期中解答题突破训练2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

期中解答题突破训练2025-2026学年鲁教版 （五四制）八年级下册 板块一：特殊平行四边形 1．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，若四边形AEBO是菱形，求证：四边形ABCD是矩形． 2.如图，点E为的边的中点，连接并延长交的延长线于点F，．求证：四边形为菱形． 3.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若∠AOD＝110°，求∠CDE的度数． 4.如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形． 5.在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上且DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝6，BF＝8，AF平分∠DAB，求DF的长． 6．如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的面积． 7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 8．综合与探究 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动．已知菱形纸片，． 成果展示 （1）第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处，折痕分别交，于点F，E．判断四边形的形状，并加以证明． （2）第二小组：将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图2所示的位置，点A的对应点为点P，折痕交于点E，交于点G． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点 M．若M恰好是的中点，且，请直接写出线段的长． 深入探究 （3）在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕剪开纸片，将纸片绕点B按逆时方向旋转（点E的对应点为，点P的对应点为），当与所在的直线垂直时，且，请直接写出点到直线的距离． 板块二：二次根式 1.计算：． 2.计算：． 3.计算： （1）； （2）． 4.已知x＝+2，y＝． （1）化简y； （2）求的值． 5.先化简，后求值：，其中． 6.如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． （1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积； （2）当a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面积． 7.有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为18dm2和32dm2的两块正方形木板． （1）截出的两块正方形木板的边长分别为 　　dm，　　dm； （2）求剩余木板的面积； （3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的矩形木条，最多能截出 　　个这样的木条． 8.阅读下列解题过程： ＝＝＝﹣1； ＝＝＝﹣． 请回答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①＝　　；②＝　　； （2）应用：求++++…+的值； （3）拓广：﹣+﹣＝　　． 板块三：一元二次方程 1.按要求解下列方程： (1)（直接开方法）；(2)（配方法）． 2.用合适的方法解下列方程： (1)(2) 3.已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围： （2）若方程有一个根为，求方程的另一根． 4.关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两个实根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值． 5.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 6.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）． （1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？ （2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？ 7.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 【答案】 期中解答题突破训练2025-2026学年鲁教版 （五四制）八年级下册 板块一：特殊平行四边形 1．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，若四边形AEBO是菱形，求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】证明：∵AB＝CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝AC，OB＝BD， ∵四边形AEBO是菱形， ∴OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形． 2.如图，点E为的边的中点，连接并延长交的延长线于点F，．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 3.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若∠AOD＝110°，求∠CDE的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠AOD＝110°， ∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣70°）＝55°， ∵DE⊥AC， ∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°， ∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°； 故∠CDE的度数为35°． 4.如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形． 【答案】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴； （2）∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵为等腰直角三角形，，为中线， ∴，， ∴平行四边形是正方形． 5.在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上且DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝6，BF＝8，AF平分∠DAB，求DF的长． 【答案】（1） 略（2）10 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∵DF＝BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）解：∵四边形BFDE是矩形， ∴∠BFD＝90°， ∴∠BFC＝90°， 在Rt△BCF中，CF＝6，BF＝8， ∴BC＝＝＝10， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∵AB∥DC， ∴∠DFA＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴AD＝DF， ∵AD＝BC， ∴DF＝BC， ∴DF＝10． 6．如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． （2）解：如图：设相交于点O， ∵是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 【答案】(1)见解析 (2)135° 【详解】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O， ∴OD=OC． ∴四边形OCED是菱形． （2）解：∵矩形ABCD中，AB=AD， ∴矩形ABCD是正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°， ∴∠BDC=∠ACD=． ∵DE∥AC， ∴∠EDC=∠ACD=45°， ∴∠ADE=90°+45°=135°． 8．综合与探究 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动．已知菱形纸片，． 成果展示 （1）第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处，折痕分别交，于点F，E．判断四边形的形状，并加以证明． （2）第二小组：将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图2所示的位置，点A的对应点为点P，折痕交于点E，交于点G． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点 M．若M恰好是的中点，且，请直接写出线段的长． 深入探究 （3）在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕剪开纸片，将纸片绕点B按逆时方向旋转（点E的对应点为，点P的对应点为），当与所在的直线垂直时，且，请直接写出点到直线的距离． 【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析；（2）①，证明见解析； ②；（3）点到直线的距离 【详解】解：（1）四边形是菱形，证明如下： 设与交于点， ∵菱形纸片， ∴， ∵折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处， ∴，，垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①，证明如下： 如图，连接、、 ∵菱形，， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵M恰好是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）设直线与直线交于点，与直线交于点， ∵在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕剪开纸片，将纸片绕点B按逆时方向旋转，， ∴，， ∵与所在的直线垂直， ∴，， ∴， ∴， 由（2）可得和之间的距离为，即， 当在左边时，如图，此时点到直线的距离； 当在右边时，如图，此时点到直线的距离； ∴点到直线的距离． 板块二：二次根式 1.计算：． 【答案】解：原式 4 ＝3． 2.计算：． 【答案】解：原式 ． 3.计算： （1）； （2）． 【答案】（1）7； （2）﹣2+2． 【解答】解：（1） ＝4+ ＝7； （2） ＝18﹣12﹣（5﹣2+3） ＝18﹣12﹣8+2 ＝﹣2+2． 4.已知x＝+2，y＝． （1）化简y； （2）求的值． 【答案】（1）﹣2； （2）18． 【解答】解：（1）y＝＝＝﹣2； （2）∵x＝+2，y＝﹣2， ∴xy＝（+2）（﹣2）＝1，x+y＝+2+﹣2＝2， ∴＝＝＝﹣2＝﹣2＝20﹣2＝18． 5.先化简，后求值：，其中． 【答案】解： ＝ ＝； 当时， 原式＝． 6.如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． （1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积； （2）当a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面积． 【答案】解：（1）剩余部分的面积为：ab﹣4x2； （2）把a＝20+2，b＝20﹣2，x＝代入ab﹣4x2得： （20+2）（20﹣2）﹣4×（）2 ＝400﹣8﹣4×2 ＝400﹣8﹣8 ＝384． 7.有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为18dm2和32dm2的两块正方形木板． （1）截出的两块正方形木板的边长分别为 　　dm，　　dm； （2）求剩余木板的面积； （3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的矩形木条，最多能截出 　　个这样的木条． 【答案】（1）3，4； （2）6dm2； （3）2． 【解答】解：（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为＝3dm，＝4dm， 故答案为：3，4； （2）根据题意得：矩形的长为3（dm），宽为4dm， ∴剩余木料的面积＝（7）﹣18﹣32＝6（dm2）； （3）根据题意得：从剩余的木料的长为3dm，宽为4＝（dm）， ∵3，， ∴能截出2×1＝2块这样的木条． 故答案为：2． 8.阅读下列解题过程： ＝＝＝﹣1； ＝＝＝﹣． 请回答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①＝　　；②＝　　； （2）应用：求++++…+的值； （3）拓广：﹣+﹣＝　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①＝＝﹣； ②＝＝﹣； 故答案为：﹣；﹣； （2）++++…+ ＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣ ＝﹣1； （3）﹣+﹣ ＝﹣+﹣ ＝﹣+﹣ ＝ ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 板块三：一元二次方程 1.按要求解下列方程： (1)（直接开方法）；(2)（配方法）． 【答案】(1)(2)， 【详解】（1）解：原方程可变形为， ， 开平方，得 ， 即，或， ∴； （2）解： 方程两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得， ， ∴， 即，或， ∴，． 2.用合适的方法解下列方程： (1)(2) 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解： ， 或， ，； （2） 整理得， ， 或， ，． 3.已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围： （2）若方程有一个根为，求方程的另一根． 【答案】（1）且 （2） 【小问1详解】 关于的一元二次方程有两个不等的实数根， 且， 故答案为：的取值范围是且； 【小问2详解】 把代入到关于的一元二次方程中，得 ， ， ， ，， 故答案为：方程的另一根是． 4.关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两个实根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值． 【答案】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×2m ＝m2+8m+16﹣8m ＝m2+16＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意得x1+x2＝﹣（m+4），x1x2＝2m， ∵x1+x2+x1x2＝m2﹣4m， ∴﹣（m+4）+2m＝m2﹣4m， 解得m＝1或4， 即m的值为1或4． 5.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】解：设每件童装应降价x元， 由题意得：（40﹣x）（20+2x）=1200， 解得：x=10或x=20． 因为减少库存，所以应该降价20元． 6.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）． （1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？ （2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？ 【答案】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得： ×2t（6﹣t）=××6×8， 解得：t=2或4． 答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一． （2）设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得： （6﹣x）2+（2x）2=36， 解得：x=0（舍去）或x=． 答：秒时，P、Q相距6厘米． 7.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 【答案】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%， 依题意得：400×（1﹣x%）2=324， 解得：x=10，或x=190（舍去）． 答：该种商品每次降价的百分率为10%． （2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件， 第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）； 第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）． 依题意得：60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210， 解得：m≥22.5． ∴m≥23． 答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件． 学科网（北京）股份有限公司 $