2.1不等式及其基本性质-【导学练评】2025－2026学年北师大版数学八年级下册

2.1不等式及其基本性质-【导学练评】北师大版数学八年级下册 学习目标： 1.学生能准确理解和叙述不等式的三条基本内容，并能运用不等式的基本性质解不等式。 2.经历“观察--实验--猜想--探究过程培养学生归纳能力、类比能力，提升数感和符号意识。 3、在自我探究过程中培养学生严谨的科学态度、合作交流意识和辩证的思维。 学习重点： 不等式基本性质及其应用 学习难点： 灵活运用性质对不等式进行变形 1.什么是不等式？ 。 2.不等式的解和解集的关系如何？ 。 3.如何用数轴表示不等式的解集。 。 4.等式的基本性质是什么？ （1）等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，等式仍然成立。 用数学语言表示： 。 （2）等式的两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。 用数学语言表示： 。 一、合作交流、新知探究任务一：探究不等式性质1 如果在不等式的两边都加上或减去同一个整式，那么结果会怎样？举例试一试。如：3 < 7 加（减)正数：3+2__ 7+2； 3-5__ 7-5 加（减)负数：3+（-2)__ 7+（-2)； 3-（-5)__ 7-（-5) 你发现了什么？ 不等式的基本性质 1 ： 不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 若a>b ;那么a±c>b±c 若a<b ;那么a±c<b±c 1． 已知x﹥y，请用恰当的符号填空。 ⑴x – 6　 　y - 6 ⑵x-（-5) 　 　y-（-5) ⑶x-0 　 　y-0 ⑷x + 1　 　 y + 1 ⑸x +（- 2）　 　 y + （-2） 任务二：探究不等式性质2对于4<6，那么 （1）4×2 6×2 （3） 4×0 6×0 对比“不等式基本性质1”，你有什么想法？ 不等式的基本性质2 ： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 若a>b ;那么ac>bc （c>0); a÷c>b÷c （c>0) 若a<b ;那么ac<bc （c>0); a÷c<b÷c （c>0) 2．已知2<3，请用恰当的符号填空。 　 　 2×5　 　 3×5 2÷2　 　 3÷2 2÷5　 　 3÷5 任务三：探究不等式性质3对于8<12， -4>-6，那么 8×（-4)＿12×（-4) 8÷（-4)＿12÷（-4) （-4)×（-2)＿（-6)×（-2) （-4)÷（-2)＿（-6)÷（-2) 对比“不等式基本性质2”，你有什么想法？ 不等式的基本性质3： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 若a>b ;那么ac<bc（c<0);a÷c＜b÷c（c<0) 若a<b ;那么ac>bc（c<0);a÷c＞b÷c（c<0) 3．已知x﹥y，请用恰当的符号填空。 ⑴3x 　 　3y ⑵-2x 　 　-2y ⑶2x + 1　 　2y + 1 ⑷-4x + 2　 　-4y + 2 任务四： 性质拓展1、若a<b、b<c，则a和c有怎么的大小关系？ 2、若a>b、b>c，则a和c有怎么的大小关系？ 不等式的传递性： 若a<b ，b<c， 则a<c 若a>b ，b>c， 则a>c 4．练一练：选择适当的不等号填空： ⑴　若 a＞-b ，则 a + b 0；根据是　 　。 ⑵　若 -a＜b ，则 a 　 　 -b；根据是　 　。 ⑶　若 -a＞-b ，则 2-a 　 　2-b；根据是　 　。 ⑷ 若 a ＜b，且 b＜2a-1 ，则 a　 　2a-1.根据是　 　。 探究小结：不等式的基本性质：(1) 不等式的基本性质1 . (2) 不等式的基本性质2 . (3) 不等式的基本性质1 . (4) 不等式的传递性： . 例1 5．在上节课的问题中，我们猜想无论绳长l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 现在你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？ 例2 6．利用不等式的性质将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：并将不等式的解集用数轴表示出来 （1）x－5>‒1； （2）‒2x>3； 一、基础达标1： 7． 若 x<y，则 ax>ay．那么一定有 （　　）   A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a≤0 8． 若 a>b，则下列不等式成立的是（　　)    A．a−3<b−3 B．−2a>−2b C．< D． < 9．若 x<y，且 （m−2）x>（m−2）y，则 m 的取值范围是　 　 . 10． 如果 x<y，那么 +1 　 　+1． 11．如果 a<b，用“<”“>”或“=”填空： （1）a+3 　 　 b+3； （2）a−5 　 　 b−5； （3）−5a 　 　 −5b； （4）2a　 　 2b； （5）　 　 ； （6）　 　． 12．若 x>y，比较 −3x+5 与 −3y+5 的大小，并说明理由； 二、能力提升1： 13．下列说法不一定成立的是（　　） A．若a>b，则a+c>b+c B．若a+c>b+c，则a>b C．若a>b，则ac2>bc2 D．若ac2>bc2，则a>b 14．①若 a=0，b≠0，则方程 ax=b 无解；②若 a=0，b≠0，则不等式 ax>b 无解；③若 a≠0，则方程 ax=b 有唯一解 x= ；④若 a≠0，则不等式 ax>b 的解集为 x> ，则（　　)    A．①②③④都正确 B．①③正确，②④不正确 C．①③不正确，②④正确 D．①②③④都不正确 三、拓展迁移1： 15．甲商贩从一个农贸市场买西瓜，他上午买了 30 千克，价格为每千克 a 元，下午他又买了 20 千克价格为每千克 b 元后来他以每千克 元的价格把西瓜全部卖给了乙，结果发现赔了钱，这是因为（ ） A．a<b B．a>b C．a≥b D．a≤b 16．已知实数x、y满足3x+4y=1． （1）用含有x的式子表示y； （2）若实数y满足y>1，求x的取值范围． 不等式的基本性质： （1)不等式的两边都加上（或减去)同一个整式，不等号的方向不变； （2)不等式的两边都乘以（或除以)同一个正数，不等号的方向不变； （3)不等式的两边都乘以（或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 （4) 不等式的传递性：若a<b ，b<c，则a<c；若a>b ，b>c，则a>c 数学思想：类比、数形结合、模型思想 四、基础达标2： 17．若x>y，则下列不等式成立的是（　　) A．x+5>y+5 B．15x<15y C．−8x>−8y D．x−10>y+10 18．如果a>b，c<0，那么下列不等式成立的是（　　) A．a+c>b B．a+c>b−c C．ac−1>bc−1 D．a（c−1)<b（c−1) 19．下列式子变形正确的是（　　) A．由4+x=3，得x=3+4 B．由 x=0，得x=3 C．由−2x>4，得x>−2 D．由1+x>3，得x>3−1 20．已知a>b，下列结论：①a >ab；②a>b；③若b<0，则a+b<2b；④若b>0，则 < ，其中正确的个数是（　　) A．1 B．2 C．3 D．4 21．设a，b，c表示三种不同物体的质量，用天平秤两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排列正确的是（　　) A．c<b<a B．b<c<a C．c<a<b D．b<a<c 22．下列命题是假命题的有（　　) ①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形； ③面积相等的两个三角形全等 ④若a>b，则−2a+1<−2b+1； ⑤三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形。 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 五、能力提升2： 23．下列命题中：①若a>b，c≠0，则ac>bc；②若ab<0，则a<0，b>0；③若ac >bc ，则a>b；④若a<b<0，则 >1；⑤若 ，则a>b.正确的有个．（　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24． 若x+4y=1，则xy的最大值为 　 　． 六、拓展迁移2： 25．阅读下面的材料： 小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论： 若A−B>0，则A>B；若A−B=0，则A=B；若A−B<0，则A<B． 下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较与的大小． 解：∵3−（−)=−+=−>0， ∴ −3． 回答下面的问题： （1）请完成小明的解题过程； （2）试比较2（2a −ab+7)与−3a−2ab+7的大小（写出相应的解答过程)． 答案解析部分 1．【答案】>；>；>；>；> 【解析】【解答】解：（1）∵x>y， ∴x-6>y-6， 故答案为：>. (2)∵x>y， ∴x-(-5)>y-(-5)， 故答案为：>. (3)∵x>y， ∴x-0>y-0， 故答案为：>. (4)∵x>y， ∴x+1>y+1， 故答案为：>. (5)∵x>y， ∴x+(-2)>y+(-2）， 故答案为：>. 【分析】(1)根据不等式的基本性质：不等式两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号方向不改变，完成作答； (2)根据不等式的基本性质：不等式两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号方向不改变，完成作答； (3)根据不等式的基本性质：不等式两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号方向不改变，完成作答； (4)根据不等式的基本性质：不等式两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号方向不改变，完成作答； (5)根据不等式的基本性质：不等式两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号方向不改变 ，完成作答； 2．【答案】<；<；<；< 【解析】【解答】解：(1)∵2<3， ∴<， 故答案为：<. (1)∵2<3， ∴<， 故答案为：<. (1)∵2<3， ∴<， 故答案为：<. (1)∵2<3， ∴<， 故答案为：<. 【分析】(1)根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变，完成作答； (2)根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变，完成作答； (3)根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变，完成作答； (4)根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变，完成作答； 3．【答案】>；<；>；< 【解析】【解答】解：（1）∵x>y， ∴3x>3y， 故答案为：>. （1）∵x>y， ∴-2x<-2y， 故答案为：<. （1）∵x>y， ∴2x>2y， ∴2x+1>2y+1， 故答案为：>. （1）∵x>y， ∴-4x<-4y， ∴-4x+2<-4y+2， 故答案为：>. 【分析】（1）根据不等式基本性质2（不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不改变）完成作答； （2）根据不等式基本性质3（不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变）完成作答； （3）根据不等式基本性质2（不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不改变）及不等式基本性质1（不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变）完成作答； （4）根据不等式基本性质3（不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变）及不等式基本性质1（不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变）完成作答. 4．【答案】不等式基本性质1；>；不等式基本性质3；>；不等式基本性质1；<；不等式的传递性 【解析】【解答】解：（1）∵a>-b， ∴a+b>0(不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变)， 故答案为：不等式基本性质1. （2）∵-a<b， ∴a>-b(不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变)， 故答案为：>；不等式基本性质3. （3）∵-a>-b， ∴ -a+2>-b+2， (不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变)， 故答案为：>；不等式基本性质1. （4）∵ a ＜b，且 b＜2a-1 ， ∴a<2a-1(不等式的传递性)， 故答案为：<；不等式的传递性. 【分析】（1）根据不等式基本性质1（不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变）完成作答； （2）根据不等式基本性质3（不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变）完成作答； （3）根据不等式基本性质1（不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变）完成作答； （4）根据不等式的传递性完成作答. 5．【答案】解： ∴圆的面积总大于正方形的面积 【解析】【分析】根据分母的基本性质及不等式的基本性质对“ 圆的面积总大于正方形的面积 ”进行解释. 6．【答案】（1）解：根据不等式的性质1两边都加上5， 得： x > ‒1+5 即x >4； （2）解：根据不等式的性质3两边都除以‒2， 得：x < 3÷（‒2） 即x <- 【解析】【分析】（1）根据不等式的基本性质1解答即可； （2）根据不等式基本性质3解答即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：当a<0时， ∵x<y， ∴ax>ay， 故答案为：C. 【分析】根据不等式基本性质3（不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变），完成作答. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：∵ a>b， ∴ a−3<b−3（不等式基本性质1） −2a>−2b（不等式基本性质3） < （不等式基本性质2） ∴A、B、C选项正确， ∵<0， ∴>， ∴D选项错误， 故答案为：D. 【分析】根据不等式的基本性质对各选项注意作出判断即可. 9．【答案】m＜2 【解析】【解答】解：∵ x<y，且 （m−2）x>（m−2）y， ∴m-2<0， ∴m<2， 故答案为：m＜2. 【分析】根据不等式基本性质（不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变）完成作答. 10．【答案】＜ 【解析】【解答】解：∵ x<y， ∴， ∴， 故答案为：<. 【分析】根据不等式基本性质2（不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变）及不等式基本性质1（不等式两边同时加上或减去同一个正数，不等号方向不变）完成作答. 11．【答案】（1）＜ （2）＜ （3）＞ （4）＜ （5）＜ （6）＞ 【解析】【解答】解：（1）∵a<b， ∴a+3<b+3， 故答案为：<. （2）∵a<b， ∴a-5<b-5， 故答案为：<. （3）∵a<b， ∴-5a>-5b， 故答案为：>. （4）∵a<b， ∴2a<2b， 故答案为：<. （5）∵a<b， ∴， 故答案为：<. （6）∵a<b， ∴， 故答案为：>. 【分析】(1)根据不等式基本性质1（不等式两边同时加上3，不等号方向不变），完成作答； （2）根据不等式基本性质1（不等式两边同时减去5，不等号方向不变），完成作答； （3）根据不等式基本性质3（不等式两边同时乘以-5，不等号方向改变），完成作答； （4）根据不等式基本性质2（不等式两边同时乘以2，不等号方向不变），完成作答； （5）根据不等式基本性质2（不等式两边同时除以3，不等号方向不变），完成作答； （6）根据不等式基本性质3（不等式两边同时除以-7，不等号方向改变），完成作答； 12．【答案】解：∵x>y， ∴ 不等式两边同时乘以 −3 得：（不等式的基本性质 3） −3x<−3y， ∴ 不等式两边同时加上 5 得：（不等式的基本性质 1） 5−3x<5−3y 【解析】【分析】根据不等式基本性质3得 −3x<−3y，根据不等式基本性质1得5−3x<5−3y. 13．【答案】C 【解析】【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，故A不符合题意； B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，故B不符合题意； C、当c=0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，故C符合题意； D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，故D不符合题意。 故应选：C． 【分析】根据不等式的性质：在不等式的两边都除以同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边都乘以同一个正数，不等号方向不变 ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都除以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号方向不变；就可以一一判断。 14．【答案】B 【解析】【解答】解： 若 a=0，b≠0，则ax=0，与b≠0矛盾，故方程 ax=b 无解，即 ① 正确； 若 a=0，b≠0，则 ax=0，当b<0时， 不等式 ax>b 解集为x为任意实数，即 ② 不正确； 若 a≠0，解方程 ax=b 得 x= ，即 ③正确 ； 若 a≠0，当a>0时，不等式 ax>b 的解集为 x> ；当a<0时，则不等式 ax>b 的解集 x< ，即 ④不正确 . 故答案为：B. 【分析】根据不等式和等式的基本性质对各说法逐一判断即可. 15．【答案】B 【解析】【解答】解：甲商贩的进货成本为：30a+20b，销售额为50×=25a+25b， 据题意知：30a+20b-（25a+25b）<0， 即a<b. 故答案为：B. 【分析】根据题意用代数式表示出甲商贩的进货成本及销售额，再根据题意列不等式化简即可. 16．【答案】（1）解：3x+4y=1， 4y=−3x+1， （2）解：根据题意得 ， 解得x<−1． 【解析】【分析】（1）根据等式的基本性质用 含有x的式子表示y ； （2）根据题意列出不等式求解即可. 17．【答案】A 【解析】【解答】解：∵ x>y ， 不等式两边同时加上5，得 x+5>y+5 ， 不等式两边同时乘以15，得15x>15y， 不等式两边同时乘以(-8)，得-8x<-8y， ∴A选项正确，B、C选项错误，D选项无法确定. 故答案为：A. 【分析】根据不等式的基本性质对各选项逐一判断即可. 18．【答案】D 【解析】【解答】解：∵ c<0， ∴c-1<0， ∵ a>b， ∴ a（c−1)<b（c−1) ， 故答案为：D. 【分析】根据表达式的性质（不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变）作答. 19．【答案】D 【解析】【解答】解：由 4+x=3，两边同时减4，得x=3-4，故A选项错误； 由 x=0，两边同时乘以3，得 x=0，故B选项错误； 由−2x>4，两边同时除以-2，得 x<−2，故C选项错误； 由1+x>3，两边同时减1，得 x>3−1，故D选项正确. 故答案为：D. 【分析】根据等式的基本性质对各选项逐一作出判断即可. 20．【答案】A 【解析】【解答】解：∵ a>b， ∴当a=0时， a =ab，故 ①不正确； 当a=0，b<0时， a<b，故 ② 不正确； 若b<0，两边同时加上b，则a+b<2b，故 ③ 不正确； 若a>b>0， 则 < ，故 ④ 正确. 故答案为：A. 【分析】根据不等式的基本性质，结合“赋值”思想，对各结论逐一作出判断. 21．【答案】A 【解析】【解答】解：根图知，3c=b+c，a>b， ∴b=2c，即 b>c， ∴ c<b<a， 故答案为：A. 【分析】根据等式及不等式的基本性质对a、b、c的大小作出判断. 22．【答案】B 【解析】【解答】解： 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 ，是等边三角形的判定定理，故 ① 正确； ∵12+32=10=， ∴ 三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形，故②正确； 根据“同底等高”或“等底等高”思想知， 面积相等的两个三角形不一定全等，故 ③ 不正确； 若a>b，两边同时乘以-2，得-2a<-2b， 两边同时加1，得 −2a+1<−2b+1，故 ④ 正确； 令三角形三个角分别为3x、4x、5x，则3x+4x+5x=180°，解得x=15°， 故三角形三个角分别为45°、60°，75°，即该三角形不是直角三角形，故 ⑤ 不正确. 因此，假命题有③、⑤. 故答案为：B. 【分析】根据等边三角形判定定理知①正确，根据勾股定理逆定理知②正确，根据全等三角形的判定定理知③不正确，根据不等式的基本性质知④ 正确，根据三角形内角和定理知⑤不正确. 23．【答案】C 【解析】【解答】解： 若a>b，c<0，两边同时乘以c，则ac<bc，故 ① 不正确； 若ab<0， 则a<0，b>0 或a>0，b<0，故 ② 不正确； 若ac >bc ，c≠0，两边同时除以c2，则a>b，故 ③ 正确； 若a<b<0， 两边同时除以负数b，则>1，故 ④ 正确； 若 ， c≠0，两边同时乘以c2，则a>b，故 ⑤ 正确. 因此，正确的命题有③ 、④、 ⑤ . 故答案为：C. 【分析】根据不等式的基本性质对各命题逐一作出判断. 24．【答案】 【解析】【解答】解：∵， 又 ， ， ∴， 的最小值是， 故答案为： . 【分析】根据“（a-b）2=（a+b）2-4ab”及偶数次幂的非负性确定xy的最值. 25．【答案】（1）解：== ∴ （2）解：2（2a−ab+7)−（−3a−2ab+7) =4a−2ab+14+3a+2ab−7 =7a+7， ∵a+1>0， ∴7a+7>0． ∴2（2a−ab+7)−（−3a−2ab+7)>0， ∴2（2a−ab+7)>−3a−2ab+7 【解析】【分析】（1）根据“ 若A−B>0，则A>B ”对与作差并化简比较大小； （2）根据“ 若A−B>0，则A>B ”对 2（2a −ab+7)与−3a−2ab+7 作差并化简比较大小. 学科网（北京）股份有限公司 $