精品解析：辽宁盘锦市大洼区田家学校2025-2026学年九年级下学期阶段考试数学试卷

田家学校2025—2026第二学期九年级阶段考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在，，，0四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，可得答案． 【详解】解：∵， ∴最小的数为 故选：C． 2. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形，可知圆柱的俯视图为竖向，且在正方体内部，应为虚线，判断即可． 【详解】解：该几何体的俯视图是． 3. 2025年阜新市春耕备耕工作已全面展开．今年我市将完成粮食作物播种面积560万亩以上、产量53亿斤的目标任务，其中53亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，要求，为整数，解题需先将53亿化为原数，再按要求确定和即可． 【详解】解：∵， 根据科学记数法的要求可得， 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A：合并同类项时系数相加，字母和指数不变，，运算错误； B：单项式相乘时，系数与系数相乘，同底数幂相加指数，，运算错误； C：同底数幂相除，底数不变指数相减，，运算正确； 对选项D：积的乘方中负数的偶次幂为正数，，运算错误． 5. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别判断选项即可得出答案． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称图形以及中心对称图形的判断，熟练掌握两种特殊图形的概念是解题关键，做题时注意看清楚题目要选的是哪种图形. 6. 如图，的对角线与相交于点，若，则的长是（ ） A. B. C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，利用平行四边形的性质求解，再利用勾股定理求解，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 7. 某路口交通信号灯的一个完整周期为60秒．在每个周期中，绿灯时长为25秒，黄灯5秒，红灯30秒．出租车司机小李在通过该路口时，刚好遇上绿灯的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，根据概率公式，所求事件的概率等于绿灯时长除以信号灯一个周期的总时长，直接计算即可． 【详解】解：∵ 交通信号灯一个完整周期的总时长为秒，绿灯时长为秒． ∴ 刚好遇上绿灯的概率为． 8. 如图，直线，一副三角板放置在之间，一个三角板的斜边在上，较长的直角边与另一个三角板的斜边在同一直线上．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质得到的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，延长交直线于点F， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 10. 如图，在中，，，以点B为圆心、任意长为半径画弧，交，于点D，E；分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线；连接，．若平分的外角，且，，则的面积为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查作角平分线，角平分线性质定理，勾股定理等知识，过点作交的延长线于点，作交的延长线于点，作，证明出，可得平分，由三角形内角和定理得，即可得，，得出，由勾股定理得，可得，根据三角形面积公式可得的面积． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，作交的延长线于点，作， ∵， ∴， 由作图得，平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式．熟悉公因式的结构特征是解题的关键． 利用提公因式将提取出来，分解因式即可． 【详解】解：． 12. 线段是由线段平移得到的，点的对应点为，那么点的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据P点的对应点为E可得点的坐标的变化规律，则点Q的坐标的变化规律与P点的坐标的变化规律相同即可． 【详解】解：∵点P（−1，2）的对应点为E（3，−5）， ∴点E是由点P向右平移4个单位长度，向下平移7个单位长度得到的， ∴点Q（2，1）的对应点F的坐标为（6，−6）， 故答案为：（6，−6）． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化—平移，关键是掌握把一个图形平移后，各点的变化规律都相同． 13. 如图，在中，D，E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】由，F、G为边的三等分点，G为的中点，可得，列比例式可求，再证明，列比例式可求． 【详解】解：∵D，E为边的三等分点，， ∴F、G为边的三等分点，G为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质，作出合适的辅助线是解题的关键．延长交轴于点，过点作轴，利用，证得为等腰三角形，求得点坐标，求出直线解析式，然后联立抛物线解析式即可求解． 【详解】解：延长交轴于点，过点作轴，如图所示， 点在抛物线上，代入， 解得， 点， ，令，即， 解得， ， ， ， ， ， ， 点, 设直线解析式为，将点，点，代入解析式求得 直线解析式为， 联立直线和抛物线解析式得， 解得，， 其中即为点的坐标， 点D坐标为． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点E在上，点F在对角线所在的直线上，，直线与直线交于点G，直线与直线交于点H，若，则的长为________． 【答案】3或7 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，根据与线段的位置关系分情况讨论，设，过作于，先由求出， 再由结合用表示出，最后根据，得到，代入后解方程即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， 设， 当在线段上时，如图，过作于， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 当在线段外时，如图，过作于， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述，或， 故答案为：3或7． 三.解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算与化简： （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算绝对值，零指数幂和乘方，再计算减法即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 第九届亚冬会于2月14日在哈尔滨市闭幕．某校为了解七、八年级学生对本届亚东会的关注程度，从这两个年级各随机抽取n名学生进行了亚东会知识竞赛，竞赛成绩分六组（x表示得分），A：，B：，C：，D：，E：，F：．成绩整理后绘制了如下统计图表： 已知八年级竞赛成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）__________，__________； （2）求八年级竞赛成绩的中位数； （3）已知该校七、八年级各有500名学生，若竞赛成绩不低于90分认定对亚东会关注程度高，请估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有多少人． 【答案】（1）20，4 （2） （3）估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有275人． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解答． （1）根据八年级D组人数及其所占百分比即可得出n的值，用n的值分别减去其它各组的频数即可得出a的值； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：八年级测试成绩D组：的频数为7，由扇形统计图知D组占， ∴进行冬奥会知识测试学生数为（人）， ∴， 解得， 故答案为：20，4； 【小问2详解】 解：A、B、C三组的频率之和为， A、B、C、D四组的频率之和为， ∴中位数在D组，将D组数据从小到大排序为85，85，86，86，87，88，89， ，第10与第11两个数据为86，87， ∴中位数为； 【小问3详解】 解：八年级E：，F：三组占， 共有人 七年级E：，F：两组人数为人， 两年级共有人 占样本 ∴（人）， 估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有275人． 18. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． （1）求出与之间的函数关系式； （2）若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价为90元 （3）最大利润是10000元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）一件的利润为元，涨价后的销售量为元，根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出函数关系式； （2）由所得函数关系式，求出当函数值为6000时，解一元二次方程即可求出自变量的值； （3）由题意解不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润． 【小问1详解】 解：由题意得：， 整理得：； 答：与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 答：该玩具销售单价为90元； 【小问3详解】 解：由题意得：， 解得：； ∵，， ∴当时，函数取得最大值，且最大值为10000； 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 19. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求； （3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； 【小问3详解】 解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 20. 随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，． （1）求此时液压杆的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）3米 （2）伸长到的最大长度为6米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点作，分别解直角三角形和直角三角形，进行求解即可； （2）易得，旋转得到，解直角三角形得到，，利用，求出的长，再减去的长即可得出结果． 【小问1详解】 解：过点作， 在中，，， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 由题意，得：， 在中， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故：伸长到的最大长度为6米． 21. 如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P． （1）求证：； （2）若⊙的半径，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵是的切线， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据是的切线，得出．根据，可证．得出．根据同弧所对圆周角性质得出即可； （2）连接．根据直径所对圆周角性质得出，．可证．得出．根据勾股定理．再证．求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵为直径， ∴ ， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，熟练掌握圆周角性质和三角形相似判定与性质是解题关键． 22. 正方形是常见的几何图形．老师组织数学兴趣小组展开对正方形的研究． 【初尝发现】 （1）如图1，已知正方形中，点E为边上的点，点F为线段延长线上一点，连接，，，且．试判断的形状，并说明理由． 【拓展探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，与线段，分别交于点M，N． ①求证：M为的中点； ②若，E为中点，求的长度； 【迁移应用】 （3）如图3，中，，，两外角，角平分线交于点P，点C关于直线对称点Q，连接．若，请直接写出的长度． 【答案】（1）等腰直角三角形， 理由如下： 四边形是正方形， ，， 又， ， ，， ，即， ∴为等腰直角三角形； （2）①如图， 过点作交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， 由（1）知， ， 由得，，， ， ，即M为的中点； ②；（3）10． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握这些性质，并作出适当的辅助线是解题的关键． （1）证明即可得到，，从而可求，进而得到答案； （2）①过点作交于点，证明即可；②求出利用写出比例即可求； （3）连接，，，作关于的对称点，连接，．证明是的角平分线，证明，以此说明三点共线，同理可证三点共线，从而判断的形状，过P作于J，求出，设，在内利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）①略 ②由题可得，， ， ， 由知， ， 又∵， ， ∵是等腰直角三角形，M是中点， ∴， ∴ ∴， ， 由知： ∵， ， ∴是中点， ， ， ， ； （3）如图， 过P分别作的垂线，垂足分别为， ∵分别是，的角平分线， ∴， ∴P在的角平分线上． 如图，连接，，，作关于的对称点，连接，， 由为的平分线知：， 由对称性质得垂直平分， ，， 又 ， ，， 又， ， ， ， 三点共线． 同理三点共线，， ∴为等腰直角三角形， ， 如图，过P作于J， ，， ∴， ， 设，则， ∴在中， ，解得， ∴． 23. 新定义：若函数图象上存在点，将其横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到点，则称点B为点A的“a倍横变点”，所有“a倍横变点”构成的函数称为原函数的“a倍横变函数”． 例如：函数上的点的“3倍横变点”为，函数的“3倍横变函数”为． （1）点在一次函数的图象上，点B是点A的“倍横变点”求点B的坐标； （2）点C在反比例函数的图象上，点D是点C的“倍横变点”，若线段的中点E在直线上，求点C的坐标； （3）已知函数． ①求出函数的“2倍横变函数”的表达式； ②在①的条件下，将①中“2倍横变函数”在直线上方的部分沿直线向下翻折，与在直线及下方的部分共同组成新函数F的图象，当直线与新函数F的图象恰好有4个公共点时，求出b的取值范围； 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】题目属于新定义题型，考查一次函数、二次函数、反比例函数的性质等，理解题意是解题关键． （1）将代入确定，再由题意即可求解； （2）设点，依题意可知点，再由中点坐标得出点，代入函数求解即可； （3）①设函数图像上的点，则点M的2倍横变点N的坐标为，设，得出点，代入函数解析式即可；②根据题意得出折点，，求出当直线过点H时，当直线与在点H下方只有一个交点时，两种情况下b的值，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得；， ， 点B是点A的倍横变点，， 点； 【小问2详解】 设点，依题意得点， 点E是线段的中点， 点， 点E在直线上， ， 解得：， ， ， 点； 【小问3详解】 ①设函数图像上的点， 则点M的2倍横变点N的坐标为， 设，则， 点， ， 函数的2倍横变函数的表达式为：； ②当时，， 整理得：， 解得：，， 折点，， 当直线过点H时， ，， 当直线与在点H下方只有一个交点时， 一元二次方程即：有两个相等的实数根， ， 解得：， 当直线与新函数F的图象恰好有4个公共点时，b的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 田家学校2025—2026第二学期九年级阶段考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在，，，0四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年阜新市春耕备耕工作已全面展开．今年我市将完成粮食作物播种面积560万亩以上、产量53亿斤的目标任务，其中53亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 6. 如图，的对角线与相交于点，若，则的长是（ ） A. B. C. 8 D. 12 7. 某路口交通信号灯的一个完整周期为60秒．在每个周期中，绿灯时长为25秒，黄灯5秒，红灯30秒．出租车司机小李在通过该路口时，刚好遇上绿灯的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线，一副三角板放置在之间，一个三角板的斜边在上，较长的直角边与另一个三角板的斜边在同一直线上．则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，以点B为圆心、任意长为半径画弧，交，于点D，E；分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线；连接，．若平分的外角，且，，则的面积为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 12. 线段是由线段平移得到的，点的对应点为，那么点的对应点的坐标为______． 13. 如图，在中，D，E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则______． 14. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为_____________. 15. 如图，在矩形中，，，点E在上，点F在对角线所在的直线上，，直线与直线交于点G，直线与直线交于点H，若，则的长为________． 三.解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算与化简： （1）计算：． （2）化简：． 17. 第九届亚冬会于2月14日在哈尔滨市闭幕．某校为了解七、八年级学生对本届亚东会的关注程度，从这两个年级各随机抽取n名学生进行了亚东会知识竞赛，竞赛成绩分六组（x表示得分），A：，B：，C：，D：，E：，F：．成绩整理后绘制了如下统计图表： 已知八年级竞赛成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）__________，__________； （2）求八年级竞赛成绩的中位数； （3）已知该校七、八年级各有500名学生，若竞赛成绩不低于90分认定对亚东会关注程度高，请估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有多少人． 18. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． （1）求出与之间的函数关系式； （2）若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 19. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 20. 随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，． （1）求此时液压杆的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，） 21. 如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P． （1）求证：； （2）若⊙的半径，求线段的长． 22. 正方形是常见的几何图形．老师组织数学兴趣小组展开对正方形的研究． 【初尝发现】 （1）如图1，已知正方形中，点E为边上的点，点F为线段延长线上一点，连接，，，且．试判断的形状，并说明理由． 【拓展探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，与线段，分别交于点M，N． ①求证：M为的中点； ②若，E为中点，求的长度； 【迁移应用】 （3）如图3，中，，，两外角，角平分线交于点P，点C关于直线对称点Q，连接．若，请直接写出的长度． 23. 新定义：若函数图象上存在点，将其横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到点，则称点B为点A的“a倍横变点”，所有“a倍横变点”构成的函数称为原函数的“a倍横变函数”． 例如：函数上的点的“3倍横变点”为，函数的“3倍横变函数”为． （1）点在一次函数的图象上，点B是点A的“倍横变点”求点B的坐标； （2）点C在反比例函数的图象上，点D是点C的“倍横变点”，若线段的中点E在直线上，求点C的坐标； （3）已知函数． ①求出函数的“2倍横变函数”的表达式； ②在①的条件下，将①中“2倍横变函数”在直线上方的部分沿直线向下翻折，与在直线及下方的部分共同组成新函数F的图象，当直线与新函数F的图象恰好有4个公共点时，求出b的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $