期中高频考点突破训练2025-2026学年北师大版七年级数学下册（26考点）

期中高频考点突破训练2025-2026学年北师大版 七年级下册（26考点） 考点1：同底数幂的乘法 1．的值是( )． A. B. C. D. 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 3.已知，，则等于（   ） A． B． C． D．1 考点2：幂的乘方与积的乘方 1．下列计算中，错误的个数是( )． ① ② ③ ④ ⑤ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2.的计算结果是（   ） A． B． C． D． 3.已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 考点3：同底数幂的除法 1．若，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．已知，，则 ． 3．计算： （1）xn•x2÷xn+2；（2）[（﹣y3）2]4÷{[（﹣y）3]7•y2}． 考点4：整式的乘法 1．的结果是( )． A. B. C. D. 2.如果，那么m、n的值分别是（    ） A．，12 B．11，12 C．， D．11， 3.先化简，再求值：，其中． 考点5：平方差公式 1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（       ） A． B． C．D． 2．用简便方法计算时，变形正确的是（       ） A． B． C． D． 3．如图，在边长为a的正方形中，减去一个边长为b的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式(        ) A． B． C． D． 考点6：完全平方公式 1．下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 3．若是完全平方式，则的值为 ． 考点7：整式的除法 1．下列计算中错误的是( ) A. B. C. D. 2．长方形的面积是，一边长是，则它的另一边长是（    ） A． B． C． D． 3.小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，■×3ab＝6ab﹣3ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（　　） A．（2﹣b2） B．（2+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2） 考点8：对顶角、邻补角的识别 1.下列图形中，与互为邻补角的是（    ） A．   B．   C．   D．   2.如图，直线，，相交于一点，则的对顶角是（    ） A． B． C． D． 3.观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有  对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有  对；如图3图中有n条直线相交于一点，则对顶角有  对． 考点9：对顶角、邻补角的相关计算 1.如图，直线与相交于点，若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 2．如图所示：O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，则的度数= ． 3.如图，直线相交于点．平分，． (1)的度数为___________．； (2)若，则是否平分？并说明理由． 考点10：垂直的定义与性质 1．如图，，垂足为D，则下面说法中不正确的是（    ） A．点B到的垂线段是线段 B．与互相垂直 C．与互相垂直 D．线段的长度是点A到的距离 2．如图，于点，于点，，，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 3.如图所示，点A到直线的距离是线段　　　　的长度（  ） A． B． C． D． 考点11：同位角、内错角、同旁内角的识别 1.如图所示，将木条a，b的一端钉在一起，再将木条a，b与木条c钉在一起，则图中∠2的同旁内角是（　　） A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5 2.如图，下列结论中错误的是（　　） A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠6是内错角 C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角 3.如图，下列说法错误的是（　　） A．∠1与∠2互为对顶角 B．∠2与∠5是内错角 C．∠3与∠4是同位角 D．∠4与∠5互为邻补角 考点12：对平行公理及其推论的理解与应用 1.下列推理正确的是（　　） A．因为a∥d，b∥c，所以c∥d B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d C．因为a∥b，a∥c，所以b∥c D．因为a∥b，d∥c，所以a∥c 2．下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线;  ②在同一平面内,不相交的两条线段平行 ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;  ④若a∥b,b∥c,则a与c不相交. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 考点13：探究两直线平行的条件 1.如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　） A．∠1＝∠A B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠A＝∠3 2.如图，由，可得：______，理由是______． 3．如图，，平分．求证：． 考点14：利用平行的性质求角的度数 1.如图，直线，在，它的顶点分别在直线上，且平分，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得，，则 ． 3．如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．    考点15：通过阅读推理过程填空 1.如图AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．求证：AB∥CE． 请完成下列推理过程： 证明：∵CD平分∠ECF， ∴∠ECD＝　 　（ 　 　）． ∵∠ACB＝∠FCD （ 　　 ）， ∴∠ECD＝∠ACB （ 　 　） ∵∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠　 　（ 　 　）． ∴AB∥CE（ 　 　）． 2.如图已知：，，，求的度数. 解：， ________（________） 又， ________ ________（________） ________，（________） ， ________. 3.按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整． 如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：BE∥CF． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∠ABF＝∠1（对顶角相等） ∠BFG＝∠2（ 　 ） ∴∠ABF＝　 　（等量代换）， ∵BE平分∠ABF（已知）， ∴∠EBF　 　（ 　 ）． ∵FC平分∠BFG（已知）， ∴∠CFB　　 （ 　 　）． ∴∠EBF＝　 　， ∴BE∥CF（ 　 　）． 考点16：利用平行线的性质解决实际问题 1.图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则的度数为 2.如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 3.健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若，，则的度数是 ． 考点17：平行线的判定与性质综合 1.如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且平分，．有下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，直线，相交于点B，直线，相交于点E，于点P，连接，，． (1)若，请求出的度数； (2)若，求证：． 3．如图 ① ，直线，直线EF和直线分别交于C、D两点，点A、B分别在直线上，点P在直线上，连接、．    (1)猜想：如图①，若点P在线段上，，，求的大小 (2)探究：如图 ① ，若点P在线段上，写出、、之间的数量关系并说明理由． (3)拓展：如图 ② ，若点P在射线上或在射线上时，写出、、之间的数量关系并说明理由． 题型18：判断事件的类型 1.下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．任意画一个三角形，其外角和是360° B．打开电视，正在播放跳水比赛 C．经过有交通信号的路口时遇见绿灯 D．若a＞b，则ac＞bc 2.下列事件中，是不可能事件的是（　　） A．明天会下雨 B．淋雨会感冒 C．明天太阳从西方升起 D．注射青霉素会过敏 3.下列事件不属于随机事件的是（　　） A．打开电视正在播放新闻联播 B．某人骑车经过十字路口时遇到红灯 C．抛掷一枚硬币，出现正面朝上 D．若今天星期一，则明天是星期二 题型19：判断可能性的大小 1.任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性最小的是　　 A．面朝上的点数是偶数 B．面朝上的点数是奇数 C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数大于2 2.桌子上有一个不透明的盒子，其中装有形状、大小都相同的红球6个，白球4个，摸出一个球记录它的颜色，再放回去，重复30次，摸出 球的可能性大． 3.甲袋中放着22个红球和7个黑球，乙袋中放着42个白球和16个黑球，三种球除颜色外没有任何区别，将两袋中的球搅匀，从两个袋中各任取一个球，哪个袋中取出黑球的可能性大？ 题型20：由可能性的大小求值 1.在一个盒子中有形状大小完全相同的10个红球，8个绿球，和一些黑球，每次从中拿出一个球，结果拿出绿球的可能性小于，那至少有（　　）个黑球． A．6 B．7 C．8 D．无法确定 2.在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中红球4个，黄球3个，其余的为绿球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的可能性为，则袋中绿球的个数是（　　） A．12 B．5 C．4 D．2 3.一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意掷一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 　 个面涂了黄色． 题型21：求可能性的大小 1.不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（　　） A． B． C． D． 2.投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 3.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为（　　） A． B． C． D． 题型22：用频率估计概率 1.某林业局将一种树苗移植成活情况绘制成如图所示的统计图，由此可估计移植这种树苗，成活的概率约为（　　） A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85 2.数学兴趣小组做抛掷瓶盖的试验，将获得的试验数据整理如下表： 累计抛掷次数 100 200 500 1 000 2 000 3 000 5 000 盖面朝上次数 61 123 309 617 1 238 1 854 3 090 盖面朝上频率 0.610 0.615 0.618 0.617 0.619 0.618 0.618 根据以上试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 （精确到0.01）． 3.某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 (1)表中______，______； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； (3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 题型23：利用公式求概率 1.从，0，，1，，中随机选择一个数，则选到非负数的概率为 ． 2.不透明的袋子中装有8个小球，其中有6个红球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个小球，则它是红球的概率为 ． 3.甲，乙，丙三张卡片正面分别写有，，，除正面的代数式不同外，其余均相同．将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当，时，则取出的卡片上代数式的值为正数的概率为 ． 题型24：利用概率公式求值 1.学校招募“弦外之音”项目组成员参加实践活动，项目组共10人，分两批确定：第一批确定了7人，第二批确定了1名男生，2名女生．现从项目组全体成员中随机抽取1人承担宣传联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中女生的人数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2.现有若干件产品，其中3件是次品，从中任选一件，它为次品的概率是0.1，求该产品共有 　 　件． 3.一个不透明的袋中装有若干个红球和白球，它们除颜色外其他均相同．已知袋中共有30个球，将袋中的球摇匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是． (1)求袋中共有多少个白球； (2)从袋中取走10个球（其中没有白球），并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是白球的概率． 题型25：转盘中的概率问题 1.如图，将转盘八等分，分别涂上红、绿、蓝三种颜色，则转动的转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（　　） A． B． C． D． 2.如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为150°，90°，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 3.如图，是一个游戏转盘，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为40°、120°、200°，自由转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 题型26：几何概率问题 1.一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在白色区域的概率是　　 A． B． C． D． 2.如图，在边长为3的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 ． 3.七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的正方形，现随机向该图形内抛一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 期中高频考点突破训练2025-2026学年北师大版 七年级下册（26考点） 考点1：同底数幂的乘法 1．的值是( )． A. B. C. D. 【答案】C 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B。 3.已知，，则等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 考点2：幂的乘方与积的乘方 1．下列计算中，错误的个数是( )． ① ② ③ ④ ⑤ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 2.的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3.已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 考点3：同底数幂的除法 1．若，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 2．已知，，则 ． 【答案】 3．计算： （1）xn•x2÷xn+2；（2）[（﹣y3）2]4÷{[（﹣y）3]7•y2}． 【答案】解：（1）xn•x2÷xn+2； ＝xn+2÷xn+2 ＝1 （2）[（﹣y3）2]4÷{[（﹣y）3]7•y2} ＝[y6]4÷{[﹣y3]7•y2} ＝y24÷{﹣y21•y2} ＝y24÷{﹣y23} ＝﹣y 考点4：整式的乘法 1．的结果是( )． A. B. C. D. 【答案】C 2.如果，那么m、n的值分别是（    ） A．，12 B．11，12 C．， D．11， 【答案】A 3.先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解： 当，时， 原式． 考点5：平方差公式 1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（       ） A． B． C．D． 【答案】C。 2．用简便方法计算时，变形正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B。 3．如图，在边长为a的正方形中，减去一个边长为b的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式(        ) A． B． C． D． 【答案】D。 考点6：完全平方公式 1．下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2．若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 3．若是完全平方式，则的值为 ． 【答案】 考点7：整式的除法 1．下列计算中错误的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 2．长方形的面积是，一边长是，则它的另一边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，■×3ab＝6ab﹣3ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（　　） A．（2﹣b2） B．（2+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2） 【答案】A 考点8：对顶角、邻补角的识别 1.下列图形中，与互为邻补角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 2.如图，直线，，相交于一点，则的对顶角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有  对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有  对；如图3图中有n条直线相交于一点，则对顶角有  对． 【答案】2；6；n2﹣n. 考点9：对顶角、邻补角的相关计算 1.如图，直线与相交于点，若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 2．如图所示：O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，则的度数= ． 【答案】/72度 3.如图，直线相交于点．平分，． (1)的度数为___________．； (2)若，则是否平分？并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见详解； 【详解】（1）解：∵与互为对顶角, ∴ ∵平分 ∴， 故答案为：． （2）解：平分， 理由：由（1）得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 则平分． 考点10：垂直的定义与性质 1．如图，，垂足为D，则下面说法中不正确的是（    ） A．点B到的垂线段是线段 B．与互相垂直 C．与互相垂直 D．线段的长度是点A到的距离 【答案】A 2．如图，于点，于点，，，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3.如图所示，点A到直线的距离是线段　　　　的长度（  ） A． B． C． D． 【答案】D 考点11：同位角、内错角、同旁内角的识别 1.如图所示，将木条a，b的一端钉在一起，再将木条a，b与木条c钉在一起，则图中∠2的同旁内角是（　　） A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】B． 2.如图，下列结论中错误的是（　　） A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠6是内错角 C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角 【答案】C． 3.如图，下列说法错误的是（　　） A．∠1与∠2互为对顶角 B．∠2与∠5是内错角 C．∠3与∠4是同位角 D．∠4与∠5互为邻补角 【答案】C． 考点12：对平行公理及其推论的理解与应用 1.下列推理正确的是（　　） A．因为a∥d，b∥c，所以c∥d B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d C．因为a∥b，a∥c，所以b∥c D．因为a∥b，d∥c，所以a∥c 【答案】C． 2．下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线;  ②在同一平面内,不相交的两条线段平行 ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;  ④若a∥b,b∥c,则a与c不相交. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 3.下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 考点13：探究两直线平行的条件 1.如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　） A．∠1＝∠A B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠A＝∠3 【答案】A． 2.如图，由，可得：______，理由是______． 【答案】          同旁内角互补，两直线平行 3．如图，，平分．求证：． 【答案】 【详解】证明：平分， ． ， ， ． 考点14：利用平行的性质求角的度数 1.如图，直线，在，它的顶点分别在直线上，且平分，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2．如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得，，则 ． 【答案】/130度 3．如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．    【答案】/32度 考点15：通过阅读推理过程填空 1.如图AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．求证：AB∥CE． 请完成下列推理过程： 证明：∵CD平分∠ECF， ∴∠ECD＝　 　（ 　 　）． ∵∠ACB＝∠FCD （ 　　 ）， ∴∠ECD＝∠ACB （ 　 　） ∵∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠　 　（ 　 　）． ∴AB∥CE（ 　 　）． 【答案】∠DCF，角平分线定义，对顶角相等，等量代换，ECD，等量代换，同位角相等，两直线平行． 2.如图已知：，，，求的度数. 解：， ________（________） 又， ________ ________（________） ________，（________） ， ________. 【答案】，两直线平行，同位角相等；；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补； 3.按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整． 如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：BE∥CF． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∠ABF＝∠1（对顶角相等） ∠BFG＝∠2（ 　 ） ∴∠ABF＝　 　（等量代换）， ∵BE平分∠ABF（已知）， ∴∠EBF　 　（ 　 ）． ∵FC平分∠BFG（已知）， ∴∠CFB　　 （ 　 　）． ∴∠EBF＝　 　， ∴BE∥CF（ 　 　）． 【答案】对顶角相等；∠BFG；∠ABF；角平分线的定义；∠BFG；角平分线的定义；∠CFB；内错角相等，两直线平行． 考点16：利用平行线的性质解决实际问题 1.图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则的度数为 【答案】 2.如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 【答案】 /36度 /72度 3.健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若，，则的度数是 ． 【答案】/105度 考点17：平行线的判定与性质综合 1.如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且平分，．有下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 2．如图，直线，相交于点B，直线，相交于点E，于点P，连接，，． (1)若，请求出的度数； (2)若，求证：． 【答案】（1）解：因为， 所以， ∴； （2）证明：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以． 3．如图 ① ，直线，直线EF和直线分别交于C、D两点，点A、B分别在直线上，点P在直线上，连接、．    (1)猜想：如图①，若点P在线段上，，，求的大小 (2)探究：如图 ① ，若点P在线段上，写出、、之间的数量关系并说明理由． (3)拓展：如图 ② ，若点P在射线上或在射线上时，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】 （1）如图①所示：过点P作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）猜想： 如图①所示：过点P作 ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ； （3）①当点P在延长线上时，有．理由如下： 过点P作， ， ②当点P在延长线上时，有．理由如下：   过点P作， ， ，， ∴综上所述：当点P不在线段DC上时， 或． 题型18：判断事件的类型 1.下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．任意画一个三角形，其外角和是360° B．打开电视，正在播放跳水比赛 C．经过有交通信号的路口时遇见绿灯 D．若a＞b，则ac＞bc 【答案】A． 2.下列事件中，是不可能事件的是（　　） A．明天会下雨 B．淋雨会感冒 C．明天太阳从西方升起 D．注射青霉素会过敏 【答案】C． 3.下列事件不属于随机事件的是（　　） A．打开电视正在播放新闻联播 B．某人骑车经过十字路口时遇到红灯 C．抛掷一枚硬币，出现正面朝上 D．若今天星期一，则明天是星期二 【答案】D． 题型19：判断可能性的大小 1.任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性最小的是　　 A．面朝上的点数是偶数 B．面朝上的点数是奇数 C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数大于2 【答案】． 2.桌子上有一个不透明的盒子，其中装有形状、大小都相同的红球6个，白球4个，摸出一个球记录它的颜色，再放回去，重复30次，摸出 球的可能性大． 【答案】红 3.甲袋中放着22个红球和7个黑球，乙袋中放着42个白球和16个黑球，三种球除颜色外没有任何区别，将两袋中的球搅匀，从两个袋中各任取一个球，哪个袋中取出黑球的可能性大？ 【答案】乙袋中取出黑球的可能性大 【详解】解：甲袋中取出黑球的可能性为：； 乙袋中取出黑球的可能性为：； ， 乙袋中取出黑球的可能性大． 题型20：由可能性的大小求值 1.在一个盒子中有形状大小完全相同的10个红球，8个绿球，和一些黑球，每次从中拿出一个球，结果拿出绿球的可能性小于，那至少有（　　）个黑球． A．6 B．7 C．8 D．无法确定 【答案】B． 2.在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中红球4个，黄球3个，其余的为绿球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的可能性为，则袋中绿球的个数是（　　） A．12 B．5 C．4 D．2 【答案】B． 3.一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意掷一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 　 个面涂了黄色． 【答案】4． 题型21：求可能性的大小 1.不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 2.投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 3.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 题型22：用频率估计概率 1.某林业局将一种树苗移植成活情况绘制成如图所示的统计图，由此可估计移植这种树苗，成活的概率约为（　　） A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85 【答案】C． 2.数学兴趣小组做抛掷瓶盖的试验，将获得的试验数据整理如下表： 累计抛掷次数 100 200 500 1 000 2 000 3 000 5 000 盖面朝上次数 61 123 309 617 1 238 1 854 3 090 盖面朝上频率 0.610 0.615 0.618 0.617 0.619 0.618 0.618 根据以上试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 （精确到0.01）． 【答案】0.62 3.某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 (1)表中______，______； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； (3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 【答案】(1)，50 (2) (3)这片鱼塘的价值大约是80000元． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，50； （2）解：根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为； 故答案为：； （3）解：这个鱼塘中鱼约有（条）， （元）， 答：这片鱼塘的价值大约是80000元． 题型23：利用公式求概率 1.从，0，，1，，中随机选择一个数，则选到非负数的概率为 ． 【答案】 2.不透明的袋子中装有8个小球，其中有6个红球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个小球，则它是红球的概率为 ． 【答案】 3.甲，乙，丙三张卡片正面分别写有，，，除正面的代数式不同外，其余均相同．将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当，时，则取出的卡片上代数式的值为正数的概率为 ． 【答案】 题型24：利用概率公式求值 1.学校招募“弦外之音”项目组成员参加实践活动，项目组共10人，分两批确定：第一批确定了7人，第二批确定了1名男生，2名女生．现从项目组全体成员中随机抽取1人承担宣传联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中女生的人数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A． 2.现有若干件产品，其中3件是次品，从中任选一件，它为次品的概率是0.1，求该产品共有 　 　件． 【答案】30． 3.一个不透明的袋中装有若干个红球和白球，它们除颜色外其他均相同．已知袋中共有30个球，将袋中的球摇匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是． (1)求袋中共有多少个白球； (2)从袋中取走10个球（其中没有白球），并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是白球的概率． 【答案】(1)12个(2) 【详解】（1）解：设袋中共有x个红球， 因为袋中共有30个球，从中任意摸出一个球是红球的概率是， 所以解得． 因为（个）， 所以袋中共有12个白球． （2）从袋中取走10个球（其中没有白球），袋中还剩个球，袋中共有12个白球． 则从剩余的球中任意摸出一个球是白球的概率为． 题型25：转盘中的概率问题 1.如图，将转盘八等分，分别涂上红、绿、蓝三种颜色，则转动的转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】． 2.如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为150°，90°，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 3.如图，是一个游戏转盘，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为40°、120°、200°，自由转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 题型26：几何概率问题 1.一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在白色区域的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】． 2.如图，在边长为3的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 ． 【答案】 3.七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的正方形，现随机向该图形内抛一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $