专题08分式复习讲义(27大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

该初中数学分式期中复习讲义通过表格对比知识、能力、应试目标，以知识点框架系统梳理分式概念、性质、运算及方程应用，突出分式有意义条件、验根关键步骤和实际问题等量关系等重难点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于27类分层题型设计，从基础判断到综合应用，如分式方程行程问题典例结合跟踪专练，培养运算能力与模型意识。每个知识点配易错提醒，助力不同学生掌握方法，教师可据此实施精准复习教学。

专题08分式期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透分式定义、有意义 / 值为 0 的条件，辨清分式与整式 2.熟记分式基本性质，会约分、通分，掌握最简分式 / 公分母求法 3.熟练分式加减乘除、乘方运算法则，明确混合运算顺序 4.理解分式方程概念，掌握解法，牢记验根关键步骤 5.会用分式方程解决实际应用问题，找准等量关系 1.吃透分式定义、有意义 / 值为 0 的条件，辨清分式与整式 2.熟记分式基本性质，会约分、通分，掌握最简分式 / 公分母求法 3.熟练分式加减乘除、乘方运算法则，明确混合运算顺序 4.理解分式方程概念，掌握解法，牢记验根关键步骤 5.会用分式方程解决实际应用问题，找准等量关系 1.基础选择 / 填空秒解，概念、简单运算不丢分 2.分式化简、混合运算步骤规范，计算准确率拉满 3.分式方程求解 + 验根一步到位，规避格式、漏验根失分 4.轻松搞定分式方程实际应用题，找准等量关系拿下中档分值 题型01.分式的判断 题型02.分规律探究 题型03.按要求构造分式 题型04.分式的求值 题型05.分式有无意义与值为零综合 题型06.分式值为正负及整数是未知数求解 题型07.分式变形的判断与条件 题型08 .分式变形与系数标准化. 题型09.分式值变化判断 题型10.约分与最简分式 题型11.通分与最简公分母 题型12.分式的加减 题型13.分式加减混合运算 题型14.分式加减的实际应用 题型15.分式乘除运算 题型16.分式乘方及混合运算 题型17.分式加减乘除混合运算 题型18.分式化简与最值 题型19.分式方程基础 题型20.由分式方程解的情况求值 题型21.分式方程无解问题 题型22.列分式方程 题型23.分式方程的行程问题 题型24.分式方程的工程问题 题型25.分式方程的经济问题 题型26.分式方程的和差倍分问题 题型27.分式方程的其他实际问题 解答题11题 知识点01:分式的概念 1.定义：形如，其中A、B为整式，且 **B中含有字母 **。 2.有意义的条件：B0 3.值为 0 的条件：A=0 且 B0（必考） 4.整式与分式统称有理式。 知识点02:分式的基本性质（本章核心） ，（C是不等于 0 的整式） 1.符号法则 =−。 2. 分式的变号（分子、分母、分式本身，改变两个符号不变） 知识点03:分式的约分与最简分式 1. 约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分。 2. 公因式找法 (1)系数：最大公约数 (2)字母：相同字母最低次幂 (3)多项式：先因式分解，再找公因式 3. 最简分式 分子与分母没有公因式（互质）的分式。⚠️ 计算结果必须化为最简分式。 知识点04:分式的通分 1. 通分定义 把几个异分母分式化成同分母分式，叫做通分。 2. 最简公分母（LCD）找法 (1)系数：各分母系数的最小公倍数 (2)字母：所有出现字母的最高次幂 (3)多项式：先因式分解，再取所有因式最高次幂 知识点05:分式的乘除与乘方 1.乘法：（b0，d0） 2.除法：（b0，c0，d0）（除以一个分式 = 乘它的倒数） 3.乘方:()n（b0，n为正整数） 运算顺序：先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号。 知识点06:分式的加减 同分母分式加减法则：±（c0） 异分母分式加减法则：±（b0，d0） 知识点07:分式方程（必考大题） (1)定义：分母中含有未知数的方程。 (2)解法步骤： ① 找最简公分母 ② 去分母化为整式方程 ③ 解整式方程 ④ 检验！！（必须写） 代入最简公分母，≠0 → 是原方程解 =0 → 增根，无解(若所有解都是增根，则原方程无解) (3)增根：使最简公分母 = 0 的根，不是原方程的解。 知识点08.分式方程实际应用 一.行程问题 基本公式： 路程 = 速度 × 时间 s=vt 变形：v=​，t=. 常见等量关系： 1 顺流速度 = 静水速度 + 水流速度 2 逆流速度 = 静水速度 - 水流速度 3 不同方式行驶同一段路程，时间差相等 二、工程问题 基本公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 W=et 变形：e=​，t=​ 常见等量关系： 1 总工作量通常设为 1 2 各部分工作量之和 = 总工作量 3 合作效率 = 各单独效率之和 三、经济问题 核心公式： 利润 = 售价 - 成本 利润率 = ×100% 总价 = 单价 × 数量 常见等量关系：① 价格变化前后，总利润不变② 销量与单价成反比变化时，总销售额不变 四、和差倍分问题 常见等量关系： 1 A 是 B 的 n 倍 → A=nB 2 A 比 B 多 / 少 m → A=B±m 3 A 与 B 的比为 a:b → = 题型01.分式的判断 【典例】下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解： 、中分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式，不符合题意； 、中分母为，是常数，不是字母，是整式，不是分式，不符合题意； 、中分母为，是含有字母的整式，符合分式的定义，是分式，符合题意； 、是整式，不属于分式，不符合题意． 【跟踪专练1】下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 【答案】 【分析】分式的定义为：若，表示两个整式，，且中含有字母，则是分式，逐个判断后统计分式个数即可． 【详解】解：，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； ，是圆周率，属于常数，分母为常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； 综上可得：分式共有个． 【跟踪专练2】下列代数式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； B．分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； C．分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； D．分母中含字母，是分式，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子（A、B是整式）中，分母B中含有字母，则叫分式． 题型02.分式规律探究 【典例】观察分式：，，，……，以此类推，第6项是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的符号、分子以及分母变化规律，根据已知得出数字变化规律是解题关键．根据分式式的符号、分母以及分子的变化得出一般性规律得出第6个分式即可． 【详解】解：观察分式：，，，，……， 第一个分式：； 第二个分式：； 第三个分式：； 第四个分式：； ……； 第n个分式：； 故第6个分式是． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，，，，，，，即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．计算的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题，从题目所给的式子中发现并总结出一般规律是解题的关键． 先找到一般规律：的值每个一循环，再求出，由可得，于是得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 的值每个一循环， ， 且， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的变化规律，完全平方公式，先根据题意求出第1个数，第3个数，第5个数，找出规律，再根据完全平方公式求解． 【详解】解：设第1个数为x，第3个数为y，第5个数为z， 由题意，得：， ∴， ∴这组数据为，……， 即这组数以，6个为一组，进行循环， ∵， ∴第2024个数是；第2027个数是， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 题型03.按要求构造分式 【典例】某校12月组织a名师生到红旗渠风景区开展红色教育活动．租用的旅游车每辆可乘坐b人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的旅游车的辆数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键，先计算出所有旅游车坐满的人数，即可列数代数式． 【详解】解：∵人刚好坐满， ∴租用的旅游车的辆数为：， 故选：A． 【跟踪专练1】写出一个同时满足下列条件的分式：______． ①只含有字母x，且当时无意义；②当时，分式的值为0． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式的值为零的条件以及分式的意义．根据分母为零时分式无意义和分式的值为零的条件进行作答． 【详解】解：只含有字母，且当时无意义， 该分式的分母可以是． 当，分式的值为， 该分式的分子可以为． 故符合条件的分式可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 题型04.分式的求值 【典例】已知，则的值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的求值，将、的值代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 【跟踪专练1】已知，则的值是________． 【答案】0 【分析】利用完全平方公式得到，则可求出的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】若，则（　　） A．81 B．119 C．11 D．123 【答案】B 【分析】先对已知等式平方求出，再对平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴对等式两边平方得 ， 则化简得， ∴， 则 ， ， ∴． 题型05.分式有无意义与值为零综合 【典例】根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 0 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式无意义的条件和分式值为0的条件是解题关键，根据表格信息可得时分式无意义，时分式值为，结合两个条件即可判断选项． 【详解】解：根据表格信息可知：当时，分式无意义，即分母的值为，当时，分式的值为，即分子为且分母不为， 选项A、时，分子，不符合题意； 选项B、时，分母，分式无意义，时，分子，分母，分式值为，符合题意； 选项C、时，分母，分式有意义，不符合题意； 选项D、时，分母，分式无意义，不符合题意． 【跟踪专练1】若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：若有意义，则，解得． 【跟踪专练2】若分式的值为，则的取值为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，根据分式值为零的条件即可得到答案， 掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】若分式有意义，则的值应满足______． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得到，求解即可，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练4】当_______时，分式无意义． 【答案】0或1 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式无意义得出，求出的值即可得答案． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：，． 故答案为：或． 题型06.分式值为正负及整数是未知数求解 【典例】当________时，分式有意义；当________时，分式的值为0；当________时，分式的值为正数． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义、值为0及值为正数的条件，解题关键是掌握分式相关条件的判定规则：分式有意义要求分母不为0；分式值为0要求分子为0且分母不为0；分式值为正数要求分子分母同号（同时不为0）． 【详解】解：①分式有意义时，分母不能为0， ， 解得：； ②分式值为0时，分子为0且分母不为0， ， 由，解得或； 又，即， ； ③分式值为正数时，分子分母同号且均不为0， 分子为， ，解得． 故答案为：，，． 【跟踪专练1】当正整数________时，分式的值也为整数． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值为整数的参数求解，核心方法为分离常数法，将分式拆分为整式和分子为常数的最简分式，解题的关键是利用”除数为被除数的约数”确定参数的可能取值，再结合参数的取值范围筛选出符合题意的解．先对分式进行恒等变形，化为整式与最简分式的和，根据分式的值为整数，得到是2的正约数，结合为正整数的条件求解． 【详解】解：对分式变形： 分式的值为整数，为正整数， 为整数，即是2的正约数． 2的正约数为1,2， 当时，解得, 符合正整数题意： 当时，解得, 不是正整数，舍去． 故答案为：1． 【跟踪专练2】若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，分离假分式是解题的关键．先将假分式分离可得出，根据题意可知是6的整数约数，求解即可获得答案． 【详解】解：， 由题意可知，是6的整数约数， ∴，，，，1，2，3，6， 解得，，，0，1，，2，， 其中的值为整数为，0，1，2，共4个． 故选：B． 【跟踪专练3】已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式值的正负性问题，也考查了解一元一次不等式．根据的值是非负数得到且，进而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且． 故选：D． 题型07.分式变形的判断与条件 【典例】根据分式的基本性质，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、当，时，，，则，故选项不符合题意； B、由分式有意义可得，则，故选项符合题意； C、分式的分子与分母同时减去，分式的值不一定不变，等式不一定成立，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 【跟踪专练1】只把分式中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时的值可以是下列中的（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质，分子分母的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则为含或的一次单项式，据此判断即可． 【详解】解：∵中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变， ∴为含或的一次单项式，故只有C符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】下面三个式子：，其中正确的有_____个． 【答案】1 【分析】此题考查了利用分式的基本性质进行符号的变形，通过分式的化简和比较，判断每个等式的正确性． 【详解】解：对于第一个等式，，故不正确； 对于第二个等式，左边，等于右边，故正确； 对于第三个等式，（除非，但一般情况不成立），故不正确． 因此正确的有1个． 故答案为：1． 【跟踪专练3】无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值，由于分式值恒不变，可设其值为常数，进而根据多项式恒等条件列出方程求解． 【详解】解：∵分式值恒不变， ∴设（为常数）， 则， 整理得， ∵该等式对任意恒成立， ∴系数对应相等：，， 由得， 代入得， ∴ 故选：C． 题型08 .分式变形与系数标准化. 【典例】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 【跟踪专练1】改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，掌握性质是关键． 根据分式只有分子系数为小数，只需要把分子扩大倍数化为整数即可解答． 【详解】解∵中只有分子中系数含有小数，     ∴，， ∴把它的分子和分母中各项系数都化为整数， 故选：B． 【跟踪专练2】不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 题型09.分式值变化判断 【典例】把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值  （     ） A．扩大为原来的4倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的16倍 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”解答，将扩大后的x，y代入原分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵x，y都扩大为原来的4倍后，新分式为， 约去分子分母的公因式4后得，与原分式相等， ∴分式的值不变． 【跟踪专练1】若把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值________． 【答案】扩大倍 【分析】本题考查了分式的基本性质． 根据分式的基本性质，将x和y都扩大3倍后，分别计算新分式的分子和分母，再与原分式比较，得出分式值的变化情况 【详解】解：把分式中的x和y都扩大3倍，得到新的分式为： 所以分式的值扩大3倍． 故答案为：扩大倍． 【跟踪专练2】.如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的6倍 【答案】A 【分析】将扩大后的结果代入原分式，化简后和原分式比较即可得到结论． 【详解】解：将同时扩大为原来的3倍后， 新分式为， 所以新分式的值是原分式的3倍，即分式的值扩大到原来的3倍． 题型10.约分与最简分式 【典例】下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的判定，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式； 通过检查各选项分子和分母的公因式情况，判断每个选项是否为最简分式． 【详解】解： A、∵分子分母有公因式，可化简为，∴不是最简分式，故不符合题意； B、∵分母可分解为，与分子有公因式，可化简为，∴不是最简分式，故不符合题意； C、∵分子分母没有公因式，∴是最简分式，故符合题意； D、∵分子可提取公因式，与分母有公因式，可化简为，∴不是最简分式，故不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的分子和分母没有公因式，无法继续约分的分式，只需对各选项分子分母因式分解后，判断是否存在公因式即可． 【详解】解：A：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； B：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； C：的分子和分母没有公因式，不能约分，是最简分式； D：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 【跟踪专练2】在学完最简分式的概念后，老师在黑板上写了四个整式：．要求同学们从中任意选两个整式组成分式，其中能组成的最简分式有______个． 【答案】5 【分析】先列出所有可能的分式，再判断哪些是最简分式． 【详解】解：①分母为的情况： ：分子为常数，分母为，无公因式，为最简分式； ：分子可分解为，与分母有公因式，可约分为，非最简； ：分子与分母无公因式，为最简分式． 此类分式中，最简分式有个． ②分母为的情况： ：分子为常数，分母分解为，无公因式，为最简分式； ：分母分解为，与分子有公因式，可约分，非最简； ：分母分解为，与分子有公因式，可约分，非最简． 此类分式中，最简分式有个． ③分母为的情况： ：分子为常数，分母为，无公因式，为最简分式； ：分子与分母无公因式，为最简分式； ：分子分解为，与分母有公因式，可约分，不是最简分式． 此类分式中，最简分式有个． 故共有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简分式的概念，解题关键是明确最简分式的定义，即分子和分母没有公因式的分式，然后逐一分析所组成的分式是否为最简分式． 【跟踪专练3】琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是___________． 【答案】 【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ∴， 故答案为：． 题型11.通分与最简公分母 【典例】分式 的最简公分母是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了最简公分母的定义，最简公分母是取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，根据定义即可求解本题． 【详解】解：分式的最简公分母是． 【跟踪专练1】对分式，，进行通分，通分的结果分别是_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分运算，平方差公式在确定最简公分母中的应用，掌握先通过因式分解确定最简公分母，再将各分式变形为同分母分式的方法是解题的关键． 通分的关键是确定最简公分母，观察各分式的分母，发现是和的乘积，因此最简公分母为，再将每个分式化为以为分母的形式． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，其中=，因此最简公分母为. 对于，分子和分母同乘，得; 对于，分子和分母同乘，得; 对于，分母已是，保持不变，为. 故答案为：，，. 【跟踪专练2】分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据最简公分母的含义和确定公分母的方法即可解答． 【详解】解：∵的分母是x，的分母是(x2-1)，即(x+1)(x-1)；的分母是x+1， ∴分式，，的最简公分母是x(x+1)(x-1),即为x(x2﹣1)． 故应选：B 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法，准确地将各个分式中的分母进行因式分解是解题的关键． 【跟踪专练3】若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 题型12.分式的加减 【典例】计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同分母的分式的加减运算﹒先根据同分母分式的加减运算法则计算得，再约分即可求解﹒ 【详解】解：﹒ 故选：C﹒ 【跟踪专练1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对分母因式分解确定最简公分母，再将两个分式通分为同分母分式，接着对分子进行减法运算并因式分解，最后约去分子分母的公因式，得到最简分式． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：D． 【跟踪专练3】计算：的结果是________． 【答案】． 【分析】先把分式化成同分母，再根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案． 【详解】解： = = = 故答案为． 【点睛】本题考查了分式的加减．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【跟踪专练4】对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下．例如：．若，则＝______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， ，（不为0） ，即 ∴ 故答案为：． 【跟踪专练5】一次数学活动课上，聪聪发现“在周长一定的矩形中，正方形面积最大”，那么当矩形周长为16时，其面积最大值是____；再发现“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”，进而推导出“式子”的最小值，则这个最小值是____． 【答案】 16 6 【分析】此题考查了分式的运算，弄清题意是解题的关键． 根据“在周长一定的矩形中，正方形面积最大”，即可求出面积最大值；在面积为9的矩形中，设一边长为x，则另一边长为，根据“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”，即可解答． 【详解】解：∵在周长一定的矩形中，正方形面积最大， ∴当矩形周长为16时，其面积最大值， 在面积为9的矩形中，设一边长为x，则另一边长为， ∵在面积一定的矩形中，正方形的周长最短， ∴面积为9的矩形中，周长最小值为， ∴， 故答案为：16，6． 题型13.分式加减混合运算 【典例】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方，同底数幂的除法，分式的加减计算法则进行计算判断即可得到答案. 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项正确； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选B. 【点睛】本题主要考查了平方、同底数幂的除法，分式的加减运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解计算. 【跟踪专练1】已知：且，，，，，则等于______． 【答案】 【分析】分别求出、、，发现：每三个为一个循环，用2020除以3即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴发现：每三个为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了数字计算类的规律探究，分式的加减法计算法则，分式的化简，正确掌握运算法则得到计算结果的规律是解题的关键． 【跟踪专练2】已知实数满足，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的为（　　） A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减、求代数式的值，由得出即可判断①；由结合得出，代入计算即可判断②；由得出，结合即可判断③；由得出，结合，代入计算即可判断④． 【详解】解：， ， ， ， ，故①正确； ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，故②正确； ， ，， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ， ， ， ， 解得：，故④错误， 综上所述，正确的是①②③， 故选：C． 题型14.分式加减的实际应用 【典例】某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式减法运算的实际应用，核心是通过计算不同施工效率下的施工天数，进而求出天数差．先根据原日挖掘量求出改进技术后的日挖掘量，再分别计算两种情况下挖掘米隧道所需的天数，最后用原天数减去改进后的天数得到少用的天数． 【详解】解：原来每天挖掘米，挖掘米隧道需要的天数为； 改进施工技术后，每天挖掘的长度为米，此时挖掘米隧道需要的天数为； 因此比原来少用的天数为． 故选：D． 【跟踪专练1】集大原高速铁路是国家“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分，它连接内蒙古乌兰察布与山西忻州原平，其山西段通车后，一举打破晋北地区交通瓶颈，让晋北接入全国高铁网，尽显“中国速度”的硬核实力．已知大同至原平的高铁里程约，通车前普通列车行驶全程需；通车后“复兴号”高铁的行驶时间比原来减少，则高铁列车的平均速度比普通列车提升了________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加减运算的应用，根据题意列式计算速度差即可. 【详解】解：∵大同至原平的高铁里程约，通车前普通列车行驶全程需；通车后“复兴号”高铁的行驶时间比原来减少， ∴高铁列车的平均速度比普通列车提升了， 故答案为： 【跟踪专练2】甲、乙两人前后两次同时在同一家超市购买大米，前后两次购买大米的价格每千克分别为m元和n元（m，n为不相等的正数）．若甲每次购买p千克大米，乙每次花p元钱购买大米（p为正数）．则甲、乙两种购买方式平均价格低的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查分式加减的应用，解题关键是理解题意．根据题意分别算出甲乙两次购买大米的平均价格，再作差，利用完全平方公式进行比较即可求解． 【详解】解：依题得：甲两次购买大米的平均价格为， 乙两次购买大米的平均价格为， ， 又， ， 即，乙两次购买大米的平均价格更低，更合理． 故选：． 题型15.分式乘除运算 【典例】已知，则A表示的分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的乘除运算，根据分式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 【跟踪专练1】下列代数式中计算的结果等于a的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化除为乘，按照运算顺序计算解答即可． 本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键． 【详解】解：A. ，符合题意； B. ，不符合题意；     C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】化简：______． 【答案】 【分析】先对分子分母进行因式分解，再根据分式乘除法的运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 【跟踪专练3】计算：__________． 【答案】2 【分析】本题考查了积的乘方、负整数指数幂、单项式的乘除，先根据积的乘方和负整数指数幂进行计算，再根据单项式的乘除运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练4】___________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算乘方，再化除法为乘法，进行约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【跟踪专练5】计算：______． 【答案】 【分析】直接根据分式的乘方以及乘除法法则进行计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的乘方以及乘除法混合运算，正确掌握运算法则是解答本题的关键． 题型16.分式乘方及混合运算 【典例】计算：的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式乘方、负整数指数幂的运算法则逐步化简计算即可得到结果． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含乘方的分式乘法运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算分式乘方，再计算乘法和约分即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【跟踪专练2】计算： (1)____________； (2)________________________． 【答案】(1)，， (2)，，， 【分析】运用分式乘方法则、积的乘方法则与幂的乘方法则分步计算，先将分式的分子、分母分别乘方，再通过幂的相关运算法则化简得到最终结果． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【跟踪专练3】（1）________；              （2）________； （3）________；   （4）________； （5）________． 【答案】 【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘法即可； （3）先算乘方，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除法即可； （5）先算乘方，再算除法即可； 【详解】解：（1） （2）； （3）原式=； （4）原式=； （5）； 故答案为：，，，， 【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 题型17.分式加减乘除混合运算. 【典例】动车提速后，平均速度变为原来的倍，若行驶同样路程，时间可缩短到原来的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】路程一定时，时间与速度成反比，通过表示出提速前后的时间，即可求出提速后时间缩短到原来的多少． 【详解】解：设动车原来的平均速度为， ∵路程为， ∴原来行驶的时间为． ∵提速后平均速度变为原来的倍， ∴提速后速度为， ∴提速后行驶时间为， ∴提速后时间与原来时间的比值为． 即时间可缩短到原来的． 【跟踪专练1】计算的结果是________． 【答案】 【分析】先对括号内的分式进行通分并化简，再对括号外分式的分子分母分别因式分解，最后将两个分式相乘，约去分子分母的公因式，得到最简结果． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】已知为整数，且计算的结果为整数，则所有符合条件的的值的和为（   ） A．0 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】先对原式进行分式的混合运算，将其化简为最简形式，再根据结果为整数且为整数的条件，确定的取值，最后计算所有符合条件的的值之和． 【详解】解：∵ 原式 = = = = = ． 令（为整数），则， ∴ ． ∵ 为整数， ∴ 为整数，即为的因数：， ． 当时，；时，；时，；时，． 当时，原式无意义，舍去， ∴的值只能为，，． ∴ 所有值之和为． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算、分式有意义的条件以及整数解的确定，解题关键是先化简分式，再根据整除性确定的取值，同时要排除使分母为的情况． 题型18.分式化简与最值 【典例】如果，那么的值为（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】先通过分式运算法则化简所求代数式，再利用已知条件整体代入求值． 【详解】解：∵ ∴ ． 【跟踪专练1】如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先将分式化简、变形为，由为正整数知，据此可得，从而得出答案． 【详解】解： ， ∵为正整数， ， ， ， ∴表示的值的点落在段②． 故选：B． 【跟踪专练2】若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据已知等式变形得到和，进一步推出，再将所求代数式整体代换化简，即可求出值． 【详解】解：， ，，且， ，即， 原式 ． 【跟踪专练3】已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式及整体代入法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用完全平方公式对两边平方，得，再由，将两边同时除以，得，把代入，即可求解． 【详解】解：由， 对等式两边平方，得，即， ， 由题意得， 将两边同时除以，得到，即， ， 解得， 故选：C． 题型19.分式方程基础 【典例】下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 【跟踪专练1】如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解分式方程，将比例式转化为分式方程，即可求解的值． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 展开右侧得：， 移项合并得：， ∴． 【跟踪专练2】下列关于x的方程中，整式方程的个数是（　　） （1）（2）；（3）+x＝；（4）+1＝x． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据整式方程与分式方程的定义解答.分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断. 【详解】解：（1）； （2）； （3）+x＝都符合整式方程的定义； （4）+1＝x属于分式方程. 故选：C. 【点睛】本题考查了整式方程，分式方程，熟练掌握各自的定义，并灵活准确判断是解题的关键． 【跟踪专练3】若数使得关于的分式方程有正数解，且使得关于的不等式组有解，那么符合条件的所有整数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为零得到a的初步范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到a的最终范围，最后找出范围内符合条件的整数a，统计个数即可． 【详解】解方程， 方程两边同乘得： 整理得 解得 ∵分式方程有正数解，且（分母不为0） ∴，且 解得，且 解不等式组 解第一个不等式得 解第二个不等式得 ∵不等式组有解 ∴ 解得 综上，a的取值范围是，且 符合条件的整数a为，共3个． 【跟踪专练4】已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，先将分式方程化为整式方程求解，再根据解为负数列不等式，同时保证原分式方程分母不为零，进而确定k的取值范围． 【详解】解：∵解分式方程， ∴两边同乘得：， 展开并化简：， ， 移项合并得：， ∴， ∵方程的解为负数， ∴， 解得， 又∵原分式方程分母不能为0，即且， 当时，，解得，故， 当时，，解得，但，此情况不存在， 综上，且， 故选：C． 题型20.由分式方程解的情况求值 【典例】若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根定义确定增根的值，代入增根计算得到a的值． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 去括号得， 则， ∵原分式方程分母为，方程有增根， ∴增根满足，即， 将代入整式方程，得， 解得：． 【跟踪专练1】若关于x的分式方程的解是正数，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解分式方程得到的表达式，再根据解为正数且分式有意义的条件列出不等式，求解即可，掌握分式方程的解法是解题的关键。 【详解】解： 去分母，化为整式方程得 展开并整理得 解得 ∵该分式方程的解为正数 ∴，且分母 解不等式得 由得，解得 ∵已满足 ∴的取值范围是． 【跟踪专练2】关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．8 C．11 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解的情况确定参数的取值范围，分式方程的解法， 分式方程的增根问题及根据分式方程的解为整数确定参数的值．先解不等式组，根据有解且至多4个整数解确定a的取值范围，再解分式方程，结合解为整数且不为增根的条件筛选出符合的整数a，最后求和． 【详解】解：∵解不等式组， 得，， ∴不等式组解集为， ∵不等式组有解且至多4个整数解， ∴整数解为（至多4个）， ∴ 两边乘2得， ∴ 解分式方程， 解得， ∵分式方程的解为整数且 ∴是9的约数，且，又∵a为整数且， 逐一验证： 当时，，，符合条件， 当时，，，符合条件， 当时，，（增根，舍去）， 当时，，，符合条件， 当时，（不在范围内，舍去）， 当时，，，符合条件， ∴满足条件的整数a为， ∴所有满足条件的整数a的和为， 故选：A． 题型21.分式方程无解问题 【典例】关于x的方程有增根，则k的值为（   ） A．2 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程增根的应用，属于简单题，将分式方程化成整式方程再代入增根解题是关键． 根据方程有增根，先求出增根为，再将分式方程化成整式方程，将代入求值即可． 【详解】解：， 方程两边每一项同时乘得： 整理得： ∵方程有增根， ∴把代入方程得，． 故选A． 【跟踪专练1】已知分式方程，若分式方程无解，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式方程无解问题，解题关键是熟练掌握解分式方程． 分式方程无解需考虑整式方程的解使分母为零的情况，通过求解整式方程，并令解为分母为零的值，即可得解． 【详解】解： 两边同乘，得， 即， ， 解得， 分式方程无解， ，即， ， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知关于x的分式方程无解，则k的值为（   ） A．0 B．0或-1 C． D．0或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解求参数的值．分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解使原方程分母为0（即为增根），分情况讨论求解即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵该分式方程无解， ∴分两种情况讨论： 情况1：当时， 解得，此时方程无解，符合题意； 情况2：当，即时， 解得， 当或时，原分式方程有增根，方程无解， 即或时，符合题意， 当， 去分母得：， 移项得：， 等式不成立，此种情况无解； 当时，即， 解得，符合题意； 综上，的值为或． 故选：D． 题型22.列分式方程 【典例】某农场红心柚质量是白心柚的倍，其中红心柚销售收入元，白心柚销售收入元，白心柚比红心柚价格每斤少元．设白心柚价格为元斤，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列分式方程，根据“质量=销售收入÷单价”的数量关系，结合“红心柚质量是白心柚质量的2倍”这一条件建立方程． 【详解】解：设白心柚价格为元/斤， ∵白心柚比红心柚价格每斤少3元， ∴红心柚价格为元/斤； 根据“质量=销售收入÷单价”， 可得白心柚的质量为斤，红心柚的质量为斤； 又∵红心柚质量是白心柚质量的2倍， ∴可列方程：； 故选：A． 【跟踪专练1】阅读，正如一束阳光，孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界，某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是x米／分，则可列出正确的方程为______． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是米/分，则：甲同学的速度为米/分，由题意，得： 故答案为：． 【跟踪专练2】重庆、昆明两地相距，渝昆高速公路开通后，在重庆、昆明两地间行驶的长途客车平均速度提高了，而从重庆到昆明的时间缩短了，求长途客车现在的平均速度．设长途客车现在的平均速度为，则根据题意可列方程为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设长途客车现在的平均速度为，则以前的平均速度为，根据从重庆到昆明的时间缩短了为等量关系列出分式方即可． 【详解】解：设长途客车现在的平均速度为，则以前的平均速度为， 根据题意有：， 故答案为：． 题型23.分式方程的行程问题 【典例】某校组织部分学生步行2千米到纪念馆参加活动，要求学生队伍比原计划提前5分钟到达，这样学生队伍的实际行进速度比原计划的行进速度快，问学生队伍原计划的行进速度为多少？设学生队伍原计划的行进速度为米/分，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为行程问题列方程题，先统一单位，再根据“原计划用时实际用时提前到达的5分钟”的等量关系列方程即可． 【详解】解：2千米米， ∵实际行进速度比原计划快，原计划速度为米/分， ∴实际速度为 （米/分）， ∴原计划用时为分钟，实际用时为分钟， ∵队伍提前5分钟到达， ∴列方程得． 【跟踪专练1】列方程解应用题 某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用，该汽车从A地行驶至B地，全程用油驱动需96元油费，全程用电驱动需16元电费，已知每行驶1千米，用油比用电的费用多0．8元．求该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费； 【答案】该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费为元 【分析】本题考查分式方程解决实际问题．设该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费为元，则该汽车用油驱动方式行驶1千米的油费为元，根据“全程用油驱动需96元油费，全程用电驱动需16元电费”，列出分式方程，求解即可． 【详解】解：设该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费为元，则该汽车用油驱动方式行驶1千米的油费为元，由题意得， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费为元． 【跟踪专练2】“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 【答案】“歼”战机的速度是每小时3600公里 【分析】设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为，根据题意“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地建立方程求解即可． 【详解】解：设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“歼”战机的速度是每小时3600公里． 题型24.分式方程的工程问题 【典例】某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前40天完成了这一任务．如果设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，那么可列方程为：______． 【答案】 【分析】根据工作效率的关系求出原计划每天绿化的面积，再根据原计划工作时间减去实际工作时间等于提前的天数列方程即可． 【详解】解：由题意知，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了， 原计划每天绿化的面积为万平方米， 原计划完成任务所需天数为， 实际完成任务所需天数为， 可列方程：． 【跟踪专练1】改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前天完成任务，原计划每天种多少棵树？ 【答案】原计划每天种棵树 【分析】设原计划每天种棵树，根据提前天完成任务，列分式方程求解． 【详解】解：设原计划每天种棵树， 根据题意得：， 解这个方程得：， 经检验，是方程的解， 答：原计划每天种棵树． 【跟踪专练2】我国自主研发的型快速换轨车采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一个工作队人工更换钢轨，每小时更换钢轨的长度是一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的长度的，这个工作队人工更换钢轨所用时间比型快速换轨车更换钢轨所用时间多．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米． 【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 【分析】根据题意，以换轨时间建立等量关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨，则工作队人工每小时更换钢轨， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨． 题型25.分式方程的经济问题 【典例】如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方________5元（填“涨价”或“优惠”），结果比上次________买了10个（填“多”或“少”）． 【答案】 优惠 少 【分析】由x表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价，总价，数量之间的关系，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了x个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次购买魔方的数量比第一次少10个， ∵表示第一次购买魔方时，魔方的单价，表示第二次购买魔方时，魔方的单价，且， ∴第二次购买魔方的单价比第一次购买魔方的单价少5元， ∴第二次购买魔方时，每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个． 【跟踪专练1】为了备战体育基础达标测试，我校八年级组在开学初购进了A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了3000元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍．已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花20元． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？ (2)八（1）班同学为了训练更加方便，决定集体再购买A、B两种品牌足球共50个，恰逢商店足球按第一次购买时售价的九折出售，若八（1）班此次购买A、B两种品牌足球费用不超过3200元，则八（1）班此次最多可购买多少个B品牌足球？ (3)若商店销售A、B两种品牌足球进价分别为40元、55元，在（2）的条件下，商店销售完这50个A、B两种品牌的足球时，商店的最大利润是多少？并写出利润最大时的采购方案． 【答案】(1)购买一个A品牌足球需要60元，购买一个B品牌足球需要80元 (2)27个 (3)最大利润是781元，采购方案：A种品牌的足球采购23个、B种品牌的足球采购27个 【分析】（1）设购买一个品牌足球需要元，则购买一个品牌足球需要元，根据题意建立分式方程求解，即可解题； （2）设购买个品牌足球，则购买个品牌足球，根据“此次购买A、B两种品牌足球费用不超过3200元，”建立一元一次不等式求解，即可解题； （3）设商店销售完这50个、两种品牌的足球时，商店的利润是元，根据题意列出与的关系式，再结合一次函数的增减性求解，即可解题． 解题的关键在于找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；以及正确求得一次函数解析式，根据一次函数的性质解题． 【详解】（1）解：设购买一个品牌足球需要元，则购买一个品牌足球需要元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：购买一个品牌足球需要60元，购买一个品牌足球需要80元． （2）解：设购买个品牌足球，则购买个品牌足球， 依题意得：， 解得：． 为整数， 的最大值为27． 答：八（1）班此次最多可购买27个品牌足球； （3）解：设商店销售完这50个、两种品牌的足球时，商店的利润是元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 最大时，最大， ，且取整数， 时最大，此时（元）， （个）， ∴采购方案为：A种品牌的足球采购23个、B种品牌的足球采购27个． 答：A种品牌的足球采购23个、B种品牌的足球采购27个，商店的最大利润是781元． 【跟踪专练2】我校计划采购、两种型号的文件柜用于存放教学资料，调查发现：型号文件柜的单价是型号文件柜单价的倍，用元购买型号文件柜的数量比用元购买型号文件柜的数量多个． (1)、两种型号文件柜的单价分别是多少元？ (2)学校计划采购这两种文件柜共个，要求型号文件柜的数量不少于型号文件柜数量的倍，且型号文件柜的数量不少于个．请你设计一种购买方案，使所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)型号文件柜单价元，型号文件柜单价元 (2)购买型号个、型号个时费用最少，最少费用为元 【分析】（1）根据“数量=总价÷单价”，结合型号数量比型号多个的等量关系列分式方程求解；（2）先根据题意列出关于型号数量的不等式组，得到的取值范围，再列出总费用的一次函数表达式，利用一次函数的增减性求解最少费用即可； 【详解】（1）设型号文件柜单价为元，则型号文件柜单价为元 ， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）； 答：型号文件柜单价元，型号文件柜单价元． （2）设购买型号文件柜个，总费用为元，则购买型号文件柜个， 由题意得， ， ， 不等式组的解集为，为整数， 总费用， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，最小， （元）， （个）； 答：购买型号个、型号个时费用最少，最少费用为元． 题型26.分式方程的和差倍分问题 【典例】甲、乙两个服装厂加工一批校服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的倍，两厂各加工套校服，甲厂比乙厂少用2天，则乙厂每天加工_____套校服． 【答案】 【分析】利用分式方程中的工程问题，工作量除以工作效率等于工作时间，列出方程求解即可． 【详解】 解：设乙厂每天加工x套校服，则甲厂每天加工套校服， 依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙厂每天加工套校服． 故答案为：． 【点睛】 本题考查的分式方程的实际应用---工程问题，熟练掌握工程问题的数量关系式是解答此题的关键． 【跟踪专练1】在“一带一路”农业技术合作项目中，某国引进中国的甲、乙两种新型沼气池技术．已知甲种技术处理20吨农业有机垃圾所用的时间与乙种技术处理25吨农业有机垃圾所用的时间相同，且甲种技术每小时比乙种技术少处理2吨农业有机垃圾． (1)求甲、乙两种技术每小时各处理多少吨农业有机垃圾； (2)该国计划新建甲、乙两种技术沼气池共12个，要求1小时内完成不低于100吨的农业有机垃圾处理任务，且甲种技术沼气池的数量不超过乙种技术沼气池数量的2倍，那么新建乙种技术沼气池至少多少个？ 【答案】(1)甲种技术每小时处理8吨，乙种技术每小时处理10吨 (2)新建乙种技术沼气池至少4个 【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设甲种技术每小时处理吨农业有机垃圾，乙种技术每小时处理吨农业有机垃圾，根据等量关系列分式方程解答即可； （2）设新建甲种技术沼气池共个，则新建乙种技术沼气池共个，根据不等式关系列出一元一次不等式解答即可． 【详解】（1）解：设甲种技术每小时处理吨农业有机垃圾，乙种技术每小时处理吨农业有机垃圾，则， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：甲种技术每小时处理8吨，乙种技术每小时处理10吨． （2）设新建乙种技术沼气池共个，则新建甲种技术沼气池共个， ，． ，． 综上可知，． 答：新建乙种技术沼气池至少4个． 【跟踪专练2】甲、乙两公司全体员工踊跃参与某捐款活动，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： (1)甲、乙两公司分别有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱元，B种物资每箱元，若购买B种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送） 【答案】(1)甲公司有人，乙公司有人 (2)有两种购买方案：购买8箱A种物资、箱B种物资或购买4箱A种物资，箱B种物资 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲公司有x人，则乙公司有人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，根据总价单价数量，即可得出关于m，n的二元一次方程组，再结合且m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设乙公司有人，则甲公司有人． 由题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲公司有人，乙公司有人． （2）（2）设购买A种物资箱，购买B种物资箱， 由题意，得， 整理，得． 又，且为正整数， ∴，． 答：有两种购买方案：购买8箱A种物资、箱B种物资或购买4箱A种物资，箱B种物资． 题型27.分式方程的其他实际问题 【典例】数学的美无处不在，数学家们研究发现：其他条件一致的情况下，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15，12，10这三个数的倒数发现，我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组调和数15，x，3，则x的值是________． 【答案】5 【分析】本题考查了分式方程的应用． 根据调和数的定义，对于三个数15，x，3，其倒数应满足关系式，通过解此方程可求出x的值． 【详解】解：由调和数的定义，得， 移项，得， 即， 所以， 解得． 经检验，是方程的解． 故答案为：5． 【跟踪专练1】随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】新型机器人每天搬运的货物量为吨 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，找准等量关系、正确列出分式方程是解题的关键．根据宣传中的“运量更高”与“速度更快”两个条件，设出新型机器人的日搬运量，结合“搬运时间相同”这一等量关系列出方程，进而求解并检验得到结果． 【详解】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：新型机器人每天搬运的货物量为吨． 【跟踪专练2】为迎接3月日国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具．去年共准备了件，今年道具数量有所增加：其中A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件． (1)求今年准备的A，B两种道具各多少件？ (2)今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具．已知第一组每小时摆的数量是第二组的倍，第一组比第二组提前分钟完成．求第二组每小时摆多少件B道具． 【答案】(1)今年准备A道具件，B道具件． (2)第二组每小时摆件B道具． 【分析】（1）设去年准备的A道具件，道具件，根据“今年A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件”为等量关系列二元一次方程组求解，再计算今年A，B两种道具各多少件即可； （2）设第二组每小时摆件B道具，则第一组每小时摆件A道具，根据“第一组比第二组提前分钟完成”为等量关系列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设去年准备的A道具件，道具件， ， 解得， 则（件），（件）， 答：今年准备A道具件，B道具件． （2）解：设第二组每小时摆件B道具， ， 经检验是原方程的解， 答：第二组每小时摆件B道具． 解答题 98．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先算乘方、负整数指数幂和零指数幂，再进行加减运算即可； （）根据分式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 99．已知分式，． (1)化简A； (2)当x为何值时，A与B的值相等？ (3)当x为何值时，A的值为零？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的值、约分及分式有意义的条件，熟练掌握分式的值、约分及分式有意义的条件是解题的关键； （1）根据分式的性质可进行求解； （2）由（1）及分式有意义的条件可进行求解； （3）根据分式的值为0的条件可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴恒成立， ∵分式有意义，即， ∴当时，A与B的值相等． （3）解：当时，则且． 解得， ∴当时，A的值为零． 100．将下列分式通分： (1)和． (2)和． 【答案】(1)   (2)   【分析】本题考查了分式的通分，掌握找最简公分母的方法，系数取最小公倍数，字母取最高次幂，再将分子分母同乘相应因式是解题的关键． （1）先确定两个分式的最简公分母为，再将两个分式的分子分母同乘相应因式，化为同分母分式； （2）先确定两个分式的最简公分母为，再将两个分式的分子分母同乘相应因式，化为同分母分式． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ． （2）解：最简公分母是， ， ． 101．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先由分式混合运算法则化简，再计算算术平方根、负整数指数幂及零指数幂求出值，最后代入化简后的分式计算即可得到答案． 【详解】解： ， ， 原式． 102．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据分式的乘法运算法则进行运算，结果化为最简分式； （2）先计算小括号内的加法，再计算除法，结果化为最简分式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 103．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先对等式进行变形，再对分式进行约分，最后代入求值即可． 【详解】解：由得，， 将代入上式得， 原式． 104．要使式子有意义，求的取值范围，并求当时式子的值． 【答案】且， 【分析】根据零指数幂的底数不能为零，负整数指数幂的底数不能为零，可得的取值范围，再把代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， 解得且， 当时， ． 105．阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”． (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①___________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于___________． (3)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于的方程无解，求实数的值． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值 (2)①；②1 (3)或 【分析】（1）根据“关联分式”定义，计算出，进而即可判断； （2）①由与互为“关联分式”、，得，求出；②将代入，进而即可求解； （3）由与互为“关联分式”、，列方程化简得．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值； （2）解：①∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； ②当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为； （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或． 【点睛】本题以“关联分式”新定义为载体，融合分式加减运算、分式化简求值、分式方程无解的分类讨论，考查代数运算能力与逻辑推理能力，体现分类讨论的核心数学思想． 106．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据分式的基本性质和加减法进行变形求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴同理可得，， ∴ 107．若，，求多项式的值． 【答案】18 【分析】先根据异分母分式加减法可得，即；再对所求代数式因式分解，然后将、整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ． 108．已知，且，．求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，分式的运算，先对已知等式整理得到，故，将变形为，再结合基本不等式即可求出最小值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ 则， 当且仅当时，等号成立； 因此； 即的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题08分式期中复习讲义 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透分式定义、有意义/1.吃透分式定义、有意义/ 1.基础选择/填空秒解，概 值为0的条件，辨清分式 值为0的条件，辨清分式 念、简单运算不丢分 与整式 与整式 2.分式化简、混合运算步骤 2.熟记分式基本性质，会约 2.熟记分式基本性质，会约 规范，计算准确率拉满 分、通分，掌握最简分式/ 分、通分，掌握最简分式/3.分式方程求解+验根 公分母求法 公分母求法 步到位，规避格式、漏验根 3.熟练分式加减乘除、乘方 3.熟练分式加减乘除、乘方失分 运算法则，明确混合运算顺 运算法则，明确混合运算顺！4.轻松搞定分式方程实际 序 序 应用题，找准等量关系拿下 4理解分式方程概念，掌握4理解分式方程概念，掌握 中档分值 解法，牢记验根关键步骤 解法，牢记验根关键步骤 5.会用分式方程解决实际 5.会用分式方程解决实际应 应用问题， 找准等量关系 用问题，找准等量关系 ☆ 题型梳理 题型01.分式的判断 题型02分规律探究 题型03.按要求构造分式 题型04.分式的求值 题型05.分式有无意义与值为零综合 题型06.分式值为正负及整数是未知数求解 题型07.分式变形的判断与条件 题型08.分式变形与系数标准化 题型09.分式值变化判断 题型10.约分与最简分式 型11.通分与最简公分母 题型12.分式的加减 题型13.分式加减混合运算 题型14.分式加减的实际应用 题型15.分式汞除运算 题型16.分式汞方及混合运算 题型17.分式加减汞除混合运算 题型18.分式化简与最值 题型19.分式方程基础 题型20.由分式方程解的情况求值 题型21.分式方程无解问题 题型22.列分式方程 题型23.分式方程的行程问题 题型24.分式方程的工程问题 型25.分式方程的经济问题 题型26.分式方程的和差倍分问题 题型27.分式方程的其他实际列问题 解答题11题 试卷第1页，共3页 ☆ 知识梳理 知识点01：分式的概念 1.定义：形如月，其中A、B为整式，且*B中含有字母*。 2.有意义的条件：B≠0 3.值为0的条件：A=0且B≠0（必考） 4.整式与分式统称有理式。 知识点02：分式的基本性质（本章核心】 会=能，会= 。(C是不等于0的整式) 1.符号法则 鲁-会-合 2.分式的变号（分子、分母、分式本身，改变两个符号不变） 知识点03：分式的约分与最简分式 1.约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分。 2.公因式找法 (1)系数：最大公约数 (2)字母：相同字母最低次幂 (3)多项式：先因式分解，再找公因式 3.最简分式 分子与分母没有公因式（互质）的分式。 计算结果必须化为最简分式。 知识点04分式的通分 1.通分定义 把几个异分母分式化成同分母分式，叫做通分。 2.最简公分母(LCD)找法 (1)系数：各分母系数的最小公倍数 (2)字母：所有出现字母的最高次幂 试卷第1页，共3页 (3)多项式：先因式分解，再取所有因式最高次幂 知识点05：分式的乘除与乘方 1.乘法：是·晋=器(b≠0，d≠0) 2除法：骨÷晋=·号=瓣 (b≠0，c≠0，d≠0)（除以一个分式=乘它的 倒数) 3.乘方：（层）n=(b≠0，n为正整数) 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号。 知识点06：分式的加减 同分母分式加减法则：是±名=些(c≠0) 异分母分式加减法则：号土号=器±器=器(b≠0，d≠0) 知识点07：分式方程（必考大题） (1)定义：分母中含有未知数的方程。 (2)解法步骤： ①找最简公分母 ②去分母化为整式方程 ③解整式方程 ④检验！！（必须写） 代入最简公分母，0→是原方程解 =0→增根，无解（若所有解都是增根，则原方程无解） (3)增根：使最简公分母=0的根，不是原方程的解。 知识点08.分式方程实际应用 一.行程问题 基本公式： 路程=速度×时间 s=v.t 变形：v=是，=是 试卷第1页，共3页 常见等量关系： ①顺流速度=静水速度+水流速度 ②逆流速度=静水速度·水流速度 ③不同方式行驶同一段路程，时间差相等 二、工程问题 基本公式：工作量=工作效率×工作时间 W=e.t 变形：e=￥，t晋 常见等量关系： ①总工作量通常设为1 ②各部分工作量之和=总工作量 ③合作效率=各单独效率之和 三、经济问题 核心公式： 利润=售价·成本 利润率=翠×10 总价=单价×数量 常见等量关系：①价格变化前后，总利润不变②销量与单价成反比变化时，总 销售额不变 四、和差倍分问题 常见等量关系： ①A是B的n倍→A=n·B ②A比B多/少m→A=B±m ③A与B的比为a:b→合=君 ☆ 题型精析 ■雪■数数分参数知数数 题型01.分式的判断 【典例】下列式子是分式的是() 试卷第1页，共3页 A.a-b 2 B.x-1 C.r+3 D.1+x 跟踪专练下列代数式x,上-2X-12a0 3’x-y'x2+1’元 ’。,,其中分式共有 个 【跟踪专练2】下列代数式中，属于分式的是() A.x-y 20 B. C. D. 3 π+2 3 b 题型02.分式规律探究 【典例们观察分式：子兰，。，三…以能类，班6现足 x’x2, 1 跟踪专练】已知a>0,S,3,-,$,,S,1,$一 a 1 即当n为大于1的奇数时，S,=:当n为大于1的偶数时，S,=-S1.计算 S1+S2+S,+…+S6的结果为 【跟踪专练2】一组有序排列的数：a1,a,4,,an,.（n为正整数).对于其中任 意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积.已知a,=m2,4,=（m≠0)， a1-a4=5,那么a2024+a2021=() A.23 B.24 C.27 D.31 题型03.按要求构造分式 【典例】某校12月组织α名师生到红旗渠风景区开展红色教育活动.租用的旅游车每辆可 乘坐b人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的旅游车的辆数为() A.a b B6品 c. a D.b-1 【跟踪专练1】写出一个同时满足下列条件的分式： ①只含有字母x,且当x=1时无意义；②当x=2时，分式的值为0. 【跟踪专练2】某校组织全体师生m人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车 每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租 用车辆() A.m+辆 B. 辆 n D.(辆 题型04.分式的求值 试卷第1页，共3页 【典例】已知a=,6=2,则b的值是() a-b A .1 B.一2 C.2 D.-2 【跟踪专练1】己知m+二 =2,则m+2的值是 【跟踪专练2】若a-1=3,则a+ a a( A.81 B.119 C.11 D.123 题型05.分式有无意义与值为委综合 【典例】根据下列表格中的部分信息，分式y可能是() -2 0 1 2 y 无意义 0 A. x+1 B. x-1 x+2 x+2 C.-1 D.2 x+1 x-1 【跟踪专练1】若分式1有意义，则x的取值范围是() x-1 A.x>1 B.x≠1 C.x≠0 D.x≠-1 【跟踪专练2】若分式x-2025 的值为0，则x的取值为 x+2024 【跟踪专练3】若分式】-m有意义，则m的值应满足 3m+3 1 【跟踪专练4】当x= 时，分式xx-可 无意义 题型06.分式值为正负及整数是未知数求解 【典例】当x 有意义：当x 时，分式3 时，分式-9的值为0：当x x-3 时，分式 的值为正数， x-1 【跟踪专练1】当正整数m= 时，分式6m-1 的值也为整数。 2m-1 【跟踪专练2】若x取整数，则使分式6+3 的值为整数的x值有() 2x-1 A.3个 B.4个 C.6个 D.8个 跟踪专练3】已知分式十4的值是非负数，邪么x的取值范围是(】 A.x>-4且x≠0B.x2-4 C.x≠0 D.x2-4且x≠0 试卷第1页，共3页 题型07.分式变形的判断与条件 【典例】根据分式的基本性质，下列等式成立的是() 4.9a2 66 B. 2a_2 3a3 C. bb-m a a a-m D.a+b+万 【跟踪专练1】只把分式4m-“中的m,同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变， 5n 则此时a的值可以是下列中的() A.2 B.mn C.m 3 D.m 【跟踪专练2】下面三个式子：-a-b-4-b,-a+b=a-b,-a+b.a+b,其中正确 的有个. 【跟踪专练3】无论x取何值，分式+2025 的值始终保持不变，则P的值为（) bx+2026 a 2025 2026 2026 2027 A. C. D 2026 B. 2027 2025 2026 题型08.分式变形与系数标准化. 【典例】不改变分式？3+x,的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是() -5x3+2x-3 A. 3x2+x+2 B.5x+2x-3 3x2-x+2 C. 3x2+x-2 D. 3x2-x-2 5x3+2x-3 5x3-2x+3 5x3-2x+3 【跟踪专练】改变分式”。的雀，定它的分了和分母中各项系数都化为整载，则所行 结果是() 2x-1 x-5 2x-1 A. B. C. D. 2x-10 4x+30 2x+15 4x+3 4x+3 【跟踪专练2】不改变分式的值，把分式03a+0026 0.1c-0.03d 的分子和分母各项的系数都化为整数 得 题型09.分式值变化判断 【典例】把分式2x3y 2y 中的x,y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值() A.扩大为原来的4倍 B.不变 C.缩小为原来的} D.扩大为原来的16倍 试卷第1页，共3页 【跟器专练】若把分式十中的x和)都扩大3倍，那么分式的值 【跟踪专练2】.如果把分式 3迎中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（） x+y A.扩大到原来的3倍 B. 缩小到原来的倍 C.不变 D.缩小到原来的6倍 题型10.约分与最简分式 【典例】下列分式中是最简分式的是() 2x B. x+1 C.x+y D. x+y A. 4x2 x2-1 x-y y 【跟踪专练1】下列分式中，属于最简分式的是() .4 A.2x B.+1 C.、 a x2-1 x+1 D.2+3a 【跟踪专练2】在学完最简分式的概念后，老师在黑板上写了四个整式：6，x+1,x2-1,x-1.要 求同学们从中任意选两个整式组成分式，其中能组成的最简分式有个. 【跟踪专练3】琪琪在化简分式，”4时得到的结果为子 x+2,则？部分的代数式应该是 题型11.通分与最简公分母 【奥州】分式办女的最简公分好是 【除专练】对分式，品·中)建行活分，道分的质果分别足 1 1 【跟踪专练2】分式？-了’x+ 、2x3 的最简公分母是() A.x2-1 B.x(x2-1) C.x2-x D.（x+1)x-1 3n 【跟除专练3】若将分武专2m-通分，则分式的分于应变为( m+n m+n A.6m2-6mn B.6m-6n C.2(m-n D.2(m-n)(m+n 题型12.分式的加减 【典例】计算m-3-6,的结果等于（) m-3m-3 试卷第1页，共3页 A. m+3 B. C.m+3 D.m-3 m-3 m-3 【跟踪专练1】计算，4。x的结果是() 2x+x2x+2 A.+2 B.x+2 C.x-2 D.-x-2 x 【跟踪专练2】计算4 +x-2的结果等于() +2 1 x2 A.1 B. x2-4 C. D. x+2 x+2 【跟综专练3】计算：己1x的结果是 【跟踪专练4】对于任意两个非零实数a,b,定义新运算“*"如下a*6=】 .例如： a b 2*3=11-1 2026xy 若x*y=2,则 236 x-v 【跟踪专练5】一次数学活动课上，聪聪发现“在周长一定的矩形中，正方形面积最大”，那 么当矩形周长为16时，其面积最大值是；再发现“在面积一定的矩形中，正方形的周长 最短，进而推导出“式子+9(x>0“的最小值，则这个最小值是一 题型13.分式加减混合运算 【典例】下列各式计算正确的是() 02 b A B.a2÷a1=a3 c.1+1.2 D.x-y=-1 a a x y x+y x-y 1 1 1 【跟踪专练1】已知：a=+1(x0且x≠-)，414,41-4，，Q1-0 则a2020等于一· 【跟踪专练2】已知实数m、小P满足m-n+D=L+上=0，则下列结论：①若m>0, m n P 则n>p;②若p=1,则m2-m=1;③若m2-p2=2,则mp=2;④若p=1,则m=1.其 中正确的为() A.②③④ B.①②③④ C.①②③ D.①③④ 题型14.分式加减的实际应用 【典例】某施工队每天挖掘a米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘20%，那么同样挖掘b 米隧道，比原来少用的天数为() 试卷第1页，共3页 A.6 b B.5b C.46 D. 6a 【跟踪专练1】集大原高速铁路是国家“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分，它连接内蒙 古乌兰察布与山西忻州原平，其山西段通车后，一举打破晋北地区交通瓶颈，让晋北接入全 国高铁网，尽显“中国速度”的硬核实力.已知大同至原平的高铁里程约240km,通车前普通 列车行驶全程需t(t>2)h;通车后“复兴号”高铁的行驶时间比原来减少2h,则高铁列车的平 均速度比普通列车提升了 km/h 北 乌兰察布站 西东 南 丰镇北站《 大同南站 怀仁东站。 应县四站 山阴南站。 朔州东站 雁门关站 原平四站 集大原高铁线路走向示意图 【跟踪专练2】甲、乙两人前后两次同时在同一家超市购买大米，前后两次购买大米的价格 每千克分别为m元和n元(m,n为不相等的正数).若甲每次购买p千克大米，乙每次花 卫元钱购买大米(p为正数)·则甲、乙两种购买方式平均价格低的是() A.甲 B.乙 C.甲、乙一样 D.不确定 题型15.分式乘除运算 【典例】已知A-y-1, 则A表示的分式是() 2x2 A. y+1 B.y+1 C.y-1 D.- 【跟踪专练1】下列代数式中计算的结果等于α的是() A.a÷1a B.a÷a 1 C.a÷ a a 0 【跟踪专练2】化简：4+4a-2 2a-2 ÷a-1 【跟踪专练3】计算：（-2x2y)÷2xy小xy）= 试卷第1页，共3页