠BAD'则 Sin∠ADB sin∠ADB AB 2 sin∠BAD π BD 3, sin +∠ADB 6 所以V3sin∠ADB=2sin∠BAD=2sin +∠ADB 6 =coS∠ADB+V3sin∠ADB, 所以coS∠ADB=O,则∠ADB=T 6 2由()知∠ADB=∠4cB=号设∠aMC=00<0<写） 则BC=4√6tam6,在 △4CD中，∠CAD=∠CBD=T-6,∠ADC=T+6,由正弦定理得 CD AC 3 n∠CADsin.∠ADC'即 4v6sin -9 4v6 1 cos--sine 3 2 2 2v6(3-tane) +6 cosθ sin 2 所以s号45m926(5-me)9-15me5-me1259-5, 当且仅当m0-5时取等号，所以△BCD的面积最大值为95 2 1817分》)营+1（2)存在，40-号 【详解】（①已知椭园若+云-1a>6>0过点马，写只分别为椭圆的左、右焦点，且五、 1 a+62 -=1 1+1=1 +26 距离为2.可列出方程组2c=2 ，即2c=2.由2c=2,可得c=1.将c=1代入 a2-b2+c2 a=b2+c2 d-公+e,得=+1，即宁将后代入亦1，可得京1 11 即3b2+1=2b2(b2+1).化为2b4-b2-1=0.因为b2>0,解得b2-1（负值舍去). 将8=1代入。-8+1，可得a-2.因此，椭圆的标准方程为+少-1 (2)设圆心在y轴上的圆c与椭圆+=1相交，R,),R()是两个交点，且>0， y,>0,FR,FP是圆C的切线，且⊥FP 由圆和椭圆的对称性可知，x,=-x,y=y2,1=2x. 由（1)知(-1,0)，F(1,0),所以B=(x+1,y),2B=(←x-1,y) 因为1，根据向量垂直的性质，则EF卫=0，即-(x+1)2+=0,可得y=(x+)2. 又因为点6，)在椭圆兮+-1上，所以菩+1，将矿=+)代入可得写+《+-1 展开整理得3式+4=0，解得-或=0，当=0时，月，B重合，此时离设要求的圆不存 在 当=时，y+1H}+1}过，B分别与职，垂直的直线的交点即为圆C,设 1 @O因为C:1出，可得.”1，即小3化简得，解得胃 X1x+1 44+1 33 则园c的半径10-4所以圆c的方程为0-号 3 9 19.(17分)（1)1 （2)(i)a>1(i)证明见解析 【详解】(1).对任意0<s<t,f(x)≥f(s)是f(x)≥f(t)的必要条件，.f(t)≥f(s), 1)在0+o)上单调递增，则f)-c-e-回0，即a≥1-e在0，+)上恒成立， 令h(x)=(1-x)e,H(x)=-e+e*(1-x)=-xe<0,h(x)在(0，+o)单调递减，.h(x)<h(0)=l, .a≥1，.amim=1. (2)(i)因为对∀b>0,e-4-b=0有两个不等的实根x,x, 所以e-bx-a=0有两个零点x,x2,（a≠1)令F(x)=e-bx-a,F'(x)=e-b,当F'(x)>0,则 x>lnb,当F'(x)<0,则x<lnb,所以F(x)在(-o,lnb)单调递减：(lnb,+o)单调递增， x→-o,F(x)→+0，x→+o,F(x)→+0，要使F(x)有两个零点，只需 F(x)n=F(mb)=b-blnb-a<o,a>(b-blnb),(b)=b-binb,'(b)=-Ib, p(b)在(0,1)单调递增；(1，+∞)单调递减，∴.p(b)mx=p(1)=1,∴.a>1. @令e-m-a=0,则号号e5=名即e+ b 构造方程e-(x-hnb)=lnb+ +会两根为名，令x-b=1,其中任二的d-1=的+的 x,-Inb =t, 两根为t,t,令G(t)=e-t,则G'(t)=e-1,令G(t)=0,则t=0, G(t)在(-o,0)单调递减：(0，+o)单调递增，作出G(t)大致图象如下：令 r)=b-会ro)-方县-2，ro在Qa单词递减：a)单调逆增，0)2r回) .当b=a时，r(b)mm=r(a=na+1>1,此时-t=x1-x最小.k-x2取最小值时，b=a. y=G(t) y=r(b) 9 高 三 4 月 数 学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合则=（    ） A. [1，2] B. [-2,1] C. D. 2. 复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 3. 若则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4. 如图，在平行六面体中，若，则（    ） A． B． C． D． 5. 若函数的两个零点分别为和，则（    ） A． B． C． D． 6. 四只不同的鹦鹉飞回三个不同的笼子，则至少有一个笼子空出来的概率为（    ） A． B． C． D. 7. 已知双曲线：（，）的右焦点为，半焦距为.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（    ） A．2 B．2或 C．2或 D．2或 8. 关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10. 过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．数列的前项和为 D． 11. 已知函数，，，则（    ） A．和的图象有且只有一条公切线 B．若恒成立，则整数的最大值为 C．若、均大于，则 D．关于的方程在区间内有解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在ABC中，角A，B，C的对边，b，c，且，则的值为 . 13.若动圆E既与圆外切，也与圆内切，则的面积最大值为 . 14.科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 安徽省某中学举办快乐乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个赛区，从该学校抽取部分选手进行调研，相关数据如下表： 喜欢用有缝球 喜欢用无缝球 直拍打法选手 18 30 横拍打法选手 20 12 （1）能否有95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响？ （2）若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取8名选手，按照各自喜爱的球型参加相应赛区的比赛．现从8名选手中选3人，用AI监测他们的比赛数据，求两个赛区都有人被选中的概率． 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 16.（15分） 如图，在圆台中，，，是下底面圆周上的三点，为下底面圆的直径，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17.（15分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形， （1）求∠ADB的度数； （2）若，求面积的最大值. 18.（17分） 已知椭圆 过点 分别为椭圆的左右焦点且 （1）求椭圆C的标准方程； （2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆交于两点(在的左侧)，都是圆的切线且若存在，求出圆的方程：若不存在，请说明理由. 19.（17分） 已知函数. （1）对任意，是的必要条件，求的最小值； （2）对任意，函数存在两个零点. （i）求的取值范围； （ii）对于（i）中给定的，证明：当取得最小值时，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 答案 B B D A C B D A 1. 【答案】B 根据题意可知则故选B项。 2. 【答案】B 根据题意可知，所以复数的虚部是1.故选B项。 3. 【答案】D 根据题意可知，得且，所以， 故选D项。 4. 【答案】A 根据题意可知，又因，， ∴，∴，，，故选A项。 5. 【答案】C 根据题意可知，函数，锐角由确定， 由，得，而， 因此，即，则，即，于是，所以.故选C项。 6. 【答案】B 根据题意可知，四只鹦鹉飞回三个不同的笼子的总方法数为其中“至少有一个笼子”有两种情况：4只鹦鹉在同一个笼子，有4只鹦鹉在2个笼子里，有则为，故选B项。 7. 【答案】D 【详解】根据题意可知，双曲线的渐近线为，这里不妨取，即， 点到直线的距离，在中，所以，则， 又因，所以，化简可得，等式两边同时除以，可得，即，解得或，因，所以或.故选D项。 8. 【答案】A 【详解】根据题意可知，方程，令函数，而，则函数在R上单调递增，又方程等价于， 因此，令函数，依题意，方程有两个不同实根， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 又，当时，恒有，则当且仅当时，方程有两个不同实根，所以实数a的取值范围为.故选A项。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 【答案】BCD 【详解】对于A，取，满足，但是，故A错误； 对于B，因为，不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为，， 又因为，所以，而，即，， 所以，故C正确； 对于D，设，即， 则，解得，所以，又，则，且，所以，所以，故D正确；故选：BCD 10. 【答案】ABD 【详解】设直线，联立，得， 则由，即，解得（负值舍去），故A正确； 可得，，所以，故B正确； 因为，则，故C错误； 因为，，所以， 设，则，可得在上单调递增，则时，，又，则，故D正确.故选：ABD 11. 【答案】BC 【详解】对于A选项，设直线为函数和的图象的公切线，设直线切函数于点，切函数于点，因为，则，所以，，切线方程为，即，因为，则，所以，， 切线方程为，即，所以，，消去可得，解得或，所以，和的图象有且只有两条公切线，A错；对于B选项，若，则，因为函数，其中，则，因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数，因为，，所以，存在，使得，即，可得，且当时，，当时，，所以，函数的减区间为，增区间为，所以，，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，所以，，由题意可得，故整数的最大值为，B对；对于C选项， ， 因为、，则，，所以，， 所以，， 所以，，C对；对于D选项，当时，，则，所以，函数在上单调递增，则，，则对任意的恒成立，所以，在单调递减，则，当时，对任意的，，所以，关于的方程在区间内无解，D错.故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 【答案】2 根据余弦定理可知，由正弦定理可知，因为，所以，则=2. 13. 【答案】 根据题意可知，圆的圆心为半径为2；圆的圆心为半径为10.设圆E的半径为r，由动圆E与圆外切，得由动圆E与圆内切，得，所以，则点E的轨迹是以，为焦点的椭圆，且 ，则椭圆的方程为，当E为短轴端点时，的面积最大，且最大值为. 14. 【答案】64% 【详解】设经过3秒处于状态1的概率为，粒子要始终停留在状态 1，需连续3秒都保持状态 1，根据独立事件概率公式：；设经过3秒处于状态2的概率为， 情况一:第1秒从状态1变为状态2，第2秒和第3秒都保持状态2不变，概率； 情况二:第1秒保持状态1不变，第2秒从状态1变为状态2，第3秒保持状态2不变，概率为； 情况三:第1秒和第2秒保持状态1不变，第3秒从状态1变为状态2，概率为； 将上述三种情况的概率相加，得到经过3秒后处于状态2的粒子的概率为， 则经过3秒后处于状态1和状态2的粒子数目占总粒子数的比例为将经过3秒后处于状态1和状态2的粒子的概率相加，可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）（1）有95%以上的把握 （2） 【详解】（1）假设不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好没有影响． 所以有95%以上的把握认为不同打法选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响． （2）根据分层抽样可知，各层的抽样比为，所以从喜欢有缝球的选手中选取人，从喜欢无缝球的选手中选取人， 记“两个赛区都有人被选中”为事件，则． 16.（15分）（1）证明见解析 （2） 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 因为为下底面圆的直径，所以，因为为的中点，所以， 所以，又，，平面，所以平面. （2）以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，，，， 则，，.设平面的一个法向量为， 则取，得.设直线与平面所成角为， 则，故直线与平面所成角的正弦值为. 17.（15分）（1）在中，由正弦定理得，则， 所以， 所以. （2）由（1）知.设，则，在中，由正弦定理得，即. 所以， 当且仅当时取等号，所以的面积最大值为. 18.（17分）（1） （2）存在， 【详解】（1）已知椭圆过点，分别为椭圆的左、右焦点，且、距离为.可列出方程组，即.由，可得.将代入，得，即.将代入，可得. 即.化为.因为，解得（负值舍去）. 将代入，可得.因此，椭圆的标准方程为. （2）设圆心在轴上的圆与椭圆相交，，是两个交点，且，，，是圆的切线，且. 由圆和椭圆的对称性可知，，，. 由（1）知，，所以，. 因为，根据向量垂直的性质，则，即，可得. 又因为点在椭圆上，所以，将代入可得. 展开整理得，解得或. 当时，，重合，此时题设要求的圆不存在. 当时，.过，分别与，垂直的直线的交点即为圆，设.因为，可得，即.化简得，解得. 则圆的半径.所以圆的方程为. 19.（17分）（1） （2）（i）（ii）证明见解析 【详解】（1）∵对任意，是的必要条件，∴， 在上单调递增，则，即在上恒成立， 令，，在单调递减， . （2）（i）因为对有两个不等的实根， 所以有两个零点令，当，则，当，则，所以在单调递减；单调递增， ，要使有两个零点，只需，即，令， 在(0,1)单调递增；单调递减，. (ii)令，则，，即， 构造方程，两根为，令，其中的两根为令则，令，则， 在单调递减；单调递增，作出大致图象如下：令，在单调递减；单调递增， 当时，，此时最小.取最小值时，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $高三4月数学 (考试时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合A={dx2-4≤0}，B={xx>1},则AOCB)=() A.[1,2] B.[-2,1] C.（-0,1]U[2,+0)D.(-0,-1]U[2,+o) 2复数的虚部是（) A.-1 B.1 C.1 2 D.2 3.若1na+nb=1,则4.8的最小值为() A.26e B.26e C.26@ D.46@ 4.如图，在平行六面体ABCD-AB,C,D中，若BD=xAB+yAD+zAA,则(x,,z)=（) D A.（-1,1,1) B.(1,-11) C.(1,1,-1) D.（-1,-1,-1) D 5.若函数f(x)=2six+cosx-√3，x∈(0，π)的两个零点分别为x和x2,则cos(化-x2)=（) A号 B.月 c.号 D 6.四只不同的鹦鹉飞回三个不同的笼子，则至少有一个笼子空出来的概率为() B.5 9 c. 55 D 81 气已知双曲线C:名1(a>0,b>0)的右焦点为P,半焦距为c过P作c的一条渐近线的垂 E为这，0的面积为&，则c的离心率 A.2 B.2或5 C.2或√5 D.2或2 3 8.关于x的方程-nx+x=e-+ar有两个不同实根，则实数a的取值范围为() A.-是B.o, D.1-3 e c.o1-3 高三年级数学试卷第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题正确的是() A.若a>b,则ad>b2 B.若a<b<0,则b2<ab<a C.若a>b>02+m,则m<0 D.若2<a+b<3,-1<a-b<2,则3<3a+b<8 aa+m 10.过点P(-1,0)向曲线Cn:x2-2x+2y2=0(n∈N)引斜率为k.(k.>0)的切线1n,切点为P(x,y),则下 列结论正确的是（) A.k,=4n+2 n 2025 B. lnx=-ln2026 c.致列到药前项利为9-nD,合之个 11.已知函数f(x)=e-x-1,8(x)=lnx-x+1,h(x)=f(x)-8(x),则() A.f(x)和8(x)的图象有且只有一条公切线B.若h(x)>a恒成立，则整数a的最大值为0 C.若s、t均大于1，则h(s+t)>h(s)+h(t) D.关于x的方程f(x)+g(x)=0(k<0)在区间(1，e)内有解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在△4BC中，角A,B,C的对边a,b,c,且os4+osB=sinC,则a的值为 a b 2sin B 13.若动圆E既与圆C:x2+y2+6x+5=0外切，也与圆C,:x2+y2-6x-91=0内切，则△ECC2的面 积最大值为 14科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态3，，每种状态下 的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为 状态2，状态2的粒子有，的概率变为状态3，以此类推现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于 状态1和状态2的粒子数目约占 高三年级数学试卷第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) 安徽省某中学举办快乐乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和无缝球型两个赛区，从该学校抽取部分选 手进行调研，相关数据如下表： 喜欢用有缝球 喜欢用无缝球 直拍打法选手 18 30 横拍打法选手 20 12 (1)能否有95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响？ (2)若从参加调研的横拍打法选手中用分层抽样的方法抽取8名选手，按照各自喜爱的球型参 加相应赛区的比赛.现从8名选手中选3人，用AI监测他们的比赛数据，求两个赛区都有人被选中 的概率. 附：x2= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' P(x2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 16.(15分) 如图，在圆台OO中，A,B,C是下底面圆周上的三点，AC为下底面圆的直径，M为AB的中点： (1)证明：AB⊥平面O,OM; (2)若OO=OA=AB,求直线AC与平面OAB所成角的正弦值 高三年级数学试卷第3页共4页 17.(15分)如图，四边形ABCD为圆内接四边形，∠DBA=T,2BD=√5AB. 6 (1)求∠ADB的度数； (2)若AC=4√6，求△BCD面积的最大值 B 18.(17分) 已知椭阔c点茶a6过点 /2 耳，F分别为椭圆的左右焦点且|耳引=2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆交于P,P两点(P在P2的左侧)， PF和P2F2都是圆的切线且E⊥PE?若存在，求出圆的方程：若不存在，请说明理由， 19.(17分) 已知函数f(w)=e-a (1)对任意0<s<t,f(x)≥f(s)是f(x)≥ft)的必要条件，求a的最小值： (2)对任意b>0,函数8(x)=f(x)-b存在两个零点x,x2. (i)求a的取值范围： (ii)对于(i)中给定的a,证明：当3-x取得最小值时，b=a 高三年级数学试卷第4页共4页