第一章 问题解决策略：反思-【教材笔记】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

问题解决策略：反思 问题 证明：等腰三角形两腰上的中线相等。 已知：如图1-36，在△ABC中，AB=AC,BD和 CE分别是边AC,AB上的中线。 D 求证：BD=CE。 理解问题 已知条件是什么？目标是什么？将条件标注到图 图1-36 形中，你发现了哪些相等关系？ →AE=BE=AD=CD。 拟订计划 (1)证明两条线段相等有哪些常用的方法？ (2)以BD为边的三角形有哪些？以CE为边的三角形呢？其中哪些三角 形有可能全等？ y△ABD,△CBD。 y△ACE,△BCE。 (3)找出两个有可能全等的三角形，要证明这两个三角形全等，已知哪些 边或角相等？还需要证明哪些边或角相等？ (4)整理你的思路，并与同伴进行交流。 实施计划 按照下述思路写出证明过程，并说明每一步的理由。 （1)通过△ABD≌△ACE,证明BD=CE。 (2)通过△CBD≌△BCE,证明BD=CE。 回顾反思 (1)比较两种证明方法，你更喜欢哪种方法？说说你的理由。 (2)根据题目的条件，你还能得到哪些结论？与同伴进行交流。 (3)适当改变题目的条件，你还能得到哪些结论？ 40 教材笔记数学八年级下册BS (4)本题证明了等腰三角形两腰上的中线相等。反过来，如果一个三角形 两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？你能证明自己结论的正 确性吗？ )是。 (5)你认为还可以研究哪些问题？与同伴进行交流。 解决问题之后，还可以继续进行思考与尝试：①条件不变，尝试寻找更多 可能成立的结论；②适当改变条件（如将条件改成更一般的条件、更特殊的条 件或者类似的条件)，探究结论是否仍然成立；③研究是否可以将一些条件和 结论互换。 请你解答下列问题。 1.（1)证明：全等三角形对应边上的中线相等；略。 (2)参考上述命题提出几个新的命题，并说明它们与原来命题的联系与 区别。 命题1：全等三角形对应角的平分线相等。 联系：均研究全等三角形对应线段的性质；区别：线段类型从“中线”改为“角 平分线”。 命题2：全等三角形对应边上的高相等。 联系：均研究全等三角形对应线段的性质；区别：线段类型从“中线”改为“高”。 2.（1)将0~9这10个数字填写到图1-37中10个圆圈内，使得相邻两数 差的绝对值的和最大；如图1-37所示。0,9,1,8,2,7,3,6,4,5按顺时针 或逆时针排列均可。 (2)参考上述问题提出几个新的问题，并说明它们与原来问题的联系与 区别。 问题1：将0~9这10个数字填到图中， 使得相外两数差的绝对值的和最小。 联系：均研究相外两数差的绝对值的和； 区别：目标从“最大”改为“最小”。 问题2：将1~10这10个最字填到图中， 使得相外两数差的绝对值的和最大。 联系：问题类型相同；区别：裁字范围从 “0~9”改为“1~10”。 图1-37 第一章三角形的证明 41