第一章问题解决的策略：反思-【导学练评】2025－2026学年北师大版数学八年级下册

第一章问题解决的策略：反思-【导学练评】北师大版数学八年级下册 学习目标： 1、通过对典型问题的回顾，掌握反思的具体方法（如检查结果、寻求多解、推广变式等）。 2、经历“解题—回顾—评估—拓展”的过程，培养思维的批判性、灵活性和深刻性。 3、养成严谨细致的数学学习习惯，体验从不同角度审视问题的乐趣，提升数学元认知能力。 学习重点： 掌握反思的三个维度——结论检验、策略优化、模型推广。 学习难点： 如何引导学生跳出具体题目，提炼出通性通法，并进行有效的变式推广。 一、创设情境、导入新课 一个梯子靠在墙上，梯子顶端下滑1米，梯子底端滑动也是1米吗？ 二、合作交流、新知探究 探究1： 一、理解问题： 已知：AO=8m, AC=1m, AB=CD=10m, AO⊥OB 求：BD=? 二、 拟定计划： 现实生活问题数学化，墙面、地面和梯子构成直角三角形，已知直角三角形的斜边和直角边，求另一条直角边。所以利用勾股定理先求出OB、OD, BD=OD-OB 三、 实施计划： OB= . OD= . BD= . 四、回顾反思： 一个梯子靠在墙上，梯子顶端下滑1米，梯子底端滑动不是1米。 需要通过数学知识计算或证明才能得到正确答案。 探究2： 证明等腰三角形两腰上的中线相等 一、理解问题： 在△ABC中，AB=AC, BD、CE分别是AC、AB的中线，求证BD=CE 二：拟定计划 证明线段相等的常用方法： 1、 全等三角形 相等； 2、 角平分线上的 相等； 3、线段的垂直平分线到 相等。 找出线段BD、CE所在的三角形； 。 三、实施计划： 证法一：利用△ABD≌△ACE 证法二：利用△BCE≌△CBD 四、回顾反思： 1、除了等腰三角形两腰的中线相等外，你还能得到什么结论？比如，等腰三角形两腰上的高线、角平分线。证明你的猜测。 2、等边三角形具有以上性质吗？证明你的猜测。 探究3 等腰三角形两腰上的中线相等的逆命题是： 。 证明逆命题 一、理解问题： 在△ABC中，BD=CE, BD、CE分别是AC、AB的中线，求证AB=AC 二：拟定计划 利用三角形全等的对应边相等，或证明∠ABC=∠ACB,根据等角对等边证明AB=AC。 三、实施计划： 连接DE ,延长BC至F使CF=ED（自己完成证明过程） ∴AB=AC,△ABC是等腰三角形 四、回顾反思： 还有其他方法可以证明吗： 证明△BOE≌△COD，得到BE=CD,由于E、D 是AB、AC的中点，得到AB=AC 自己写出完整的证明过程。 一、基础达标1： 1．直角三角形的两直角边长分别是3cm，4cm，则斜边上的中线长为（　　） A．5cm B．2.4cm C．2.5cm D．5cm或cm 2．已知等腰三角形两边长是10 cm和5 cm，那么它的腰长是（　　) A．25cm B．15cm C．10 cm或5 cm D．10 cm 3．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．一个锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等 C．两个锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等 4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，∠BAC=130°，则∠DAC等于　 　． 5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，CD＝6cm，则AB的长为　 　cm． 6．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为　 　 ． 二、能力提升1： 7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°.∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是　 　． 三、拓展迁移1： 8．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O． （1）求证：AB＝DC； （2）试判断△OEF的形状，并说明理由． 9．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°. （1）求∠NMB的度数； （2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数； （3）你发现有什么样的规律性，试证明之； （4）若将（1）中的∠A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？ 问题解决的策略：反思 1、理解问题（已知条件是什么？目标是什么？将条件标注到图形中） 2、拟定计划（需要运用什么知识点，题中已知条件和所求问题有什么联系，整理思路，准备解答） 3、实施计划（解答实施阶段，注意思维的严谨性，书写的规范性） 4、回顾反思（对解题过程的回顾、对策略优劣的评估、对数学模型的提炼以及对通法通解的归纳） 四、基础达标2： 10．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为　 　． 11．在等腰三角形ABC中，∠A=100°，则∠B=　 　 . 12．等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为　 　． 13． 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝　 　时，△AOP为等腰三角形． 14．如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（　　) A．48 B．60 C．76 D．80 15．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若AB=10厘米，AC=9厘米，BC=8厘米，则△EBC的周长等于（　　） A．17厘米 B．18厘米 C．19厘米 D．13.5厘米 五、能力提升2： 16． 如图，下列三角形中，若AB＝AC，则能被直线分成两个小等腰三角形的是（　　) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 17． 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝ 　 　 米时，有DC＝AE＋BC. 六、拓展迁移2： 18． 如图，已知A，B，C，D四个城镇（除B，C外)都有笔直的公路相接，公共汽车行驶于城镇之间，公共汽车票价与路程成正比，已知各城镇间公共汽车票价如下： AB 20元， AC 25元 A D 16元， BD 12元 CD 9元 为了B，C间的交通方便，打算在B，C之间建一条笔直公路，请按上述标准预算出B，C之间的公共汽车票价是 　 　 元． 19．如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM＝ON，OD＝OE，DN和EM相交于点C.求证：点C在∠AOB的平分线上． 20．已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA，OB相交于点D，E. （1）如图①，若CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证：CD＝CE； （2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【分析】已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半即可解题． 【解答】已知直角三角形的两直角边为3、4， 则斜边长为=5， 故斜边的中线长为×5=2.5， 故选C． 【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了斜边中线长为斜边长的一半的性质，本题中正确的运用勾股定理求斜边的长是解题的关键． 2．【答案】D 【解析】【解答】解：当腰为5cm时，5+5=10，不能构成三角形，因此这种情况不成立. 当腰为10cm时，10-5<10<10+5，能构成三角形； 故答案为：D. 【分析】分为腰长为10cm或5cm讨论，应用三角形的三边关系验证能否组成三角形，然后求出周长解答即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：A、若一个锐角和斜边分别对应相等，可用AAS证这两个直角三角形全等，故原说法正确，不符合题意； B、若两条直角边对应相等，可用SAS证这两个直角三角形全等，故原说法正确，不符合题意； C、若两个锐角对应相等，只能说明这两个三角形形状相同，不能判断大小是否一样，所以不能证这两个直角三角形全等，故原说法错误，符合题意； D、若斜边和一条直角边对应相等，可用HL证这两个直角三角形全等，故原说法正确，不符合题意. 故答案为：C. 【分析】根据三角形全等的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA、HL逐一判断即可. 4．【答案】25° 5．【答案】12 6．【答案】64° 7．【答案】108° 【解析】【解答】解：连接OB. ∵OD垂直平分AB， ∴AO=BO， ∴∠OAB=∠OBA. ∵AB=AC， ∠BAC=54°， ∴∠ABC=∠ACB=63°. ∵OA平分∠BAC， ∴∠OBA=27°， ∴∠OBC=36°. ∵在△ABO和△ACO中AB=AC， ∠BAO=∠CAO， AO= AO， ∴△ABO≌△ACO(SAS)， ∴BO=CO， ∴∠OBC=∠OCB=36°. ∵△EOF与△ECF关于EF对称， ∴∠ECO=∠EOC=36°， ∴∠OEC=108°， 故答案为： 108°. 【分析】连接OB，根据角平分线的性质中垂线的性质不难得到∠OAB=∠OBA；接下来根据全等三角形的判定易得△ABO≌△ACO，结合全等三角形的性质可得∠OCB的度数；最后根据折叠变换的性质得出EO=EC，由等边对等角以及三角形内角和定理即可求出∠OEC的度数. 8．【答案】（1）证明：∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE． 又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴△ABF≌△DCE（AAS）， ∴AB=DC． （2）解：△OEF为等腰三角形 理由如下：∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC． ∴OE=OF． ∴△OEF为等腰三角形． 9．【答案】（1）解：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B＝（180°-∠A）=70°， ∴∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20° （2）解：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B＝ （180°-∠A）=55°， ∴∠NMB=90°-∠B=90°-55°=35°. （3）解：规律：∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半， 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B= （180°-∠A）， ∵∠BNM=90°， ∴∠NMB=90°-∠B=90 °- （180°-∠A）=∠A 即∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半. （4）解：将（1）中的∠A改为钝角，这个规律不需要修改，仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半． 【解析】【分析】（1）根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠B的度数，然后直角三角形的两锐角互余解答即可； （2）根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠B的度数，然后直角三角形的两锐角互余解答即可； （3）仿照（1）的解答过程得到结论即可； （4）根据（1）的解答过程得到结论即可. 10．【答案】6，4或5，5 【解析】【解答】解：当腰是6时，则另两边是4，6，且4+6＞6，满足三边关系定理； 当底边是6时，另两边长是5，5，5+5＞6，满足三边关系定理， 故该等腰三角形的另两边为：6，4或5，5． 故答案为：6，4或5，5． 【分析】此题分为两种情况：6是等腰三角形的腰或6是等腰三角形的底边．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 11．【答案】40° 【解析】【解答】解： 只能为 的顶角， 为等腰三角形， 故答案为： 【分析】由条件可判断 为顶角，再利用三角形内角和定理求得 12．【答案】50°，80°或65°，65° 【解析】【解答】解：当50°的角为底角时，只一个底角也为50°，顶角=180°﹣2×50×=80°； 当50°的角为顶角时，底角=（180°﹣50°）÷2=65°． 故答案为：50°，80°或65°，65°. 【分析】考虑50°为底角和顶角的两种情况，计算出其他两个内角。 13．【答案】30°或75°或120° 14．【答案】C 15．【答案】B 16．【答案】D 【解析】【解答】解：①、中作 的角平分线即可； ③、过A点作BC的垂线即可； ④、中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可； 只有②选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形. 故答案为：D. 【分析】根据等腰三角形的判定对①②③④个选项逐一分析，只有②不能被一条直线分成两个小等腰三角形. 17．【答案】 【解析】【解答】解：如图，连接CD， 设AE=x米， ∵坡角 米， 米， 米， ∵正方形DEFH的边长为2米，即DE=2米， 解得： 米. 故答案为： 【分析】根据已知得出设AE=x米，可得EC=(12-x)米，利用勾股定理得出 即可求出x的值. 18．【答案】15 【解析】【解答】解：AD为16， AB为20， BD为12，根据勾股定理 所以 即AC=AD+DC， ∴A、D、C三个点在一条直线上， 可知 又∵ 故答案为：15. 【分析】根据勾股定理可以解决问题，AD为16，AB为20，BD为12，所以 ，根据勾股定理计算BC. 19．【答案】证明：过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F，如图， 在△MOE和△NOD中，OM＝ON，∠MOE＝∠NOD，OE＝OD， ∴△MOE≌△NOD（SAS)， ∴S△MOE＝S△NOD， ∴S△MOE－S四边形ODCE＝S△NOD－S四边形ODCE， ∴S△MDC＝S△NEC. ∵OM＝ON，OD＝OE，∴MD＝NE. ∴CG＝CF.又 ∵CG⊥OA，CF⊥OB， ∴点C在∠AOB的平分线上 20．【答案】（1）证明：∵如图1， OM是∠AOB的平分线， CD⊥OA于D， CE⊥OB于E， ∴CD=CE. （2）解：上述结论仍然成立.理由如下： 过点C分别作CK⊥OA，垂足为K，CH⊥OB，垂足为H. ∵OM为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB， ∴CK=CH， ∠CKD=∠CHE=90°， 又∵∠1与∠2都为旋转角， ∴∠1=∠2， 在△CKD与△CHE中， ∴△CKD≌△CHE(ASA)， ∴CD=CE. 【解析】【分析】(1)CD与OA垂直时，根据角平分线的性质知CD=CE. (2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得△CKD≌△CHE，进而可得出证明. 学科网（北京）股份有限公司 $