解答题第18、19题34分练 专攻练（2）数列 -2026届高三数学三轮冲刺

高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 必刷小卷2解答题第18、19题专攻练[2]数列 口口题型一等差等比综合与裂项放缩求和 1. (2026·黑龙江哈尔滨第三中学二模，17分)已知数列{a,}满足4=2，a1=an+2(n+1), neN‘，等比数列{b}的前n项和为Sn,且满足b,=42-2, S6=9 S3 (1)求数列{a}和{bn}的通项公式 2n+3 7 (2)设Cn= ,证明： a b <12 (3)设dn= （2n-1(bn+1) b. ,求数列[d,}的前“项和。（其中[y表示不超过x的最大整数，如 [-3.5]=-4,[2.1=2). 规范答题 4 口口题型二递推数列构造与不等式证明 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 2. (2026·湖北随州二模)已知数列1a,和0，S,为数列a的前n项和，a=10,∈0，且 Sn=+ 22 tane d2cos0 (1)求a2'a3; (2)求数列{an}的通项公式： (3)求证：Sn≤2+V32"-2-1 规范答题… 口·题型三等差数列判定与恒成立求参 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 3. (2026·河北那台一模，17分)已知数列{a,满足4，=2，Q1=2-1 neN*,函数 a f(x)=Inx. 1) 证明： 数列 a,-i 是等差数列 2) 求使不等式 ∑∫a)>a,成立的最小正整数的值. (3)若fan)> tsin(a-1) 恒成立，求实数t的取值范围。 a 规范答题 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题」 口·题型四等比数列重排与概率综合探究 4.(2026·江苏苏北七市二调，17分)已知有限等比数列{a,}的项数为WN≥3)，4，>0，公比 q∈(0,1.将{a,}的所有项按照某种顺序排成一列，得到数列{b,},使得1≤i<j≤N时，a,b≥ab (1)若N=3,写出所有满足条件的{b}: (2)是否存在{b}，使得对任意3≤k≤N,b,≠b,-b都成立？并说明理由； (3)从满足条件的所有数列b}中随机抽取一个，求抽到的{b,}为等比数列的概率。 规范答题 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 口·题型五数列几何综合与存在性求解 5.(2026·江苏南京一模，17分)己知圆C:(x-1)2+y2=1,点P1,1,对于圆C上的点 Pn(a,b)(n∈N),按照如下方式构造点P1;过点P,作直线1n垂直于轴，Mn为点P,在轴上 的射影，点2.满足Mn2,=1MnP,(为常数，入≥5)，直线O0交C于点P+,其中C为坐标原 点，点Pn1异于点C (1)若入=3，求P2的坐标； (2) 证明： 数列 为等比数列： (3)已知P(2,0),设△OPPn+1及△PPPn+1的面积分别为S.,T.,若存在正整数m,n(m<m),使 得n2Tn（Sn-Tm)=m2Tm（Sn-T),求所有可能的值. 规范答题 ... 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题」 口口题型六函数零点数列与不等式放缩 6. (2026·江苏南京六合区名校联盟一调，17分)设a,=x，b=(白)2，Sn为数列{an·b}的前m 项和，令fnx=Sn-l,xeR,aeN. 2n-1 (1)若x=2, 求数列 的前n项和T。; a (2)求证：对neN,方程fnx)=0在xn∈ 上有且仅有一个根： (3)求证：对p∈N,由(2)中xn构成的数列{x满足0<xn-x+p< 规范答题 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 口·题型七等差等比交汇与参数范围探究 7.(2026·安徽准北第十二中学一模，17分)设{}是首项为a,公差为d的等差数列，b,}是首 项为b1,公比为q的等比数列 (1)设a1=0,b=1,9=2,若am-bn≤b对n=1,2,3,4均成立，求d的取值范围： (2)若a=b>0,meN,g∈L,2],证明：存在deR,使得a,-bnb对n-2,3,,m+1均成立， 并求c的取值范围（用b,m,9表示）· 规范答题 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题」 口口题型八新定义伪等比数列性质探究 1 8. (2026·河北文安第-中学一模，17分)若数列{a满足对任意的n∈N°，都有aL∈{9，， 则称数列{an}为q一伪等比数列 (1)若数列{an}为2-伪等比数列，41=1，求a4的所有可能取值； (2)证明：对任意的n=3k+2k∈N,存在t∈N以及一个首项为1的2-伪等比数列{an},使 得数列{an}的前n项和Sn=2'+2; (3)若数列{an}为q一伪等比数列，数列{an}的前n项积T=a",当n≥2时，证明：n=4k或 n=4k+1,k∈N. 规范答题高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 必刷小卷2解答题第18、19题专攻练[2]数列 口口题型一等差等比综合与裂项放缩求和 1.(2026·黑龙江哈尔滨第三中学二模，17分)已知数列{a}满足4=2，a1=an+2(n+1), S6=9. neN,等比数列么，的前：项和为S,且满是6，=4-2, (1)求数列{a}和b,}的通项公式： 2n+3 (2)设cn= ,证明： az b 29<12 (3)设d,=(2n-1色，+ b ,求数列[d,]}的前项和7。（其中[刂表示不超过x的最大整数，如 [-3.5]=-4,[2.1=2). 【解析】(1)当n≥2时，0，-a=2m,则a,=2n+2n-1)+4+2=2×m,+D=nn+1, 2 当n=1时，a=2满足上式，.an=nn+l): 设等比数列{b,}的公比为q, b(1-q) 则b2=6-2=4, S。=1-9-0-92-0+91-92-1+g=9, S3b(1-q3)(1-q3)(1-g3) 1-9 解得g=2，“bn=b,g-2=4×2-2=2. 2n+3 2n+3 2)由(1)得c,=2m2n+12<(2n-1(2m+1)2(2n-)2(2n+12 1 171 7 含62s2322m-222gea+2E 3)d,-2m-1a+1.2n=1+2m-1 b 2n 先证2”>2n-1. 法一：当n=1时，2>1成立， 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ ,nn-1 当n≥2时，2”=C9+Cn+C2+…+C≥C9+Cn+C2=1+n+ 2 要1+n仍>2n-1,只送-3+4-气@-引+子0成立。 2 n∈N,n-3+4=气-+>0恒成立，2>2-1 法二：当n=1时，2>1成立， 当n≥2时，设f(n)=2”-2n+1,fn+1-f(n)=2”-2>0, 则f(川单调递增，f(m川≥f(2)>0,2”>2m-1,0<2n-1<1, 2 则[d]=2n-1,7=0+2n-)=m2. 2 口口题型二递推数列构造与不等式证明 2随州三模)已知数列0，和0，S,为数列Q的前n项和，Q10 √3 二tan0,，an+l= 2cose, (1)求a2'a3; (2)求数列{a,}的通项公式： (3)求证：Sn≤2+V32-2-1. π =1， 6 2cos0, 5=5 得0，=故4,2c0 2)由a=S1-5.=5 1 2(tane-tane)=2 coso 得tan6n+-tan6n= ,又tane1-tane。sin0h-sing。-sin(0l-0 cos0. cose cose cose,cose 所以 in(9-0,=1 cose,cose cose 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 两边月时英以…8.0有n@-01=cw8=n[行-0 于a-a-引周”1兽 .1得0， 6 √5 2sin 23×2- 3×2n- 5 经验证a,也符合，所以0，= 2sin、π 3×2-2 (3)树造丽数f=si血x-x0≤x≤石，则f)=c0sx-3 3。 6 所以心)左0，君单调递减.且/0)>0，f60. 由零点存在定理，存在唯一的∈0， 使得f'(x)=0, 6 则当x∈0)时，f)>0:当xe（君时，f)<0: 故)在0，)上单调递增，在()上单调递减， 又f(0)=f -,所以)-mx2≥00sxs 所以当x 0,时，sinx>3x 6 x,所以当n≥之3时，sin 3x2-2元3×2-22-2 5 3 所以当n≥3时，a,= -≤ 1 -=√3×2"-3 2sin π 3x222 2-2 当n23猫，3=4+a:+…+a=11+4+…+a≤2+)2+52-刂 当n=1,n=2时，不等式成立. 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 口口题型三等差数列判定与恒成立求参 3。（2026·河北那台一模，17分)已知数列a满足a=2,au=2-1, ,n∈N,函数 f(x)=Inx. (1)证明：数列 是等差数列. an-1 (2)求使不等式∑a)>a,成立的最小正整数的值. i= (3)若f(an)> tsin(a,-恒成立，求实数的取值范围. an 【解折】(1)白4=2-可行，a4-1=2-1-1=1--8 an an 则1，=8=-1+1=1+1 41a1aa0了7 =1, a+1-1an-1 R11=1,故数列， a-12-1 是以首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知， =1+n-1×1=,所以a,=1+月 a,-1 n f(e.)-hn1+-h221-In()-hn. n f(a)=(In2-In1)+(In3-In2)+..+(In(n+l)-Inn)=In(n+1). 则不等式∑fa>a,可化为Ia(a+>1+日 设gm)=lh(n+)-1-(n∈N),因为y=ln(x+1),y=-在定义域内均为增函数， 所以gm)=n(m+1)-1-1在定义域内为增函数， n 又82)=h3-1n3-令M=nx,h到-}2。 x 2 2x 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 当0<x<2时，h'(x)>0,h(x)在(0,2上单调递增： 当x>2时，h'x<0,hx在(2，+o上单调递减. 所以()在x=2处取得最大位，又2)=ln2-号n2-1<nc-1=0, 所以3到<2，即g2到=h3-<0,也即当n=2时，a2+<1+号 因=64>e,所以4>F.,所以n4>ne-手即当n=3时，n(3+>1+号 所以不等式∑f引a,)>a,成立的最小正整数的值为3. 3)若f(a,)>1sin(a.- ，1） tsin 恒成立，即ln1+>恒成立. n)1+ n 且sinx>0, 则不等式可化为1n1+x)>tsinx,即1<L+1+恒成立. 1+x sin x 设o(y=L+n1+,x∈(0]， sin x 则px=[n1++]sinx-1+刘h1+cosx sinx 令w(x)=[ln(1+x)+1]sinx-(1+x)ln(1+x)cosx,x∈(0,1， 则p=smx+[a1+到+小eosx-h1+cox-+到osx+4hi1+小sm mr-hsm=m+a 1+x 当xe0到时，smx>0,+>0,+a1+>0. 所以y'(x>0,则y(x)在(0,1上单调递增，故y(x>y(0)=0,则0'(x)>0, 故px)在(0，刂上单调递增， 当x→0时，lim +a1+刘-mL+x=m1+到=1 sinx x 所以t≤1，即实数t的取值范围为(-o,: 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ ··题型四等比数列重排与概率综合探究 4.(2026·江苏苏北七市二调，17分)已知有限等比数列{a,}的项数为NN≥3)，a1>0,公比 9∈(0,1).将{a}的所有项按照某种顺序排成一列，得到数列{b,},使得1≤i<j≤N时，ab,≥a,b (1)若N=3,写出所有满足条件的b}: (2)是否存在{b,},使得对任意3≤k≤N，,b1≠b-2b都成立？并说明理由： (3)从满足条件的所有数列{b}中随机抽取一个，求抽到的b}为等比数列的概率. 【解析】由a>0,q∈(0,1，得{an}为严格递减的正项等比数列，即a>a2>a>0 根据题意，{b,}是{a,a2,a3}的全排列，且需满足a,b,≥a,b,≥a,b,。 {4,a,a}的全排列共3！=6种，逐一验证： 排列b,b2,b3)=(a,a2,a3)：a>a>a，满足条件； 排列(b,b2,b)=a,a,02)：a>a,a,=a,a2，满足条件； 排列(b,b2,b)=(a2,4,43)：a42=a,4>4，满足条件； 排列b,b2,b=a2,a3,a:a1a2>a2a3，但a2a3<a1a3,不满足条件； 排列b,b2,b=a3,a1,a2:aa3<a,a2,不满足条件： 排列b,b2,b）=(4,42,4)：a,43=a=a,41，满足条件； 当N=3时，满足条件的{bn}有4个，分别为 a,a2,a3),(a,a,a2,（a2,a,a3,(a3,a2,a (2)存在{b},使得对任意3≤k≤N,b≠bb都成立. 理由如下： 当N为偶数时，设{bn}为a2,a,a4a,av,av-,① 因为a1a2≥a2a1≥a3a4≥a4a3≥…≥aN-1aw≥avaN-1, 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 即ab,≥a2b2≥a,b,≥a,b,≥…≥aN-bw-1≥axbN,所以①满足条件 K为奇数时，k+3为偶数，a>a2=a+143'a;<aak+2l≤k≤N-3, 所以N为偶数时，存在{b,},使得对任意3≤k≤N,b≠b-b都成立. 当N为奇数时，设{bn}为aa”a2,asa4…，aw,aN-1,② 因为a≥a243≥a,42≥…≥aw-4v≥av4w-1，所以②满足条件， 同理可验证②中，对任意3≤k≤N,b1≠b-b都成立， 即N为奇数时，存在{b},使得对任意3≤k≤N,b≠b-b都成立. 综上，存在{b,},使得对任意3≤k≤N,b1≠b-b,都成立. (3)因为an=aq”,0<q<l,所以a>a2>…>aw. 由ab≥a,b得，b,≥bg,1≤i<j≤N,即b,≥b49,l≤i≤N-1. 记b:=al≤k≤N时，满足题意的{b}的个数为cw-k· 当2≤k≤N时，因为bk-1≥b9=a19=a2,又bk-1≤a2,所以bk-1=a2, 依次类推，{b,}的第1项至第项的排列确定，为a,a,a, 所以当b:=a,时，{b,}个数等于a+a+2…，aw的重新排列个数，即cw-k个. 当k=N时，满足条件的{bn}有1个：aw,aw-…,a2,a1,即co=1. 综上分析，Cw=CN-1+CN-2+…+C+1,所以CN-1=CN-2+Cw-3+…+C+1, 所以Cw=Cw-1+cw-2+cw-3+…+G+=2Cw- 由(1)可知，c=4,所以{Cw}从第3项开始是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以cw=4×2“-3=2-(N≥3).由上述分析，仍为等比数列的{b,}只有两个： aw,aN-…,a2ya1和a1,a2…，aN-”aN, 2 1 所以从所有{b,}中随机抽取一个，抽到{b}为等比数列的概率P= 2N=2N-2· 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 口口题型五数列几何综合与存在性求解 5.(2026·江苏南京一模，17分)己知圆C:(x-1)2+y2=1,点P1,1,对于圆C上的点 Pn(a,bn)(n∈N),按照如下方式构造点P;过点P,作直线1n垂直于轴，Mm为点Pn在轴上 的射影，点2.满足Mn2,=元MnD(为常数，元≥V5)，直线O0交C于点P+1,其中（为坐标原 点，点Pn+1异于点C. (1)若入=3，求P2的坐标； (2)证明：数列 1-1 为等比数列； an 2 (3)已知P(2,0),设△OPPn+及△PPP1的面积分别为S,T。,若存在正整数m,n(m<),使 得n2Tn（Sm-Tm)=m2Tm（Sn-T),求所有可能的值. 【解折】因为，M0,lMg=3M,F所以g,3.,00,:y= 9 [(x-102+y2=1,x= 5’x=0, 93 由 1 得 y=3x. 5'5 y= x, 2因为Pa,b,M0,b）,M,g.=M,E,所以0.a,b00.:y=元0 (x-1)2+y2=1, x= 22a 得 元2a,2+b,2’x=0, 由 ba x. 或 y- y=0 an 2ha,b y=Xa+b 222a2 2ha b 因ta224,b7a+ 22a 222an 因为a,-12+b,2=1,即b,2=2a,-a2.所以a+2a,-d22-1a,+2 11=+0,所以 又a22 .11 ≠0， 02 11 因此12、1 11,即数列 11 ,2 为等比数列. an 2 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 11171 ），即0于是62=2a,a2 212m-2 422m-2 (3)由(2)得 a22 (a2-2+1, 21m-1 注意到6，>0，因此b,=元+由B1，P(ab小， PP:(ba-1)x-(an-1)y+an-b=0, 222m22" S.=da-bl 22m+1元2m+1 因此 22m =”， T+ba-2 22" -2 22"+122"+1 因为江-小=文代-小所以受-小是 即2141 m2 设f1o)-2g,n23.eN,则fa+-f= "元n2-(n+1)2]+2n+1 n2(n+1)2 因为元≥√5，n≥3，所以元n2-(n+1)2>2n2-(n+1)2=(n-1)2-2≥2>0， 所以fn+l>fn),即fn)单调递增.又∫m=fn,m<n，,所以m=1或2， 若m=1,则-1=2=，n22. 当≥4时.fm≥二_2-+2+、65+2- >-1 16 16 16 因此n=2或3， 当川=2时、-12，解得元=3， 当m=3时.2-12号，解得天=81 2 若m=2,则2.2小n23 当n≥4时，fm≥11-12-1.2+1≥2-1.622-1 1644 444 因tn=3以2号.2)，解得5生丽 (舍)· 8 综上，元=3或33-1 2 口口题型六函数零点数列与不等式放缩 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 6.(2026·江苏南京六合区名校联盟一调，17分)设a,=x,b,=(白子，Sn为数列{a。·b,}的前m 项和，令fn(x=Sn-l,xeR,aeN. 2n- (1)若x=2,求数列 的前n项和Tn; (2)求证：对Vn∈N,方程fn(x=0在xn 上有且仅有一个根： C3)求证：对p∈N,由(2)中x,构成的数列x满足0<x,-xp< 【解】D若x=2,4.-.则20=(2-. a 则工，=1x(+3x(2++(2n-1分， 7=1x(+3x++2m-l(3。 2x孕+*+2- 片道g4鸣 1- 工=3-分2-2m-3=3-20t3, 25 ②f国=-lt++管++(xcR.weN.)内=1+t5 x2.x3 ->0, 之 23 n 故函数fx在(0，+0）上是增函数. 由于=0，当a≥2时，1川=京+京++京>0，即四>0 11