数列解答题训练-2026届高三数学二轮复习

数列解答题训练 数列的求和 1.（23-24高三下·内蒙古包头·三模）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等比数列，并求； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【解析】（1）因为，又，所以，整理得．由题意得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故，即． （2）由（1）可，当时，， 当时，，所以， . 当，代入满足公式，综上， 2．（24-25高三上·江苏镇江·模拟预测）已知数列满足， (1)记，写出，，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求的前20项和． 【答案】(1)，，证明见解析，；(2). 【解析】（1）依题意，，， 显然，因此， 所以数列是等差数列，其首项为1，公差为4，通项 （2）当n为奇数时，， 所以的前20项和为 数列恒成立（有解）问题 1.（24-25高三上·江西上饶·月考）设函数，数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，若对一切成立，求最小正整数的值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）结合题意可知， 两边取倒数可得：，即. 所以数列是以首项，公差为的等差数列. （2）由上问可知数列是以首项，公差为的等差数列， 所以，所以. 所以. 又，也满足上式，所以 由可得： ， 所以，因为对一切成立， 所以,解得. 最小正整数的值为. 2．（2024·四川巴中·模拟预测）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数n． 思路详解：（1）由得， 则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 所以 ， 数列是单调递增数列， 当时，， 当时，， 所以满足条件的最大整数为. 3．（2024·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和为，数列是公差为的等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得，结合计算即可求解； （2）由（1）可得，利用裂项相消求和法可得，则，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）由题意知：数列是公差为的等差数列，又， 所以，整理得：， 又当时，， 因为满足上式，所以， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，可得， 故； 解法1：由，可得， 即，则， 又由， 当且仅当即时取等号，故实数的取值范围为. 解法2：由， 可得， 当，即时，， 则，故实数的取值范围为. 4.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】（1）证明为常数即可证明为等比数列，根据等比数列通项公式即可求通项公式，从而得证； （2）先求出，根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，题设化简为，通过讨论为奇数或偶数，即可求λ的范围. 【详解】（1）由已知，， ，，， 又， ， 数列中任意一项不为0， ， 数列是首项为2， 公比为2的等比数列. （2）由第（1）问知， ， 则，所以①， ②， 所以①-②可得： ， 所以. 由，得， 化简得. 当 为奇数时，有，即， 而，所以； 当为偶数时，有， 而，所以. 综上，的取值范围为. 数列与不等式的证明 1.（2025·辽宁沈阳·三模）已知数列中，，，且数列为等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.85 【分析】（1）求出数列的公差，可求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （2）利用裂项求和法求出，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为数列中，，，且数列为等差数列， 设数列的公差为，则，故， 所以，故. （2）因为， 所以 ，故原不等式成立. 2.已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）利用累加法与等比数列前项和公式，即可求解. （2）证法1：（借助“糖水不等式”放缩）：；证法2：利用化简后放缩，证法3（等比放缩）：，从而可求解. 【详解】（1）由 累加可得． 故数列的通项公式为：. （2）证法1：（借助“糖水不等式”放缩）： 由（1）可得， ， 所以． 证法2：， 所以． 证法3（等比放缩）：由证法2得， 所以． . 数列存在性问题 已知数列，数列的前n项和为，且. (1)令，求数列的前n项和. (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）因为 故数列为等差数列，公差为2， 又， 所以. 所以数列的通项公式. 因为① ② ①-②可得， 当n=1时，， 故是首项为2，公比为3的等比数列， 所以数列的通项公式. 因为 所以 化简得：. （2）由（1）知，. 所以. 所以. 设数列中存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 则，所以，即. 又因为m，k，p成等差数列，所以，所以， 化简得，所以， 又，所以与已知矛盾. 所以在数列中不存在3项，，成等比数列. 数列与导数 （思路：假设两个正项数列,,其前项和分别为,,若,则;若,则;因此,要解决之类的证明问题,可以将不等号右边的看出是某个正项数列的前项和,根据求出,进而证明,则相当于证明出.） 1．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若函数在区间上单调递增． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【难度】0.65 【分析】（1）根据条件，利用几何意义得，即可求解； （2）（ⅰ）根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，构造函数，再分和两种情况讨论，即可求解；（ii）利用（i）中结果得，令，得到，再利用累加法，即可求解. 【详解】（1）由题知，则， 又因为曲线在点处的切线与直线平行， 故，解得． （2）（ⅰ）由题知，函数在区间上单调递增， 故在区间上恒成立，令，则有， 又，则， ①当，即时，令，得到，解得， 当时，，所以在区间上单调递减， 又，则时，，即， 即在区间上单调递减，不符合题意； ②当，即时，在上恒成立， 故在区间上单调递增，又，故，即， 故函数在区间上单调递增，符合题意． 综上，的取值范围是． （ⅱ）由（ⅰ）知，当时，在区间恒成立，则． 令，则有， 所以，，，， 则， 所以， 故． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设，讨论函数的零点个数； (3)证明：，． 【答案】(1)递增区间是，递减区间是； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【难度】0.65 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间. （2）求出函数的导数，按讨论单调性，借助零点存在性定理及函数最值情况分类得解. （3）由（2）可得，再利用不等式性质及累加法推理得证. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，则函数存在唯一零点； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当时，，当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大， 当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，函数有2个零点； 当时，，函数存在唯一零点； 当时，，函数无零点，即零点个数为0， 所以当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有0个零点. （3）由（2）知，当时，，当且仅当时取等号， 取，则， 因此， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列解答题训练 数列的求和基本问题 1.（23-24高三下·内蒙古包头·三模）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等比数列，并求； (2)求数列的前n项和． 2．（24-25高三上·江苏镇江·模拟预测）已知数列满足， (1)记，写出，，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求的前20项和． 数列恒成立（有解）问题 1.（24-25高三上·江西上饶·月考）设函数，数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，若对一切成立，求最小正整数的值. 2．（2024·四川巴中·模拟预测）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列；(2)若，求满足条件的最大整数n． 3．（2024·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和为，数列是公差为的等差数列，且. (1)求数列的通项公式；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 4.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 数列与不等式的证明 1.（2025·辽宁沈阳·三模）已知数列中，，，且数列为等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 2.已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求证：． 数列存在性问题 已知数列，数列的前n项和为，且. (1)令，求数列的前n项和. (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 数列与导数 （思路：假设两个正项数列,,其前项和分别为,,若,则;若,则;因此,要解决之类的证明问题,可以将不等号右边的看出是某个正项数列的前项和,根据求出,进而证明,则相当于证明出.） 1.（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若函数在区间上单调递增． （ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：，． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的单调区间；(2)设，讨论函数的零点个数； (3)证明：，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $