第一章 三角形的证明及其应用 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

拔尖特训·数学（北师版）八年级下 第一章整合拔尖 知识体系构建 三角形的内角与外角 三角形三个内角的和等于180 三角形 三 角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 多边形的内角和与外角和n边形的内角和等于(n-2)180 多边形的外角和等于360 等腰三角形性质等边对等角 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合 定理。等角对等边 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、己有定理或 反证法。已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立 一角形的证明及其应用 等边三角形 性质。等边三角形的三边相等，三个角相等 定理三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 直角三角形 定理。斜边的一半 勾股定理及其逆定理 逆命题与逆定理 原命题为真命题，其逆命题不一定为真命题 任何命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理 三角形全等的判定，SSS,SAS,ASA,AAS,HL(HL只用于直角三角形) 线段的垂直平分线 线段垂直平分线的性质定理、判定定理 三角形三边垂直平分线的性质定理 角平分线 角平分线的性质定理、判定定理 三角形的角平分线的性质定理 91高频考点突破 考点一多边形的内角与外角 (2)嘉嘉猜想这个正多边形的内角和超过 典例1(2025·新乡期末)若一个正多边形的 1000°.请判断嘉嘉的猜想是否正确，并说明 内角和比另一个多边形的外角和多360°，则这 理由。 个正多边形有 条对角线， [变式]已知某个正多边形的一个外角的度数是 与它相邻的内角度数的子 (1)求这个外角的度数. 28 第一章三角形的证明及其应用 考点二等腰三角形与等边三角形 (2)如图②，当点B,C在DE的两侧，且AD= 典例2(2025·聊城高唐期末)如图，在△ABC CE时，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若 中，D是边AB上的一个动点，过点D作DE∥ 垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由， BC,交AC于点E,且DE平分∠ADC,在边 BC上取点F,使∠DFC=45°. (1)求证：△BCD为等腰三角形 (2)若BC=12,BF=2,求DF的长. ② (典例3图) 人45 (典例2图) [变式]如图，AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°， D是EF上一点，AE⊥EF于点E,CF⊥EF于 点F,AE=CF,连接BD.求证：Rt△ADE≌ [变式]如图，△ABC,△CDE都是等边三角形， Rt△CDF. AD,BE相交于点O,M,N分别是线段AD, BE的中点，连接CM,MN,NC (1)求证：AD=BE. (2)求∠DOE的度数. (3)求证：△MNC是等边三角形， 考点四●线段垂直平分线 典例4如图，AD为线段BC的垂直平分线，在 线段AD上取一点E,使得∠ACE=20°，在线段 CE上取一点F,使得∠FBC=10°，连接BE, AF.若∠ABC=50°，求证：BE⊥AF 考点三直角三角形全等的判定 典例3在△ABC中，AB=AC,DE是过点A (典例4图) 的直线，BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E. (1)如图①，当点B,C在DE的同侧，且AD CE时，求证：AB⊥AC. 29 拔尖特训·数学（北师版）八年级下 [变式]如图，在△ABC中，DE,DF分别为BC,(2)若AB=6,AD=5,CD=7,且S△AC=12, AB的垂直平分线，连接AD,CD 求△ABE的面积. (1)若∠ABC=50°，求∠ACD的度数 (2)判断∠ABC与∠ACD之间的数量关系，并 说明理由. (典例5图) [变式](2025·淮北期末)如图，在△ABC中，O 为∠ABC,∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB, OE⊥AC,OF⊥BC,垂足分别为D,E,F,连 接OA. (1)求证：AO平分∠BAC. (2)若△ABC的周长是30，△ABC的面积为 45,求OF的长. 考点五角平分线 典例5(2025·咸阳永寿段考)如图，在△ABC 中，点D在边BC上，∠BAD=40°，∠ABC的 平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,交 BA的延长线于点F,且∠AEF=20°，连接DE. (1)求证：DE平分∠ADC. 综合素能提升 1.如图，足球的表面由正五边形和正六边形组 中，正确的是 成.在折叠前的平面上，拼接点O处的缝隙 A.①③ B.①② ∠AOB的度数为 ( C.①②③ D.②③ A.10° B.12° C.14° D.16° 3.如图，在△ABC中，∠B=60°，BC=18,点D 在边AB上，CA=CD,BD=7,则AD的长 是 (第1题) (第2题) 2.如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直 平分线EF交BC的延长线于点F,连接 (第3题) (第4题) AF.有下列结论：①AF=DF;②S△ABD: 4.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6, S△AcD=AB·AC;③∠BAF=∠ACF.其 AD平分∠BAC,交BC于点D,分别以点 30 第一章三角形的证明及其应用 A,C为圆心、大于2AC的长为半径作弧， 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上 运动，点D在AB上（不与点A,B重合）， 两弧相交于点M,N,作直线MN,交AD于 PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线 点P,则DP的长为 交BC于点E,交BD于点F,连接DE 5.图①是一个水桶模型示意图，当∠B≥140° (1)判断DE与DP的位置关系，并说明 时，水桶提手才能从图①的位置转到图②的 理由. 位置，这样的水桶提手才合格.现用金属材料 (2)若AC=6,BC=8,PA=2,求线段DE 做了一个水桶提手（如图③），∠C=∠D 的长 130°，∠B=∠E,∠A=∠F=90°，则这个水 桶提手 (填“合格”或“不合格”). C (第7题) ① ② (第5题) 6.如图，在△ABC中，AB=AC,D是 边AB上一点，∠BCD=∠A (1)求证：CD=CB. 8.(2025·合肥庐江期末)如图，在 (2)过点B作BE⊥AC,垂足为E,BE与 △ABC中，∠ABC=∠ACB,BDL CD相交于点F. AC于点D,E是BC上一点，连接 ①求证：∠BCD=2∠CBE, AE,与BD相交于点O,连接OC,DE,且 ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的 OB=OC. 度数 (1)求证：AE垂直平分BC (2)当∠OED=∠ODE时，求证：CO平 分∠ACB. (3)若∠BAC=60°，求证：△CDE是等边三 角形 (第6题) (第8题) 31:'S△AB+S△B+S△AC=S△ABC, 1 1 1 .2xX10+2x×8+2x×6 名×6×8，解得x=2.1G=2 Saw号×2X10=i 7.(1)∠ACB=100, ∴.∠ACD=180°-∠ACB=80. EH⊥BD,∠CEH=50°， ..∠DCE=90°-∠CEH=40°. ∴.∠ACE=∠ACD-∠DCE=40. (2)如图，过点E作EM⊥BF于点 M,作EN⊥AC于点N. :BE平分∠ABC,EM⊥BF, EH⊥BD, ∴.EM=EH. 由(1)可知，∠ACE=∠DCE=40°， 即CE平分∠ACD :EN⊥AC,EH⊥BD, .EN=EH. ∴.EM=EN. ·EM⊥BF,EN⊥AC, .AE平分∠CAF. (3)由(2)，得EM=EH=EN ·S△AD=24, ∴.S△AE十S△E=24. 合AC·EN+CD·EH=24, 即2EM·(AC+CD)=24. ,AC+CD=16, .EM=3. AB=10, :△ABE的面积为号AB·EM= 1 2 ×10×3=15. (第7题) 第一章整合拔尖 [高频考点突破] 典例19解析：设这个正多边形的 边数是n,则其内角和为(n一2)× 180°.根据题意，得360°+360°=(n 2)×180°，解得n=6..这个正多边 形为正六边形.，正六边形对角线的 条数为-9这个正多边形有 9条对角线. [变式](1)设与这个外角相邻的内 角度数为x°，则这个外角的度数为 1 32 根据题意，得x+3x=180,解得 x=135. -1×135=45. 3 .这个外角的度数为45° (2)正确， 理由：正多边形的外角和为360°， .这个正多边形的边数为360°÷ 45°=8. .这个正多边形的内角和为(8 2)×180°=1080°. .1080>1000°， 嘉嘉的猜想正确。 典例2(1).·DE平分∠ADC, .∠ADE=∠CDE DE//BC, ∴.∠CDE=∠DCF,∠ADE=∠B. .∠DCB=∠B '.△BCD为等腰三角形 (2)过点D作DM⊥BC于点M. ,△BCD为等腰三角形， 1 ·BM=MC=2BC=6. ∴.FM=BM-BF=4. ,∠DFM=45, .∴.∠DFM=∠MDF=45. .'.DM=MF=4. ∴.DF=√MF2+DM=42. [变式](1)△ABC,△CDE都 是等边三角形， ∴.AC=BC,CD=CE,∠ACB= ∠DCE=60° ∴.∠ACB+∠BCD=∠DCE+ ∠BCD,即∠ACD=∠BCE. 14 在△ACD和△BCE中， (AC=BC, X∠ACD=∠BCE, CD=CE, .∴.△ACD≌△BCE. ∴.AD=BE. (2)△ACD≌△BCE, .∠ADC=∠BEC. :△CDE是等边三角形， ∴.∠CED=∠CDE=60°. '.∠ADE+∠BED=∠ADC+ ∠CDE+∠BED=∠BEC+6O°+ ∠BED=∠CED+60°=60°+ 60°=120 ∴.∠DOE=180°-（∠ADE+ ∠BED)=180°-120°=60. (3).△ACD2△BCE, .∠CAD=∠CBE. :M,N分别是线段AD,BE的 中点， AM=方AD,BN=2E, .AD=BE, .AM=BN. 在△ACM和△BCN中， (AC=BC, ∠CAM=∠CBN, AM=BN, '.△ACM≌2△BCN」 ∴.CM=CN,∠ACM=∠BCN. 又∠ACB=60, ∴.∠ACM+∠BCM=60°. ∴.∠BCN+∠BCM=60°，即 ∠MCN=60 又.CM=CN, ∴.△MNC是等边三角形 典例3(I),BD⊥DE,CE⊥DE, ∴.∠ADB=∠CEA=90° 在Rt△ABD和Rt△CAE中， (AB=CA, AD-CE. ∴.Rt△ABD≌Rt△CAE ∴.∠DBA=∠EAC. ∠DAB+∠DBA=9O°， .∠DAB+∠EAC=90°. ∴.∠BAC=180°-（∠DAB+ ∠EAC)=90° ∴.AB⊥AC (2)AB⊥AC. 同(1)，可得Rt△ABD≌Rt△CAE. .∠DAB=∠ECA. .∠CAE+∠ECA=90°， .∠CAE+∠DAB=90°，即 ∠BAC=90. .AB⊥AC. [变式]在Rt△ABD和Rt△CBD中， BD=BD AB=CB, .'.Rt△ABD≌Rt△CBD .AD=CD. :AE⊥EF,CF⊥EF, ∴.∠E=∠F=90. 在Rt△ADE和Rt△CDF中， (AD-CD. AE=CF, ∴.Rt△ADE≌Rt△CDF. 典例4，AD为线段BC的垂直平 分线， ,.AB=AC,EB=EC,∠ADB= 90°. .∠ABC=∠ACB=50°， ∠EBC=∠ECB. ∴.∠ABE=∠ACE. ∠ACE=20, ∴.∠ABE=20. ∠FBC=10, ∴.∠FBE=∠ABC-∠ABE ∠FBC=50°-20°-10°=20. .∠ABE=∠FBE,∠EBC ∠FBE+∠FBC=20°+10°=30°， ∠ABF=∠ABE+∠FBE=40°. .∠FCB=30. .∠BAE=90°-∠ABD=40°， ∠BFE=∠FBC+∠FCB=1O°十 30°=40°， '.∠BAE=∠BFE 在△ABE和△FBE中， ∠ABE=∠FBE, ∠BAE=∠BFE, BE=BE. '.△ABE≌△FBE .BA=BE ∴.△BAF是等腰三角形. :∠ABE=∠FBE, ∴.BE是∠ABF的平分线， .BE⊥AF. [变式](1)连接BD并延长，交AC 于点H. DE,DF分别为BC,AB的垂直平 分线， .DA=DB,DC=DB ∴.∠DAB=∠DBA,∠DCB= ∠DBC .'.∠ADH=∠DAB+∠DBA= 2∠DBA,∠CDH=∠DCB+∠DBC= 2∠DBC ∴.∠ADC=2(∠DBA+∠DBC)= 2∠ABC=100, DA=DB,DC=DB, .'DA=DC. ·∠ACD=∠CAD=2X(180°- 100°)=40°. (2)∠ABC+∠ACD=90°. 理由：∠ACD+∠CAD+ ∠AD℃=180°， ∴.易得2∠ACD+2∠ABC=180° .∴.∠ABC+∠ACD=90° 典例5(1)如图，过点E作EG⊥ AD于点G,EH⊥BC于点H. :BE是∠ABC的平分线，EF⊥ AB,EH⊥BC, .EF=EH」 :∠AEF=20°，∠F=90, ∴.∠FAE=90°-20°=70°. ∠BAD=40°， .∠GAE=180°-∠FAE ∠BAD=70°. ∴.∠GAE=∠FAE. ∴.AE是∠FAG的平分线. 又.EG⊥AD,EF⊥AB, 15 .'EF=EG. .EG=EH. .·EG⊥AD,EH⊥BC, ∴.DE平分∠ADC. (2)S△An=12, CDEH+AD12 .AD=5,CD=7,EH=EG, 号×7G+号×5BG=12 .∴.EH=EG=2. .EF=EH=2. 六.S△E=2AB·EF=2X6X 2=6. D H (典例5图) [变式](1)，O为∠ABC的平分线， OD⊥AB,OF⊥BC, .OD=OF ·CO为∠ACB的平分线，OE⊥ AC,OF⊥BC, ..OE=OF. .OD=OE. 又.OD⊥AB,OE⊥AC, ,∴.AO平分∠BAC (2)由(1)，知OD=OE=OF, ∴.S△AWc=S△AOw+S△c+S△A0c= 2AB·0D+2BC.0F+2AC: OE=2OF·(AB+BC+AC). ·S△Ax=45,AB+BC+AC=30, .45=20F×30. ∴.OF=3. [综合素能提升] 1.B 2.C解析：，EF垂直平分AD, ∴.AF=DF.故①正确.·AD是 △ABC的角平分线，.∠BAD= ∠CAD,点D到AB,AC的距离相 等.S△AD:S△AD=AB:AC.故 ②正确.，FA=FD,∴.∠FAD= ∠FDA.:∠BAF=∠BAD+ ∠FAD,∠ACF=∠FDA+∠CAD, ∠BAD=∠CAD,·∴.∠BAF= ∠ACF.故③正确.综上所述，正确的 是①②③. 3.4解析：过点C作CE⊥AD,垂足 为E..∠CEB=90°.∠B=60°， ∴.∠BCE=90°-∠B=30°.BC= 18BE=7BC=9.BD=7, ∴.DE=BE-BD=2.CA=CD, CE⊥AD,.AD=2DE=4. 4.名解析：连接PC.由作图，可得 MN垂直平分AC..AP=PC. AB=AC=5,BC=6,AD平分 ∠BAC,.BD=CD=3,AD⊥BC. 在Rt△ABD中，AD= √AB2-BD2=√52-32=4.设 DP=x,则AP=PC=4-x.在 Rt△PDC中，DP2+CD2=PC2,即 x2+32=(4-x),解得x=8 7 1DP的长为名 5.合格解析：，多边形ABCDEF 是六边形，.其内角和为180°×(6 2)=720°.：∠C=∠D=130°， ∠B=∠E,∠A=∠F=90°， .2∠B=720°-130°-130°-90° 90°=280°..∠B=140°..这个水 桶提手合格. 6.(1).AB=AC, .∠ABC=∠ACB. :∠BDC是△ADC的一个外角， .∠BDC=∠A+∠ACD. :∠ACB=∠BCD+∠ACD, ∠BCD=∠A, .∠BDC=∠ACB. ∴.∠ABC=∠BDC. .CD=CB. (2)①BE⊥AC, '.∠BEC=90°. ∴.∠CBE+∠ACB=90°. 设∠CBE=a,则∠ACB=90°-a. ∴.∠ACB=∠ABC=∠BDC= 90°-a .∠BCD=180°-∠BDC ∠ABC=180°-(90°-a)-(90°- a)=2a. .∠BCD=2∠CBE ②∠BFD是△CBF的一个外角 ∴.∠BFD=∠CBE+∠BCD=a+ 2a=3a. 分三种情况讨论： 当BD=BF时，∠BDC= ∠BFD=3a. '∠ACB=∠ABC=∠BDC= 90°-a, .'.90°-a=3a. .'.a=22.5. ∴.∠A=∠BCD=2a=45°. 当DB=DF时，∠DBE= ∠BFD=3a. ,∠DBE=∠ABC-∠CBE=90° a-a=90°-2a, .90°-2a=3a. .a=18. ∴.∠A=∠BCD=2a=36°. 当FB=FD时，∠DBE=∠BDF. :∠BDF=∠ABC>∠DBF, ∴.此种情况不存在。 综上所述，∠A的度数为45或36 7.(1)DE⊥DP. 理由：PD=PA, ∴.∠A=∠PDA. EF是BD的垂直平分线， .EB=ED. ∴.∠B=∠EDB. ∠C=90, .∠A+∠B=90°. .∴.∠PDA+∠EDB=90°. ∴.∠PDE=180°-90°=90°. ∴.DE⊥DP (2)如图，连接PE, 设DE=x,则EB=ED=x,CE= 8-x. AC=6,PA=2, ∴PC=4,PD=2. 16 .∠C=∠PDE=90° .PC2+CE2=PE2=PD2+DE2. .42+（8-x)2=22十x2,解得 x=4.75. .DE=4.75. D B (第7题) 8.(1):∠ABC=∠ACB, ..AB=AC. .'OB=OC. ∴.点A,O在BC的垂直平分线上 .AE垂直平分BC. (2).∠OED=∠ODE ∴.OD=OE. 又BD⊥AC,AE⊥BC,即OD⊥ AC,OE⊥BC, '.CO平分∠ACB. (3)由(1)，知AB=AC ∠BAC=60°， ∴.△ABC是等边三角形. ∴.AB=BC=AC,∠ACB=60° 由(1)，知AE垂直平分BC, BC-BC. .BD⊥AC, &cD=子AC .EC=CD. ∠DCE=60, '.△CDE是等边三角形 第二章不等式与不等式组 1不等式及其基本性质 第1课时不等式 1.A2.A3.≤54.答案不唯 一，如欣欣与好朋友共x人，一同去 观看电影，该电影的票价为30元/人， 携带100元购票后仍有剩余 5.(1)6x<3. (2)2x-8<0. (3)3y+610. (4)(a+b)2≥0.