广东2025-2026学年第二学期一模考试 九年级 数学

2025-2026学年第二学期一模试卷 九年级 数学 评分标准 一．选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分. 二．填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分. 11. 12. 13. -1 14. 16 15. 三．解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分. 16．解：原式＝2﹣1+2×﹣2 ………………………………………………4分（每个结果1分） ＝2﹣1+﹣2 …………………………………………………………6分 ＝1﹣ ……………………………………………………………………7分 17．解：原式＝[﹣]• …………………………………3分 ＝• …………………………………………4分 ＝， …………………………………………5分 ∵x≠0，x-2≠0，x-4≠0， ∴x≠0，x≠2，x≠4， …………………………………………6分 ∴当x＝3时，原式＝＝1． …………………………………………7分 18．解：（1）如图所示： …………………………………………3分 （2）∵OC⊥AB， ∴AC＝CB＝AB＝3，∠ACO=90° …………………………………………5分 ∵半径OA＝5， ∴在Rt△ACO中，OC＝＝＝4，…………………………………………6分 ∴CD＝OD﹣OC＝5﹣4＝1． ……………………………………………7分 四．解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分. 19．解：（1）设购买一个A型垃圾桶需x元，则购买一个B型垃圾桶需（x+30）元 ……………1分 由题意得：＝×2， ………………………………………………………2分 ∴x＝50， ………………………………………………………3分 经检验：x＝50是原方程的解，且符合题意， ……………………………………………………4分 ∴x+30＝80， 答：购买一个A型垃圾桶需50元，一个B型垃圾桶需80元．……………………………5分 （2）设小区一次性购买y个A型垃圾桶，则购买（60﹣y）个B型垃圾桶， ……………………6分 ∴50y+80（60﹣y）≤4000， ………………………………………7分 ∴y≥27． ………………………………………8分 答：最少要购买27个A型垃圾桶． ………………………………………9分 20．解：（1）： 80 ， 16 ， 90° ； …………………………………3分（每空1分） （2）估计该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为：800×＝40（人） …………5分 （3）画树状图如下： ……………………………7分 一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生的结果有2种， ……………………………8分 ∴P（恰好抽到2名女生）＝． ……………………………9分 21．解：（1）在图2中，∠BCD＝　127°　 ； ……………………………………………1分 （2）①∠ACD＝　53　 °； …………………………………………3分 ②如图，过点E作CD的垂线交AB于点F，过点G作GH⊥CF于点H． …………………4分 在Rt△CEF中，EF＝CEtan∠FCE＝15×tan53°≈15×＝20（cm）， …………………6分 在Rt△FGH中，FG＝＝＝1（cm） …………………………………………………8分 乘客水杯的最大高度约为20﹣1+0.7＝19.7（cm）． 答：乘客水杯的最大高度约为19.7cm． …………………………………………………9分 五．解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．解：解：（1）O为BD的中点，BD；（每空1分） ………………………………2分 （2）①连接DP，设圆心为O， ∵在矩形ABCD中，∠BAD＝90°， ∴DP为⊙O的直径， ………………………………………………………3分 ∴∠DEP＝90°， ∴四边形APED是“对直四边形”； ………………………………………………………4分 ②∵矩形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，且AB＝8，AD＝6， ∴CD＝8，BC＝6， ∴， ∵∠DPE＝∠DAE，∠PED＝∠ADC＝90°， ∴△PDE∽△ACD， ∴， ∴， ………………………………………………………………………6分 ∵△ADE为等腰三角形， ∴当EA＝ED时，∠EAD＝∠EDA， ∵∠EDC+∠EDA＝90°，∠ECD+∠EAD＝90°， ∴∠ECD＝∠EDC， ∴CE＝DE， ∴， ∴； ………………………………………………………………………7分 当AD＝AE＝6时，CE＝AC﹣AE＝4， 设⊙O与CD交点为F，连接AF，EF， ∵∠ADC＝90°， ∴AF是⊙O直径， ∴∠AEF＝90°， ∴∠CEF＝90°， ∵， ∴EF＝3， ∴， ∴， ∴； ………………………………………………………………………8分 当DA＝DE＝6时，， 故PE的长为或或． ………………………………………………………………………9分 （3）设圆心为点O，连接DP，DE，DF， ∵在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠ADC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，且AB＝kBC（k为正实数）． ∴∠PAD＝90°， ∴DP是⊙O的直径， ∴∠PED＝90°， ∴∠PED＝∠ADC＝90°， ∵∠DPE＝∠DAE， ∴△PDE∽△ACD， ∴， ∴DE＝kPE， ………………………………………………………………………11分 ∵∠DEF＝∠DCF＝90°， ∴C，D，E，F到线段DF的中点的距离相等， ∴C，D，E，F在以DF为直径的圆上， ∴∠DCE＝∠DFE， ∵∠DEF＝∠ADC＝90°， ∴△DFE∽△ACD， ∴， ∴EF＝kDE， ………………………………………………………………………12分 ∴EF＝k2PE， ∴，故的值为． …………………………………………………………………13分 23．解：（1）抛物线y＝ax2+bx与直线y＝kx在第一象限内相交于点A（6，6），与x轴的正半轴相交于点B（8，0），将点A的坐标代入y＝kx得： 6k＝6， 解得：k＝1， …………………………………………………………………………………1分 将点A、点B的坐标分别代入y＝ax2+bx得： ， 解得：， …………………………………………………………………………………2分 ∴抛物线的解析式为； ………………………………………………………………3分 （2）由（1）得直线的解析式为y＝x， 如图1，分别过点 C、B 作y 轴平行线分别交y＝x 于点 E、F， ∵AB∥CD， ∴∠CED＝∠AFB，∠ADP＝∠FAB， ∵∠CDE＝∠ADP， ∴∠CDE＝∠FAB， ∴△CDE∽△BAF， ∴， …………………………………………………………………………………4分 设点C的坐标是，则点E的坐标是（t，t），点F的坐标是（8，8）， ∴， …………………………………………………………………5分 由点A（6，6）和点B（8，0）的坐标，得： ，BF＝8， …………………………………………………………6分 ∴， ∴， ……………………………………………………………………………7分 整理得：， ∴当t＝3时，CD有最大值，最大值是； ……………………………………………………8分 （3）在（2）的条件下，点C的坐标是， 设直线AB的解析式为y＝k1x+b1，将点A、点B的坐标分别代入得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+24， 设直线CD的解析为y＝﹣3x+b2，将点C的坐标得：， 解得：， ∴直线CD的解析为， 联立得，解得：， ∴D， 设直线OC的解析式为y＝k2x，将点C的坐标得： ，解得：， ∴直线OC的解析式为， 设点P的坐标是（m，m），则点M的坐标是，则点N的坐标为， ∴ 当时，△PNM与△COD公共部分的面积为△PNM的面积， ∴； 如图，当CP∥x轴时，线段NA与直线CD相交时， 则有，解得：， 当时，线段PN与CD相交， 点P的坐标是（m，m），则点M的坐标是，点N的坐标为， 则，重叠部分的面积是△MND的面积， ∵点D的坐标为， 当点N的纵坐标为m时，可得：， 解得：， ∴， ∴， 整理得：； 当点P的坐标为时，点M到达点D的位置， ∴当时，线段CD与线段MN相交， 如图3， 点P的坐标是（m，m），则点M的坐标是，点N的坐标为， 当时，可得：， 此时重叠部分原面积为， 整理得：； 当点M与点D重合时，点M的坐标是，点P的坐标是， 此时记△PNM与△COD公共部分的面积为S＝0． 综上所述，………………共6分（写出首尾各1分，中间各2分） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $u伍、加刀HW 2025-2026学年第二学期一模试卷 九年级数学 说明：1.全卷共6页。满分为120分，考试用时为120分钟。 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号。姓名、 考场号、座位号。用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑。 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上。 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答。答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上：如需改动。先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用错 笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 5.考生务必保持答题卡的整洁。 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分. 1.-2026的绝对值是() A.-2026 B.2026 c. D.V2026 2.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是() A 3.下列计算中，正确的是() A x2tx2=x4 B.x3x9=x27 C:x6÷x2=x2 D.(2x2)3=8r5 4.如图是一个正五棱柱，则它的俯视图是() c目 正面大 5.在女兵徒步方队中，为保证队形整齐，队员身高要经过严格筛选.某女兵方队队员的 身高（单位：cm)数据如下：168,169,168,170,169,168,167,169,168.则 这组数据的中位数是() A.167 B.168 C.169 D.170 九年级数学试卷第1页（共6页） 6.点A(-3,),B(1,,C(2,为)都在反比例函数y=-的图象上，则() A.y1>y2>为 B.y1>y为>y2C.y2>y为>yD.y为>y2>y 7、如图，在平面直角坐标系中，△MBC与△DEF是位似图形，位似中心为点O,若点A （(3,1)的对应点D(6,2),则△ABC的面积与△DEF的面积之比是() A.日 B.月 C. D.月 8.如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘h∥h,三角板ABC中30°角的顶 点B在h上，直角顶点C在2上，三角板与直尺边缘形成的∠1=20°，则∠2=() A.20° B.30° C.40° D.50° 9.若关于x的一元二次方程x2-+1=0有实数根，则k的取值范围是（) A,k≤且k≠0B.k<且k≠0 C.k>且k≠0 D.k<对 10.如图，正方形ABCD的边长为2，E为线段AB上一点，点M为边AD的中点，EM 的延长线与CD的延长线交于点F,MG⊥EF,交CD于N,交BC的延长线于G,点 P是MG的中点.连接EG、FG.下列结论：①当点E为边AB的中点时，SAEFG=5: ②MG=EF:③当AE=V3时，FG=2V5:④若点E从点A运动到点B,则此过程 中点P移动的距离为2.其中正确的结论的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 20T 0 第7题图 第8题图 第10题图 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分. 11.因式分解：x3-4x= 12.世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.00021米.0.00021 米这个数用科学记数法表示为 13.若2x-y-3=0,则代数式5-4+2v的值为 14.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的项点B在y轴上，顶点A在 反比例函数y=一的图象上，顶点C在反比例函数y=的图象上，则平行四边形 OABC的面积是 九年级数学试卷第2页（共6页） 15.如图，在正方形纸片ABCD中，AB=8,在正方形中剪下一个扇形BCE和一个圆形， 点E在BD上，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥， 则纸片剩下部分（阴影部分）的面积为 _,(结果保留π) y 第14题图 第15题图 三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分. 16.计算：1-2-(W3-1)°+2sin60°-V12 17.先化简，再求值. (经)+兰从0≤≤4中选取合适的整数代入求值 18.如图，在⊙0中，半径为5，AB=6. (1)请用尺规作图法过点O作AB的垂线，交AB于点C,交劣弧AB于点D,保留 作图痕迹（不写作法）： (2)求CD的长. 四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分 19.为了创建国家卫生城市，常平镇某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型 垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且A型垃圾桶数量是B型垃 圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元. (1)求购买一个A型垃圾桶需多少元？ (2)若小区一次性购买A型，B型垃圾桶共60个，要使总费用不超过4000元，最 少要购买多少个A型垃圾桶？ 九年级数学试卷第3页（共6页） 20.某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽 样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图.。根 据图中信息回答下列问题： 鼎形依计留 承形恢计国 人U人 不了解 了解限 翻结香矿了防度 (1)接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 (2)若该校共有学生800人，根据上述调查结果，请你通过计算估计该校学生中对心 理健康知识“不了解”的总人数： (3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机 抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生 的概率， 21.如图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连 接靠背AB和小桌板CD,点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行 于地面，测得CE=15cm,∠ABC=37°· (1)在图2中，∠BCD= (2)靠背AB绕点B旋转至与小桌板支架BC重合的位置，如图3所示，杯托E处凹 陷深度为0.7cm.若乘客水杯FG竖直放在杯托E处(F与E重合，水杯FG宽度不计)， 出于安全考虑，水杯顶端点G到靠背AB的距离不得小于0.6cm. ①∠ACD= ②求乘客水杯的最大高度 (参考数据：stn37°≈，sin53°≈，tan37°≈：an53°≈) D E万 图1 图2 图3 九年级数学试卷第4页（共6页） 五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22、综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”， 【示例】如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，则称四边形ABCD叫做“对 直四边形ABCD” 【性质探究】 小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个项点均在同一个圆上”的 性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线BD,取BD中点O,并连接OA,OC ,∠BAD=∠BCD=90°， ∴.OA=BD,OC= ∴.OA=OB=OC=OD, ,四边形ABCD的顶点A,B,C,D均在以点O为圆心，BD为直径的圆上. (1)请补全小明同学的证明过程。 【性质应用】 (2)如图3，在矩形ABCD中，点P是AB边上一点，过A,D,P三点的圆交对角 线AC于点E, ①求证：四边形APED是“对直四边形”： ②若AB=8,AD=6,当△ADE为等腰三角形时，请求出PE的长. 【拓展提升】 (3)如图4，在矩形ABCD中，AB=kBC(k为正实数).点P是BA延长线上一点， 过A,D,P三点的圆交对角线AC于点E,延长PE交BC于点F.请求出PE的值（用 含k的式子表示) 0 0 D 、0 B A 图1 图2 图3 图4 九年级数学试卷第6页（共6页） 23.如图1，抛物线y=a2+br与直线y=:在第一象限内相交于点A(6,6),与x轴的 正半轴相交于点B(8,0),连接AB, (1)求k的值及抛物线的解析式， (2)点C是直线OA上方的抛物线上的一点，过点C作直线l∥AB交OA于点D,求 线段CD长度的最大值. (3)在(2)的条件下，点P是直线OA上的一个动点，M是OP的中点，以PM为 斜边按图2所示构造等腰直角△PNM,点P的横坐标为m(m>0),记△PWM与△COD 公共部分的面积为S,直接写出S关于m的函数关系式. B 图1 图2 备用图 九年级数学试卷第6页（共6页）